5.4.2二项式系数的性质课件高二上学期数学北师大版选择性

4.2二项式系数的性质第五章计数原理北师大版

数学

选择性必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.了解杨辉三角,会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.基础落实·必备知识一遍过知识点1

杨辉三角(a+b)n展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式:上面的二项式系数表称为

.

杨辉三角

名师点睛1.从杨辉三角可以看出(a+b)n展开后共有n+1项.2.(a+b)n展开后每项的二项式系数对称出现且先增大后减小.思考辨析在杨辉三角中,每一行的数字有什么特点,下一行与上一行的数字有什么联系吗?提示

每一行的数字是对称的,先增大,后减小,并且首尾数字均为1.下一行的数字除1外的每一个数字都等于它的“肩上”的两个数字的和.用代数式表示为自主诊断10242.[人教A版教材习题]写出n从1到10的二项式系数表.解

如表.n=11

1n=21

2

1n=31

3

3

1n=41

4

6

4

1n=51

5

10

10

5

1n=61

6

15

20

15

6

1n=71

7

21

35

35

21

7

1n=81

8

28

56

70

56

28

8

1n=91

9

36

84

126

126

84

36

9

1n=101

10

45

120

210

252

210

120

45

10

13.[人教A版教材习题]若一个集合含有n个元素,则这个集合共有多少个子集?解

(方法一)对于集合中的任一元素,它与子集的关系都有且只有两种选择:“属于”与“不属于”,由分步乘法计数原理,得集合中的n个元素在子集中的情况共有2n种,故这个集合共有2n个子集.(方法二)n个元素的集合子集元素个数可以分为0,1,2,…,n,共n+1类.故子集个数为知识点2

二项式系数的性质1.对称性:在(a+b)n的展开式中,与首末两端“

”的两个二项式系数相等,即2.增减性与最大值:当k<时,二项式系数是逐渐

的,由对称性可知它的后半部分是逐渐

的,且在中间取得最大值.当n是偶数时,中间一项的二项式系数

取得最大值;当n是奇数时,中间两项的二项式系数

相等,且同时取得最大值.

等距离

增大减小名师点睛求二项式系数的最大值或最小值时,一定要搞清楚n是奇数还是偶数.思考辨析1.在杨辉三角中,如何找二项式系数的最大值?提示

观察每行的数字,当n为奇数时,展开后中间两项的二项式系数相等并且最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)二项展开式中系数最大项是中间一项(共奇数项)或中间两项(共偶数项).(

)(2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系数和.(

)(3)二项展开式项的系数是先增后减的.(

)(4)(3x+2)5的展开式的二项式系数和为25=32.(

)×××√2.[人教A版教材习题](1)求(1-2x)15的展开式的前4项;(2)求(2a3-3b2)10的展开式的第8项;解

(1)前4项分别是1,-30x,420x2,-3

640x3.(2)T8=-2

099

520a9b14.(3)T7=924.3.[苏教版教材例题]证明:在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.重难探究·能力素养速提升探究点一与杨辉三角有关的问题【例1】

(1)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒,若a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于(

)A.20 B.21

C.22

D.23C解析

观察题图可知,从第三行开始,每一行除开始和末尾的两个数外,中间的数分别是其“两肩”上相邻两个数的和,当a=7时,b的“两肩”上的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.★(2)如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.规律方法

解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

变式训练1(1)杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中记载了“杨辉三角”.若用ai-j表示如图所示三角形数阵的第i行第j个数,则a100-3=(

)A.5050 B.4851C.4950 D.5000B★(2)如图,在“杨辉三角”中,斜线AB的上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列:1,2,3,3,6,4,10,5,…,记其前n项和为Sn,求S19的值.探究点二求展开式中各项系数的和【例2】

若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,求:(1)a7+a6+…+a1;(2)a7+a5+a3+a1;(3)a6+a4+a2+a0;(4)|a7|+|a6|+…+|a1|.解

(1)令x=0,则a0=-1;令x=1,则a7+a6+…+a1+a0=27=128,①所以a7+a6+…+a1=128-(-1)=129.(4)∵在(3x-1)7展开式中,a7,a5,a3,a1均大于零,而a6,a4,a2,a0均小于零,∴|a7|+|a6|+…+|a1|=(a1+a3+a5+a7)-(a2+a4+a6)=(a1+a3+a5+a7)-(a0+a2+a4+a6)+a0=8

256-(-8

128)+(-1)=16

383.规律方法

“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.变式训练2(1)在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:①二项式系数之和;②各项系数之和;③所有奇数项系数之和.②各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9,令x=1,y=1,所以a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.③令x=1,y=-1,可得a0-a1+a2-…-a9=59,又a0+a1+a2+…+a9=-1,★(2)在①只有第6项的二项式系数最大;②第5项与第7项的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数之和为512这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且满足

.

(ⅱ)a1+2a2+…+nan的值.解

选①,(ⅰ)只有第6项的二项式系数最大,所以n=10.由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,当x=0时,a0=1;(ⅱ)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,两边同时求导得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,令x=1得a1+2a2+…+10a10=20.选②,(ⅰ)第5项与第7项的二项式系数相等,由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,当x=0时,a0=1;(ⅱ)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,两边同时求导得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,令x=1得a1+2a2+…+10a10=20.选③,(ⅰ)奇数项的二项式系数之和为512,所以2n-1=512=29,解得n=10.由于(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,故(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,当x=0时,a0=1;(ⅱ)由于(2x-1)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,两边同时求导得20(2x-1)9=a1+2a2x+…+10a10x9,令x=1得a1+2a2+…+10a10=20.探究点三二项式系数性质的综合应用【例3】

[2024陕西宝鸡质检]已知(2x+1)n展开式的二项式系数和为a,(x+)n展开式的奇数项的二项式系数和为b,且a-b=32,则在(x2-)n的展开式中,求解下列问题:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.规律方法

1.求二项式系数最大的项:2.求展开式中系数最大的项:如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式中各项系数分别为A1,A2,…,An+1,且第k项系数最大,应用

从而解得r即可.3.把系数最大项问题通过分析运算得到正确结论,体现了数学运算的核心素养.变式训练3写出(x-y)11的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)项的系数绝对值最大的项;(3)项的系数最大的项和系数最小的项;(4)二项式系数的和;(5)各项系数的和.解

(1)二项式系数最大的项为中间两项:T6=-462x6y5,T7=462x5y6.(3)由(2)知中间两项系数绝对值相等,又第6项系数为负数,第7项系数为正数,故项的系数最大的项为T7=462x5y6,项的系数最小的项为T6=-462x6y5.学以致用·随堂检测促达标12345678910111213141516171819A级必备知识基础练20211.[探究点一]在(x-1)11的展开式中,x的奇次幂项的系数之和是(

)A.2048 B.-1023 C.-1024 D.1024D解析

(x-1)11=a0x11+a1x10+a2x9+…+a11,令x=-1,则-a0+a1-a2+…+a11=-211,①令x=1,则a0+a1+a2+…+a11=0,②1234567891011121314151617181920212.[探究点二]观察图中的数所成的规律,a表示的数是(

)A.8 B.6 C.4 D.2B解析

由题图中,下一行的数是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6.1234567891011121314151617181920213.[探究点三]若x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10,则a8的值为(

)A.10 B.45 C.-9 D.-45B1234567891011121314151617181920214.[探究点二]设(5x-)n的展开式的各项系数和为M,二项式系数和为N,若M-N=240,则展开式中x的系数为(

)A.-150 B.150

C.300

D.-300B123456789101112131415161718192021A.64 B.32 C.63 D.31B123456789101112131415161718196.[探究点一](多选题)

我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角,以下关于杨辉三角的猜想中正确的有(

)ABC解析

A,B,C显然正确,115=(10+1)5,当系数超过10时,需要向前进一位,故115=161

051,所以D错误.故选ABC.2021123456789101112131415161718197.[探究点二](1+)(1-x)5的展开式中所有项的系数和为

.

020211234567891011121314151617181920218.[探究点三]若(3-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=

.

45

解析

令x=1,则25=a0+a1+a2+…+a5,令x=-1,则45=a0-a1+a2+…-a5,1234567891011121314151617181920219.[探究点三]设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值.(1)a0;(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;(3)a1+a3+a5+…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.123456789101112131415161718192021解

(1)令x=0,则a0=2100.123456789101112131415161718192021求:(1)n的值;(2)展开式中二项式系数最大的项.12345678910111213141516171819202111.(1+x)n(3-x)的展开式中各项系数的和为1024,则n的值为(

)A.8 B.9 C.10 D.11BB级关键能力提升练1234567891011121314151617181920212021A.2 B.0 C.-1 D.-2C12345678910111213141516171819202113.(多选题)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,下列结论正确的有(

)A.各项二项式系数和为128B.式子a1+a2+…+a7的值为2C.式子a1+a3+a5+a7的值为-1094D.式子a0+a2+a4+a6的值为1093ACD解析

对于选项A,二项式(1-2x)7的各项二项式系数和为27=128,故A正确;对于选项BCD,令x=1,则(1-2)7=a0+a1+a2+…+a7,即a0+a1+a2+…+a7=-1,令x=-1,则(1+2)7=a0-a1+a2-…+a6-a7,即a0-a1+a2-…+a6-a7=37=2

187,令x=0,则a0=1,所以a1+a2+…+a7=-2,故B错误;解得a1+a3+a5+a7=-1

094,a0+a2+a4+a6=1

093,故C正确,D正确;故选ACD.12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202114.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0—1三角”.在“0—1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于(

)A.26 B.27

C.7

D.8D解析

第3次出现全行为1,这说明杨辉三角中这一行全是奇数,即

(r=0,1,2,…,n)是奇数,经验证可知,第3次出现全行为1时,1的个数为8.12345678910111213141516171819202115.(多选题)已知(ax2+)10(a>0)展开式的各项系数和为1024,则下列说法正确的是(

)A.展开式中奇数项的二项式系数和为256B.展开式中第6项的系数最大C.展开式中存在含x6的项D.展开式中含x15项的系数为45BD解析

∵展开式的各项系数之和为1

024,∴令x=1,得(a+1)10=1

024.∵a>0,解得a=1.由展开式的通项可知,项的系数与其二项式系数相同,且展开式有11项,故展开式中第6项的系数最大,故B正确;故选BD.12345678910111213141516171819202112345678910111213141516171819202116.已知在(2x-1)n二项展开式中,奇次项系数的和比偶次项系数的和小38,则255解析

设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,且奇次项的系数和为A,偶次项的系数和为B,则A=a1+a3+a5+…,B=a0+a2+a4+a6+….由已知可得,B-A=38.令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n,即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n,即B-A=(-3)n.∴(-3)n=38=(-3)8,∴n=8.由二项式系数的性质,可得12345678910111213141516171819202117.如图数表满足:(1)第n行首尾两数均为n;(2)图中的递推关系类似杨辉三角,则第n(n≥2)行的第2个数是

.

12345678910111213141516171819202118.若(2x+)4=a0+a1x+…+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为

.

112345678910111213141516171819202119.

在①a1=35,②展开式中二项式系数最大值为7m,③

=32(m∈N+)条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知(1+mx)7=a