2025高考数专项复习：平面向量中的二级结论（5大结论）

2025高考数专项复习平面向量中的二级

结论（5大结论）

平面向量中的二级结论

角度1求数・积

题型1极化恒等式

—角度2求范困

、一角度3判断轨迹类型

题型2奔驰定理

题型3三角形四心定理

平面向量中的二级结论

题型4等和（高）线定理

题型5爪子定理

高考要求

掌握平面向量中常用的二级结论并能应用解题.

知炽解读

结论1极化恒等式

模型1极化恒等式平行四边形模式：a-b=^[(a+ft)2-(a-b)2]

证明:不妨设AB=a,AD=b，则AC=a+b,DB=a—b

|前F=芯2=R+gy=阿2+2日为+"①

\DB^=DB2=(a-b)2=\a\2-2a-b+\b^②

上面两式相减，得：小日=:[0+佰―7]---------极化恒等式

几何意义：向量的数量积表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的本

即：a-口］［|ACf—|。研］（平行四边形模式）

模型2极化恒等式三角形模式

在三角形ABD中（”为5。的中点），则极化恒等式可表示为：

a-^=MA"—十0硝三角形模式）

模型3极化恒等式之矩形大法

如图，在矩形ABCD中，若对角线4。和BD交于点O,P为平面内任意一点，有以下两个重要的向量关系:

@B42+PC2=PB2+PD2；②用•历=屋•屈.

证明：①连接PO,根据极化恒等式（？+/=2［（咤也）2+（气力门，可得下比+P（J2=2（_?。2+/『）=PB?

+PD2；

②根据极化恒等式4不=（^^）2—（用也了,可得可•用=PC>2—平1=闻.屈

推广到空间,得到的结论就是:底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和以及向量乘积均相等.

模型4极化恒等式向加乘积型;」西•而=4

定理:平面内，若B、。为定点，谶•N3=用贝UA的轨迹是以BC中点“为圆心，为半径的圆.

2

证明由泰•前=九根据极化恒等式可知，AM-十BO?=九所以PM=+,p的轨迹是以M

为圆心J+好。2为半径的圆.

结论2奔驰定理

奔驰定理:设O是AABC内一点，bBOC.bAOC4AOB的面积分别记作SA,SB,SC则SA-OA+SB-

OB+Sc-dC^O.

说明:

本定理图形酷似奔驰的车标而得名.

奔融定理推论“•<51+9•瓦+2・元=6,则

①SABOC：SACOA：SMOB=1讣0乐|

S&BOC_XSixAOC__yS&AOB_z

S^ABCx+y+zS&ABCx+y+zS^ABCx+y+z

说明:对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量

关系符合奔驰定理的形式,在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。

结论3三角形四心定理

1.四心的概念介绍：

（1）重心：中线的交点,重心将中线长度分成2：1.•••

（2）内心:角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等.

（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心）,外心到三角形各顶点的距离相等.

（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直.

2.三角形四“心”向■形式的充要条件

设。为AABC所在平面上一点，角所对边长分别为a,b,c,则

222a

（1）0为bABC的外心OA=OB=OC\OA\=\OB\=\OC\=A.

2sm4

（2）0为^ABC的重心^OA+OB+OC=0.

（3）0为^ABC的垂心^OA-OB^OB-OC^OC-OA.

（4）0为AABC的内心=a（不+6朝+=6.

提示：向量X器+片0）所在直线过AABC的内心（是/R4C的角平分线所在直线）;

|崩|历+|法|向+|刀|屈=6oPAABC的内心；

*

2025i结论4等和（高）线定理,

平面内一组基底OA,OB及任一向量OP',OP'=AOA+4而（九aeR）,若点P在直线AB上或在平行于

AB的直线上，则4+4=%（定值）;反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和（高）

线.

（1）当等和线恰为直线AB时，k=1；

（2）当等和线在O点和直线AB之间时,fce（0,1）；

（3）当直线4B在。点和等和线之间时，ke（1,+oo）；

⑷当等和线过。点时，&=0；

（5）若两等和线关于。点对称，则定值向，k2互为相反数；

（6）定值k的变化与等和线到。点的距离成正比.

规律方法要注意等和（高）线定理的形式，解题时一般要先找到k=l时的等和（高）线，利用比例求其他的

等和（高）线.

结论5爪子定理

已知河，P,N是平面上不同的三点，点A是此平面上任意一点，则“河，P,N三点共线”的充要条件是“存在

实数人使得国5=4万法+（1—冷俞”.此结论往往称为向量的爪子模型.

【证明】先证充分性.若Q=（1-4国K

贝1]/=/1（画?—而）+俞,AP-AN=A（AM-AN）,

即沛=4而，而〃丽，故M,P,N三点共线.

再证必要性.若M,P,N三点共线,则存在实数九使得NP=ANM,

即犷_京=；1（疝一病），M=；l（疝一京）+俞，故/=；[而+（l-A）AW.•••

综上知，结论成立.

向量的爪子模型所表达的意思就是：从一个顶点A引出三个向量，且它们不共线，如下图，则/等于向量

AN,AM分别乘以它对面的比值的和，简称对面的女孩看过来.

特殊点:当P为NM中点时=京+彳法）（中线定理）

题型1极化恒等式的应用

曜度1（求数量枳）

3.（2024陕西省咸阳市高三下学期高考模拟检测（二））已知在边长为1的菱形ABCD中，角A为60°,若点E为

线段GD的中点，则存•屈=（）

4.如图，已知是AABC边BC上的两个三等分点，若反7=6,丽？•前=4,则加•而:.

1.（23-24高三上.云南保山.期末）如图，已知正方形ABCD的边长为4,若动点P在以AB为直径的半圆上

（正方形ABCD内部，含边界），则历•屈的取值范围为（）

A.(0,16]B.[0,16]C.(0,4)D.[0,4]

2.如图,在平面四边形ABCD中，AC=4D=2,120°,90°,则说月方的•最大•值为•.

D

A>C

3.（2024贵州省名校协作体高三下学期联考（二））已知椭圆。：喧+*=1的左右焦点分别为&段点“在

yo

直线Z：/+g—4=0上运动，则加1・加2的最小值为（）

A.7B.9C.13D.15

坡度31判断轨迹类型）

1.（2024山东省泰安高三下学期一轮检测）在平面内，A£N是两个定点，P是动点，若加•而=4,则点P的

轨迹为（）

A.椭圆B.抛物线C.直线D.圆

2.已知正方形ABCD的边长为4,点分别为的中点，如果对于常数九在正方形ABCD的四条边

上，有且只有8个不同的点P,使得屋•刀=彳成立，那么4的取值范围是（）

A.（0,2]B.（0,2）C.（0,4]D.（0,4）

题型2奔驰定理及应用

1.已知O为LABC内一点,且满足OA+AOB+仅—1）而=6,若△O4B的面积与△04。的面积的比值为

小则才的值为（）

A.JB.C.yD.2

2.点。在△ABC的内部，且满足：诙5=占存+^N方，则△ABC的面积与△AOB的面积之比是（）

55

A.yB.3C.D.2

3.设么苕=：（毋+N3）,过G作直线I分别交AB,（不与端点重合）于P,Q,若Q=AAB,AQ=nAC,

O

若^PAG与^QAG的面积之比为。,则〃=

O

A1R2「35

A-TB-TC-7Dn.不

4.（2024高三上河南焦作期末）已知△ABC所在平面内一点。满足向+屈+/反=6,则△ABC的面积

是△ABD的面积的（）•••

A.5倍B.4倍C.3倍D.2倍

题型3三角形四心定理

1.（23-24高三上•江西新余•期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优

美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知河是

内一点，的面积分别为S”SB,SC,S.SA-MA+SB-MB+Sc-MC^0.

以下命题正确的有（）

A.若SA：SB：SC=1:1:1,则M为/\ABC的重心

B.若A/为△ABC的内心，则BC•凉+AC•痂+AB•证=6

C.若M为&ABC的垂心，3MA+4加+5MC=6,则tanZBACitanZABCztanZBCA=3:4:5

D.若乙氏4。=45°,乙4BC=60°,M■为△AB。的外3则SA：SB：SC=V^:2:1

2.（2024高三・重庆•期中）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足标=5N+

4।万

（4>0）,则P点轨迹一定通过三角形ABC的（

\AB\sinB罔sinC

A.内心B.夕卜心C.垂心D.重心

3.（2024・高三・陕西渭南•期末）如图所示，4ABC中G为重心，PQ过G点，1#=mAB,AQ=nAC,则工+

题型4等和（高）定理

1.（2024内蒙古自治区包头市高三一模）如图,在菱形ABCD中，AB=4,乙4BC=60°,分别为AB,BC

上的点，眉=3就，加=3圮.若线段EF上存在一点使得血=｝配+工况（xCR）,则曲

等于（）•••

AEB

C.6D.8

2.如图,边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,P为圆。上任一点，若与=+苕，则2c+2y的最大

值为（）

D.1

3.（2024全国专题训练）如图在直角梯形ABCD中，ABLA。，AD=OC=1,AB=3,动点P在

以。为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设谶=aN方+£金（&，66灭）

则a+0的取值范围是

题型5爪子定理

1.（2024山西省部分学校高三下学期3月月考）已知。是△48。的AB边上一点，若说=^DB,CD=ACA

+〃怎（儿〃6五），则4—〃=（）

A-fB-fc-°D--l

2.（2022年全国新高考/卷）在△ABC中，点。在边AB上，BD=2DA.记（51=而也=力则（而=

（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3m+2nD.2m+3n

3.如图，在△ABC中，点”是AB上的点且满足无面=3面,N是AC上的点且满足俞=丽5,CM与BN交

于P点，设毋=区％苕=比则/=（）

反馈训练

一、选择题

1.如图,在平面四边形ABCD中，。为的中点，且。4=3,。。=5,若存•NB=—7,则反^•反=（）

2.如图，BC,DE是半径为1的圆。的两条直径，加=2用，则丽•屈=（）

3.（2024・全国•二模）点O,P是△ABC所在平面内两个不同的点,满足而=方+而+。方,则直线0P经过

△AB。的（）

A.重心B.外心C.内心D.垂心

4.（2024高三・全国•专题练习）已知。为正4ABC内的一点，且满足OA+AOB+（1+4）53=6,若△OAB的

面积与△03。的面积的比值为3,则4的值为（）

15

A.yB.yC.2D.3

5.（2024高三下•江西•开学考试）如图，已知圆。的半径为2,弦长AB=2,。为圆。上一动点，则N方•反?的

取值范围为（）•••

A.[0,4]B.[5-473,5+473]C.[6-473,6+473]D.[7-4V3.7+4V3]

6.（2024高三上•安徽安庆•阶段练习）设。点在△ABC内部，且有304+2OB+（53=6,则△A。。的面积与

△AOB的面积的比值为（）

A.2B.V3C.V2D.3

（2024•四川南充・三模）已知点P在△48。所在平面内，若闻•

则点P是△AB。的（）

A.外心B.垂心C.重心D.内心

8.（2024黑龙江牡丹江•阶段练习）若。是所在平面上一定点,H,N,Q在△A3。所在平面内，动点P

满足OP=OA++,4C（0,+8）,则直线AP一定经过"BC的心,点〃满足

\HA\^\HB\^\HC\,则H是△ABC的心,点N满足凡彳+油+N苏=6,则N是/\ABC的

心，点Q满足信・循=福•比=煎5•福，则Q是△ABC的心，下列选项正确的是（）

A.外心，内心，重心，垂心B.内心，外心，重心，垂心

C.内心，外心，垂心，重心D.夕卜心，重心，垂心，内心

9.（2024.江西.一模）如图,正六边形的边长为2V2，半径为1的圆。的圆心为正六边形的中心，若点M在正六

边形的边上运动，动点4B在圆。上运动且关于圆心。对称，则信•加的取值范围为（）

A.[4,5]B.[5,7]C.[4,6]D.[5,8]

10.（2024全国•专题练习）。是平面上一定点,A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：OP^OA

+4（4+回苕）”>0,则直线AP一定通过△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心•••

n.（2024.全国.模拟预测）已知点。是△ABC的重心,过点O的直线与边AB,4。分别交于M,N两点、,D为边

BC的中点.若AD=cAM+%4N（c,geR）,则；r+9=（）

A-1RB-f9C.2D.11

二、多选题

12.（23-24高三上•河北保定•阶段练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论,因为这个定理对应的

图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知。是△ABC内一点，

△BOC,/\AOC,44OB的面积分别为S4,SB,S。,贝U51+S1无+S。-正=6.设。是△ABC内

一点，△ABC的三个内角分别为4B,。，ABOC,/\AOC,/\AOB的面积分别为SA，SB，若3OA+

4而+5己若=6,则以下命题正确的有（）

A

A.SA：SB：S0=3:4:5

B.。有可能是△ABC的重心

C.若O为/XABC的外心，贝！JsinAsinRsin。=3:4:5

D.若O为