2024年人教版八年级上册数学同步训练：分式的运算（解析版）

第03讲分式的运算

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握分式的乘除法运算法则，能够熟练的进行分式

的乘除法计算。

①分式的乘除运算

2.掌握分式的乘方运算法则，能够熟练的进行分式的

②分式的乘方运算

乘方计算。

③分式的加减运算

3.掌握分式的加减法运算法则，能够熟练的进行分式

的加减法计算。

思维导图

分式的靠去运算

分式的班去运鼻

知识点01分式的乘法运算

i.分式的乘法运算法则：

同分数的乘法运算法则，分子乘分子作为积的分子,分母乘分母作为积的分母。

ACAC

即nn：-----=----O

BD~BD~

2.具体步骤：

①对能因式分解的分子分母进行因式分解-

②分子分母有公因式的要先约分,所有的分母可以和所有的分子进行约分。

③再用分子乘分子得到积的分子，分母乘分母得到积的分母。

题型考点：①分式的乘法运算。

【即学即练1】

2_

1.计算」-.曳，1的结果正确的是（）

a+12x

A.C.D.a+1

2x2^+2

［解答］解：■旦二

a+12x

=x.(a+1)(a-1)

a+12x

=a-］

I-,

故选：A.

【即学即练2】

2

2.化简二！•X+4X+4的结果是（）

2

x+2x-l

A.宜工B.^2c.0D.x+2

x-2x+1x+2x-l

原式二w,毋焉

【解答】解:

=X+2

x+1

故选：B.

【即学即练31

3.计算—,2二1—的结果为()

a-2a+la+a

A.1B.工C.2D.—

aaaa

［解答］解：a2-l

a-2a+la+a

—(a-1)(a+1).-(a-1)

(a-1)2a(a+l)

故选：A

知识点02分式的除法运算

1.分式的除法运算法则：

除以一个分式等于乘上这个分式的倒数式。变成乘法运算。

ACAD_AD

题型考点：①分式的除法运算。

【即学即练1】

4.计算——的结果为（）

a-4a-2a

A.B.c磊

a+2a-2D・看

【解答】解：一^―—

a_4a_2a

9

=（a+2）（a-2）Xa（a-2）

_2a

a+2

故选：C.

【即学即练2】

5.已知一区一则M等于()

x2-y2xT—wy

A.2B.。C.D.1ZZ

x+y2xx-y2x

【解答】解：2x答」_=二,

x2-y2vx-vy

2x

(x-y)="，

(x-y)(x+y)

或

x+y

故选：A.

【即学即练31

6.代数式—的值为尸G取整数），则尸为整数值的个数有（）

x-4x+4x+6

A.0个B.7个C.8个D.无数个

【解答】解:x-21

X2-4X+4'x+6

X-2-X(x+6)

(x-2)2

=x+6

x-2

•二代数式-x-2+的值为F,

x-4x+4x+6

尸=l+_^_32、-6).

x-2

当x-2=±l、±2、±4、±8时,

即x=3,1,4、0、6、-2、10、-6时，l+5-为整数值.

x-2

.•.当x=3,1,4、0、6、-2、10时,产为整数值.

故选：B.

知识点03分式的乘方运算

1.分式的乘方的运算法则:

n

AA，〃个)=

一般地，当〃为正整数时,o即把分式的分

BDDB.B.…个)

子分母分别乘方运算。

题型考点：①分式的乘方运算。

【即学即练1】

7.计算（区）3的正确结果是（)

b

A8a38a③C.2ai6a3

zA..-----RJD.-----D.

b3bbb3

Q3

【解答】解:区)3=8a

bb3

故选：A.

【即学即练2】

8.下列计算正确的是（)

K3,623—2

A.(且-)2=_k_2^-9b8y3(3x)2=9x

B.C.D

2T22

2a2a24a-27x-x-ax-a

326

【解答】解：4、旨）=卫行，本选项错误；

2a4/

B、（二曳二二也二本选项错误；

2a4a2

C、（及「二23M8y3,本选项正确；

-3x（-3）x3-27x3

22

D、（-31_）=—一--本选项错误.

x-ax-2ax+a

所以计算结果正确的是C.

故选：C.

【即学即练3】

9.计算卢「+a•工的结果为（）

aa

A.—B.C.a2D.b2

,2

【解答】解：原式=•工•工

aa

故选：B.

知识点04分式的加减法运算

1.分式的加减法运算法则：

①同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减。

②异分母的分式相加减：先通分，变成同分母的分式的加减运算,在按照同分母的加减运算法

则运算即可。

2.具体步骤：

第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。

第二步：加减：分母不变，分子相加减。

第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。

第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。

分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。

题型考点：①分式的加减运算。

【即学即练1】

10.计算3二的结果为（）

【解答】解：3二

3+2

故本题选：C.

【即学即练2】

II.计算一^」:的结果是（）

1-mm+1

m2-l

【解答】解:21

l-m?"1

(1+m)(1-m)m+1

2

(1+m)(1-m)(1-Hn)(1-m)

=_____1+m

(1+m)(1-m)

_1

1-m

故选：D.

【即学即练3】

-2

2.化简备+x.2的结果是_胃不

【解答】解：_£+X-2

x+2

4(x-2)(x+2)

x+2+x+2

_4+x^-4

x+2

x+2

2

故答案为：卫一

x+2

【即学即练41

13.计算a-l+—L的结果是()

a+1

2

A.—B.C.a+1D.

a+1a+1

【解答】解：a-1+工

a+1

=(a+1)(a-1)+1

a+1a+1

_a2-l+l

a+1

a+1

故选：A.

【即学即练5】

14.计算：

2

(1)

a-la-l

【解答】解：(1)二一---

a-la-l

2

_a-a

a-l

=a(a-l)

a-l

=4；

2

(2)3--x+1

x+1

22

x-x+l

x+1

1

知识点05用科学计数法表示较小的数

1.科学计数法表示较小的数的方法：

用科学记数法表示较小的数，一般形式为—axl（r"_,其中图的取值范围为lWlalClO

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定。

题型考点：①用科学计数法法表示较小的数。

【即学即练1】

15.光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片

的核心装备.力汨准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为0.000000193米，该光源波长用科学记数

法表示为（）

A.193X106米B.193X10-9米

C.1.93X10-7米D.1.93X10-9米

【解答】解：0.000000193米=1.93X10-7米.

故选：C.

【即学即练21

16.2023年9月9日，上海微电子研发的2曲加浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出

了坚实的一步.已知28〃加为0.000000028米，数据0.000000028用科学记数法表示为（）

A.2.8X10-1°B.2.8X10-8c.2.8XW6D.2.8X10-9

【解答】解：0.000000028=2.8X108.

故选:B.

题型精讲

题型01分式的乘除运算

【典例1】

计算.

/62x-6.x-3

°-2:9.

x-4x+4x-4

【解答】解：(1)金尸,吗

物x4

6a2

_x.6xy

3-4~

-o8yx

__3x3.

4y,

0)2x-6.x-3

x-4x+4x-4

—2(x-3).(x+2)(x-2)

(x-2)2

=2(x+2)

_2x+4

x-2

【典例2】

计算:

2,a、2a

(1)6ab+

X2-4

(2),x-2

X2+2X+1•X+1

,,2

【解答】解：(1)原式=602加上・3=6"；

a24b2

(x+2)(x-2).x+1—x+2

(2)原式=

(x+1)2x-2x+1

【典例3】

计算：

202

(1)

-2yx4

212

(2)_a-—a..

a2+2a+la+1

6.

【解答】解：(1)原式=-、•塔

8yx

__3x3.

4y,

(2)原式=(a+1)(a?).a+1

(a+1)2a(a-l)

-_..1..

a

【典例4】

计算:

⑴(x-yF-x2-2xy+y2

x+y2x+2y'

(?)其乙一］二久+1

X2-2X+1•X-1*X+1

(1)―丫尸工x22xy+y.

【解答】解:

x+y2x+2y

=(x-y)3」(x-y)2

x+y2(x+y)

=(x-y)3.2(x+y)

x+y(x-y)2

=2(x-y)

'='2x~2y；

(2)x2-l・x+1.1-x

X2-2X+1'x-1'x+1

=(x+1)(x-l).x-1.-(x-1)

(x-1)2x+1x+1

x+1

题型02分式的加减运算

【典例1】

计算：

/1x2abb

22

a-b^

⑵--X4y；

x-ty

2abb(a-b)

【解答】解:(1)原式=

(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)

_2ab-ab+b：

(a+b)(a-b)

_b(a+b)

(a+b)(a-b)

_b

a-b

(2)原式=2x2-(x-y)(x+y)

x+y

2x2-x2+y2

x+y

x+y

【典例2】

计算:

x+yx+y

14

(2)x+27-4

【解答】解：(1)原式=工^

x+y

(x+y)(x-y)

x+y

=x-y；

(2)原式=—1-4

x+2*(x+2)(x-2)

x-2+4

(x+2)(x-2)

x+2

(x+2)(x-2)

=1

【典例3】

化简:

⑵急

【解答】解:(1)原式二"；——争।———g—?

(x+3)(x-3)(x+3)(x-3)

=x-3+6

(x+3)(x-3)

x+3

(x+3)(x-3)

=1

7T

(2)原式=a(a+"+皿L

(a+1)2a+1

=a+a+2

a+1a+1

=2a+2

a+1

=2.

【典例4】

计算下列各题:

⑴

x-11+x

z\a3a+l2a+3

⑵0EFT?

【解答】解:")原式=(x-lj+：x+l)」(x-lt：x+l)2x

X2-11

(2)原式一^H3a+1_2a+3^

a_1a_1a_1

a+3a+l-2a-3

a2-11

_2a~2

a2-1T

:2(4-1)

(a-1)(a+1)

=2

a+1

题型03分式的混合运算

【典例1】

计算：

(1)-

a-ba+b

2

⑵x-2,x-4x+4l-x

*2*

x-1'x-l+x-2

【解答】解：(1)———L

a-ba+b

=a(a+b)-b(a-b)

(a-b)(a+b)

—a2+ab-ab+b2

(a+b)(a-b)

=a2-+b2.

2,2；

a-b

2

(2)x-2.x-4x+4lr

2+

x-1'x_1x-2

_x-2.(x+1)(x-1)+1-x

x-1(x-2)2x-2

—x+l+1-X

x-2x-2

=x+l+l-x

x-2

=2

77r

【典例2】

分式计算：

x-2xx-4x+4x

［解答］解：(1)——xT).珏

x-2xx-4x+4x

(x+2)(x-2)-x(x-l).x

x(x-2)2x-4

—X2-4-X2+X.x

x(x-2)2"4

—x-4.x

X(x-2)2x-4

_1

(x-2)2,

______y______^x+y-x

(x+y)(x-y)x+y

—y.x』

(x+y)(x-y)y

；1

x-y

【典例3】

计算：

/,x36x+5

AxAX-X

(2)x-y.x2_/2y

-x+3y'x2+6xy+9y2x+y'

【解答】解：(1)苴二——普

X1-Xx?-X

=3+2-x+5

XX-1X(X-1)

3(xT)+6x_x+5

x(x-1)x(x-1)x(x-1)

_3x-3+6x-x-5

X(x-1)

_8x-8

X(x-1)

-8(x-l)

X(x-1)

—_8一；

x

(2)x-y.*2_y22y

22

x+3y'x+6xy+9yx+y

—x-y.(x+3y)2_2y

x+3y(x+y)(x-y)x+y

_x+3y_2y

x+yx-♦y

x+3y-2y

x+y

-x+y

x+y

=1.

【典例4】

计算下列各式：

9

(1)

X-1X-1

【解答】解：(1)上^_丝

X-1X-1

_X2-2X+1

x-1

_(x-1)2

x-1

=x-1；

(2)-----^-)xy

22

x-yx+y-y

22

=(、x+yx-y)xx-y

2222xv

x-yx-yxy

n22

2yxx-y

22TV

x-yxy

2

题型04分式的运算应用

【典例1】

11）+4的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（）

若化简（-x-4+x+4

x-16

A.2xB.x-2C.x+4D.4

x+4x-42x.X2-162X

【解答】解：原式={‘)•

(x-4)(x+4)(x-4)(x+4)△X2-16△△

/、红=1,结果是整数，故/符合;

2x

B、红，结果是分式，故8不符合;

x-2

丝，结果是分式，故。不符合;

x+4

红结果是整式，故。不符合;

D、

42

故选：A.

【典例2】

若旦+T—运算的结果为整式，则“口”中的式子可能是（

X9y2-x2

A.y-xB.y+xC.工D.3x

X

【解答】解：口+Y—=□x(y-x)(y+x)

x+yy2_x2x+y

..•运算的结果为整式，

口中式子一定含有x的单项式,

故只有。项符合.

故选：D.

【典例3】

2x+7N

对于任意的X值都有，则"，N值为（)

(x+2)(x-1)x+2x-1

A.M=\,N=3B.M=-1,N=3C.M=2,N=4D.M=\,N=4

【解答】解:2x+7_M(x-l)+N(x+2)二(M+N)x+(-M+2N)

(x+2)(x-1)(x+2)(x-1)(x+2)(x-l)

t.fM+N=2,

"l-M+2N=7'

解得：0=-i

lN=3

故选：B.

【典例4】

若一干了=上+贝I］/,8的值为()

x-4x-5x+1x-5

A.N=3,B=-2B.A=2,B=3C.A=3,B=2D.A=-2,8=3

【解答】解：由于上+-1-=A(x-5)+,(x?)二夕+B?x；5A+?,

x+1x-5(x+1)(x-5)(x+1)(x-5)

5x-7—5x-7

J_4X-5(X+1)(X-5)

5x-7=(4+8)x-5A+B,

・JA+B=5

-l-5A+B=-7,

解得：八=2,

lB=3

故选：B.

【典例5】

对于任意的x值都有-§+7=1+』,则加，N值为()

X2+X-2X+2X-1

A.M=\,N=3B.M=N=3C.M=2,N=4D.M=1,N=4

［解答］解.M+N_M(x-1)+N(x+2)_(M+N)x+(-M+2N)

2

x+2x-1(x+2)(x-1)X+X-2

・JM+N=2,

*l-M+2N=7，

解得："“I,

lN=3

故选：B.

题型05分式的化简求值

【典例1】

22

(1)先化简，再求值：-J^+x-4x+4j二2七其中x=-2.

2

X-1x-lx+1

2

(2)先化简，再求值：(2-2+a)+.+2a±l,从-2W“W1中选出合适的最大整数值代入求

a+2a+2

值.

22

【解答】解：(1)_J_+x_4x+4+工^

2

X-lx_|x+1

—1+(X-2)2•x+1

x-l(x+1)(x-l)x(x-2)

二1十x-2

X-lX(x-l)

=x+x-2

X(x-l)

_2x-2

X(x-l)

=2(x-l)

X(x-l)

—_2—，

X

当x=-2时，原式=-^-=-1；

-2

(2)(^L-2+a)+a>2a+l

a+2a+2

=3+(a-2)(a+2).a+2

a+2(a+1)2

3+@24.a+2

a+2(a+1)2

a?.a+2

a+2(a+1产

=(a+1)(a-1).a+2

a+2(a+1)2

_a-l

a+1

Va+2y^0,Q+1#0,

•・aW-2,aW-1,

丁-2Wa〈l,且a取最大整数,

当a=1时，原式=1-1=0.

1+1

【典例2】

n2

先化简，再求值：(]^-卜；-X,其中X为小于3的非负整数.

乂-1x-6x+9

O2

【解答]解：(1，-).j-x

乂-1x-6x+9

=--1-2.x(x-1)

x-l(x-3)2

=x-3.x(x-1)

x-l(x-3)2

—X

―7T

为小于3的非负整数，X-1W0,X-3^O,

.9.x=O或x=2,

当x=O时，原式=.0■=().

0-3

【典例3】

2

先化简，再求值：(旦且■_i)4.a+2a+l,其中a=J^-L

aa

2

【解答】解：原式=2a+『a式：之1)

aa

a+1.a

a(a+1)2

=1

Q，

当a=-1时，

原式一=亚.

V2-1+12

【典例4】

先化简，再求代数式(1-----+芸■的值，其中x=V2-l.

X2+2X+12X+24X+4

【解答】解:X_]、.X-l

X2+2X+12X+2-4x+4

=[-----——--1---].x-l

(x+1)22(x+l)4(x+l)

2x-x-l,4(x+1)

2(x+l)2x-l

—x-1.4(x+l)

2(x+l)2x-1

=2

x+1'

当xS-1时，

原式=^^一

V2-1+1

=V2.

【典例5】

2

有这样一道题“求且二曳-+且」的值，其中a=2018”.“小马虎”不小心把.=2018错抄成a

a-1a+2a+la+1

=2008,但他的计算结果却是正确的，请说明原因.

2

［解答］解：

a2-la2+2a+la+1

_a(a+l)_a+1.a+1

(a-1)(a+1)(a+l)2a-l

_a1

a-1a-1

_a-l

a-l

=1,

则原式的值与。的值无关，

・•・“小马虎”不小心把。=2018错抄成。=2008,但他的计算结果却是正确的.

强化训练

1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032加机，用科学记数法表示正确的是（）

A.3.2X10-1°B.3.2X10-8C.3.2X10-7口.3.2X10-9

【解答】解：0.00000032=3.2X107,

故选：C.

2.如果工那么分式呈上的值是（）

xyx+y

A.6B.3C.2D.12

【解答】解:••我』，

xy

C.x+y=3xy,

.6xy6xy°

x+y3xy

故选：C.

3.若a+6=2,则代数式叵_@)小且也的值为()

aa

A.AB.-工C.2D.-2

22

【解答】解：g-a)+生电

aa

,22,

b-aa-b

aa

__(a+b)(a-b).a

aa-b

=-(a+b),

当a+b=2时，原式=-2,

故选：D.

2

4.若化简———+的结果为上，则加的值是()

x-2x+lx-3+mx-1

A.-4B.4C.-2D.2

［解答］解：——-----r—--=——-------,x-3+m

22

X-2X+1x-3g（X-1）x

•.•其结果为上，

X-1

/.X-3+加=工-1,

解得：m=2.

故选：D.

5.一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从4地到5地需要，小时,若该汽车的行驶速度在原来的基础上

增加冽千米每小时，那么提速后从4地到5地需要的时间比原来减少（）

A.工B.C.皿D.工一

m+vm+vm+vm+v

【解答】解：/地到3地的路程=讨（千米），

提速后的速度=叶根（千米每小时），

提速后的时间：工（小时），

v+m

.•.提速后从/地到8地需要的时间比原来减少=「工，

v+m

故选：B.

22

6.若a=2"在如图的数轴上标注了四段，则表示qjb的点落在（）

a2+ab

—①—、—②—、—③—、一④—、

「、、•、、/、、一、J»

-2-1012

A.段①B.段②C.段③D.段④

【解答】解：,・％=2小

a2+ab

=(a+b)(a-b)

a(a+b)

a-b

a

_2b-b

2b

_b

2b

1

2

22

表示W-b的点落在段③,

a+ab

故选：C.

222

7.若M+-xy+y=x-y,则/是(

(x-y)2y

(x+y)2

x-y

C,也

y

222

【解答】解：.MLxy+y邑工

(x-y)2y

.\A/=A2zy2.y(x4v)

y(x-y)2

—(x-y)(x灯).y(x~^y)

丫(x-y)2

2

=(x+y)

x-y

故选：B.

l+a11+a。1+23

8.已知一列均不为1的数的，。2,。3，…，诙满足如下关系：。2=-----。3=----------

1-al1-a2

l+a

a.=----,右Q]=2,则(22023的值是()

n+1l-an-

A.-AB.▲C.-3D.2

23

【解答】解：由题意得，

ci\=2,

1+al_1+2

3,

I-a]l-2

的=2=1+(-3)=上

1-1-(-3)2

1+()

_l+a3_4_

1

。4

1-a31-(卷)3

1+&4

-

la4

・•・〃〃的值按照2,-3,-1,1,……4次一个循环周期的规律出现,

23

720234-4=505……3,

^2023的值是-

2

故选：A.

9.化简：」__乂+1的结果是上—

x+1x+1

【解答】解：原式='-(X-1)

x+1

—1_(x-1)(x+1)

x+1x+1

1_x2T1

x+1x+1

_2O-x2

x+1

故答案为：区/

x+1

4ab

io.己知-L—L=4,则的值为1

a2ba-2b2~

【解答】解：由已知条件可得a-26=-8",

则4ab4ab_1

a-2b-8ab2

故答案为：--

2

11.定义一种新运算JBnxkldxuan-bn,f^2xdx=k2-m2-则J；-x2dx1

4

【解答】解：由题意得,

2dx=4一一2-=》.勺

故答案为：

4

12.定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分

式”.

例如：x+1=x-l+2=x-l+2=1「；3x-2=3(x+1)-5=3(x+1)+-5=3^^-；将，，赋整

X-lX-lX-lx-1x-lx+1x+1x+1x+1x+1

分式”丝工化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是2+-3_.

2x-l2x-l~

【解答】解：丝土

2x-l

_2(2x-l)+3

2x-l

=2+^—,

2x-l

21

13.先化简，再求值：(工--x+l)+———，再从-1、0、1三个数中选择一个你认为合适的数作为

x+1