2024八年级数学下册专项讲与练：正方形

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（2023・四川宜宾•统考中考真题）如图，边长为6的正方形N8CD中，M为对角线RD上的一点，连

接并延长交CD于点尸.若PM=PC,则的长为（）

2.（2023•四川攀枝花•统考中考真题）如图，已知正方形/3C。的边长为3,点尸是对角线8。上的一点,

于点尸，尸£_L/3于点E,连接尸C,当尸=1:2时，则尸C=（）

A.73B.2C.75D.I

3.（2023・重庆・统考中考真题）如图，在正方形/BCD中，。为对角线NC的中点，£为正方形内一点,

连接BE,BE=BA,连接CE并延长，与248E的平分线交于点区连接OF,若AB=2,则OF的长度为

A.2B.4C.1D.平

4.（2022•山东青岛•统考中考真题）如图，。为正方形N3CD对角线NC的中点，A4CE为等边三角

形.若AB=2,则的长度为（）

E

C.2aD-20

5.（2022•内蒙古包头•中考真题）如图，在矩形48CD中，AD>AB,，&E,尸分别在4D,8C边上，

EF//AB,AE=AB,N尸与BE相交于点。，连接。C,若BF=2CF,则OC与E厅之间的数量关系正确的

是（）

ED

A.2OC=^EFB.F(JC=2EF

C.2OC=^EFD.OC=EF

6.（2022•贵州黔东南•统考中考真题）如图，在边长为2的等边三角形4BC的外侧作正方形A8瓦），过

点。作。尸，8C,垂足为尸，则。尸的长为（）

FBGC

A.2/+2C.3-73D.73+1

7.（2022・四川德阳•统考中考真题）如图，在四边形/BCD中，点E,F,G,H分别是,BC,

CD,边上的中点，则下列结论一定正确的是（）

A.四边形EFG”是矩形

B.四边形EFGH的内角和小于四边形48CD的内角和

C.四边形EFG”的周长等于四边形4BCD的对角线长度之和

D.四边形EFG"的面积等于四边形48CD面积的1

4

8.（2022•山东滨州•统考中考真题）正方形/BCD的对角线相交于点。（如图1）,如果/8OC绕点。

按顺时针方向旋转，其两边分别与边相交于点E、尸（如图2）,连接斯，那么在点£由8到/的过

程中，线段即的中点G经过的路线是（）

D.波浪线

9.（2022・浙江绍兴•统考中考真题）如图，在平行四边形48CD中，AD=2AB=2,/4BC=60。，E,

厂是对角线8。上的动点，且BE=D尸，M,N分别是边边BC上的动点.下列四种说法：①存在

无数个平行四边形MENF;②存在无数个矩形AffiNF;③存在无数个菱形MENF；④存在无数个正方形

MENF.其中正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

10.（2022•黑龙江牡丹江•统考中考真题）下列图形是黄金矩形的折叠过程：第一步，如图（1）,在一

张矩形纸片一端折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步，如图（2）,把正方形折成两个相等的矩形再

把纸片展平；第三步，折出内侧矩形的对角线/凡并把折到图（3）中所示的处；第四步，如图

（4）,展平纸片，折出矩形2CDE就是黄金矩形.则下列线段的比中：①总，②空，③啜,

DEADND

④*,比值为的是（）

A.①②B.①③C.②④D.②③

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

11.（2023•黑龙江哈尔滨•统考中考真题）如图在正方形/3CD中，点£在。。上，连接NE,BE,F为

3E的中点连接CF.^CF=-则NE的长为.

2EC2-------

12.（2023•宁夏•统考中考真题）如图，在边长为2的正方形NBC。中，点E在/。上，连接E5,

EC.则图中阴影部分的面积是.

AED

13.（2023•山东•统考中考真题）如图，在正方形/BCD中，分别以点45为圆心，以N8的长为半径画

弧，两弧交于点E,连接DE,则

14.（2023・广西•统考中考真题）如图，在边长为2的正方形48CD中，E,尸分别是3C,CD上的动点,

M,N分别是EF,//的中点，则的最大值为.

15.（2023•山东枣庄•统考中考真题）如图，在正方形/BCD中，对角线ZC与AD相交于点O,£为3C

上一点，CE=1,b为DE的中点，若△0£下的周长为32,则。尸的长为.

16.（2022・海南•统考中考真题）如图，正方形N3C。中，点£尸分别在边5C、CD±,

AE=AF,ZEAF=30°,贝ij乙44=。；若△/EF的面积等于1,则Z2的值是

17.（2022•山西•中考真题）如图，在正方形/BCD中，点£是边2C上的一点，点尸在边CD的延长

线上，且BE=DF,连接E尸交边4D于点G.过点/作尸，垂足为点M,交边CD于点N.若

BE=5,CN=8,则线段NN的长为

18.（2022•四川攀枝花•统考中考真题）如图，以“3C的三边为边在上方分别作等边A/CD、

△ABE、ABCF.且点/在△BCE内部.给出以下结论：

①四边形ADFE是平行四边形；

②当NA4c=150。时，四边形4D尸E是矩形；

③当=时，四边形4DFE是菱形；

④当/8=/C,且NA4c=150。时，四边形4D尸E是正方形.

其中正确结论有（填上所有正确结论的序号）.

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

19.（8分）（2023•湖北黄石•统考中考真题）如图，正方形A5C。中，点M,N分别在N8,上,

且BM=CN,AN与DM相交于点p.

（1）求证：^ABN=ADAM；

（2）求N4PM的大小.

20.(8分)(2022・贵州贵阳•统考中考真题)如图，在正方形/BCD中，E为/。上一点，连接BE,BE

的垂直平分线交48于点M,交CD于点N,垂足为O,点尸在DC上，且“/〃40.

(1)求证：Z\ABE空AFMN；

(2)若AB=8,AE-6,求ON的长.

21.(10分)(2022•四川雅安•统考中考真题)如图，E,厂是正方形/BCD的对角线3。上的两点，且

BE=DF.

(1)求证：△ABE三△CDF；

(2)若AB=3收,BE=2,求四边形NECF的面积.

22.（10分）（2023・湖北十堰•统考中考真题）如图，的对角线/CAD交于点。，分别以点2,C

为圆心，长为半径画弧，两弧交于点尸，连接8RCP.

（1）试判断四边形8尸CO的形状，并说明理由；

（2）请说明当。/BCD的对角线满足什么条件时，四边形8PC。是正方形？

23.（10分）（2023•广东广州•统考中考真题）如图，在正方形/3CZ•中，E是边/。上一动点（不与点

A,。重合）.边2c关于BE对称的线段为8尸，连接

（1）若NABE=15。，求证：尸是等边三角形；

（2）延长E4,交射线BE于点G；

①ABGb能否为等腰三角形？如果能，求此时//8E的度数；如果不能，请说明理由；

②若48=0+4，求A2G尸面积的最大值，并求此时4E的长.

AED

F

BC

24.(12分)(2022•新疆・统考中考真题)如图，在A48c巾，ZABC=30°,N2=NC,点。为3C的中

点，点。是线段OC上的动点(点。不与点。，C重合)，将A/CD沿/。折叠得到A4ED,连接

(1)当4E_L8c时，NAEB=°;

(2)探究N/E2与/C4D之间的数量关系，并给出证明；

(3)设/C=4,A/CD的面积为x,以/。为边长的正方形的面积为乃求y关于x的函数解析式.

备用图

参考答案：

1.C

【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出河二△COM,根据全等三角形的性质可得

/DAM=/DCM,再根据等腰三角形的性质可得/CMP=/QCW,从而可得=30。，然后利用勾股

定理、含30度角的直角三角形的性质求解即可得.

解：丁四边形Z3CD是边长为6的正方形，

AD=CD=6,ZADC=90°,ZADM=ZCDM=45°,

DM=DM

在dADM和bCDM中,</ADM=ZCDM=45°,

AD=CD

:.AADM=^CDM(SAS)9

/.ADAM=ZDCM,

PM=PC,

ZCMP=ZDCM,

/.ZAPD=ZCMP+ZDCM=2ZDCM=2ZDAM,

又•・•ZAPD+ADAM=-ZADC=9(T,

:.ZDAM=30°,

设PD=x,贝IJAPMZPQMZX,PM=PC=CD-PD=6-x,

AD=JAP2-PDz=yfix=6,

解得工二2追，

/.PM=6-x=6-2-^3,AP=2x=4y/3,

4M=4P_PM=46_(_26)=6履一J,

故选：C.

【点拨】本题考查了正方形的性质、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等

知识点，熟练掌握正方形的性质是解题关键.

2.C

【分析】先证四边形NE尸尸是矩形，可得PE=NF,ZPFD=90°,由等腰直角三角形的性质可得

尸尸=。尸，可求相，。尸的长，由勾股定理可求AP的长，由SAS"可证AABP咨LCBP,可得/P=PC=B

解：如图:

连接力尸，

四边形/3CD是正方形，

；"=4D=3,AADB=45°,

•••PF1AD,PELAB,ABAD=90°,

四边形4EM是矩形，

PE=AF,NPFD=90。,

:.^PFD是等腰直角三角形，

:.PF=DF,

■：PE:PF=1:2,

:.AF-.DF=1:2,

：.AF=l,DF=2=PF,

:.AP=^JAFI+PF2=Vi+4=V5，

AB=BC,ZABD=ZCBD=45°,BP=BP,

ZX/B尸学△CBP(SAS),

AP=PC=4i，

故选：C.

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理等知识，灵活

运用这些性质解决问题是解题的关键.

3.D

【分析】连接加，根据正方形/3CD得到=8c=此，ZABC=90°,根据角平分线的性质和等腰

三角形的性质，求得/AFE=45。，再证明尸2AEAF,求得//FC=90。，最后根据直角三角形斜边上

的中点等于斜边的一半，即可求出。尸的长度.

解：如图，连接册,

v四边形ZBCD是正方形，

:.AB=BE=BC,/ABC=90。,AC=^AB=2y/2,

/BEC=/BCE,

NEBC=18（T—2NBEC,

/ABE=/ABC-ZEBC=2/BEC-90°,

•;BF平分/ABE,

?.AABF=ZEBF=-NABE=NBEC-45°,

2

ZBFE=NBEC-ZEBF=45。，

在ABAF与LBEF,

'AB=EB

<Z_ABF=NEBF,

BF=BF

:aBAF知BEF（SAS）,

ZBFE=ZBFA=45°,

ZAFC=NBFA+ZBFE=90°,

为对角线/C的中点，

：.OF=-AC=42,

2

故选：D.

【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三角形特征,

作出正确的辅助线，求得/BEE=45。是解题的关键.

4.B

【分析】利用勾股定理求出/C的长度，再利用等边三角形的性质即可解决问题.

解：在正方形中：AB=BC=2,ZABC=90°,

■■AC=^ABi+BCi=J22+22=2&,

■：O为正方形/BCD对角线/C的中点，

OC=-AC=y[2,

2

•・•△/CE为等边三角形，。为/C的中点,

■■EC=AC=242,EO1AC,

；.NEOC=90°,

■■■OE=4ECi-OCi=Xv2)-(/2)=V6,

故选：B.

【点拨】此题考查了正方形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键.

5.A

【分析】过点。作0M1BC于点先证明四边形45总是正方形，得出披=。尸=(W,再利用勾

股定理得出6CF,即可得出答案.

解：过点。作OM15c于点"，

v四边形是矩形，

ZABC=ABAD=90。，

丁EF//AB

：.^AEF=180°-^BAD=90°,

/.ZABC=/BAD=ZAEF=90°,

・•・四边形是矩形，

又•:AB=AE,

••・四边形48尸片是正方形，

/.AAFB=45°,OB=OF9EF=BF,

：.MF=-BF=OM,

2

BF=2CF,

MF=CF=OM,EF=2CF,

由勾股定理得OC=>]OM2+CM2=Jc尸2+(2。*=y/5CF,

2.OC=y/5EF,

故选：A.

【点拨】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点

是解题的关键.

6.D

【分析】过点/分别作NG13C于点G,AHLDF于点、H,可得四边形NGF”是矩形，从而得到

FH=AG,再由A45C为等边三角形，可得乙8/G=30。，BG=1,从而得到尸〃=再证得

ADAH=U4G=30°,然后根据直角三角形的性质，即可求解.

解：如图，过点/分别作AGLBC于点G,AHLDF于点H,

•:DFLBC,

.ZGFH=UHF=UGF=90°,

四边形NGEH■是矩形，

；.FH=AG,

•••A48C为等边三角形，

."/C=60°,BC=AB=2,

••ZA4G=30°,BG=1,

■■AG=qAB?-BGz=y/3,

FH=朋,

在正方形中，AD=AB=2,z.BAD=90°,

・•.U)AH=CBAG=3N,

.-.DH=-AD=l,

2

■■DF=DH+FH=j3+l.

故选：D

【点拨】本题主要考查了等边三角形和正方形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形和正

方形的性质，直角三角形的性质是解题的关键.

7.C

［分析］连接NC,BZ),根据三角形中位线的性质==EF=HG=LAC,

EF//AC//HG,EH//BD//FG,继而逐项分析判断即可求解.

解：连接设交于点O,

；点E,F,G,a分别是/B,BC,CD,边上的中点，

EH=FG=；BD,EF=HG=-AC,EF//AC//HG,EH//BD//FG

22

A.四边形£FG〃是平行四边形，故该选项不正确，不符合题意；

B.四边形EFG”的内角和等于于四边形48CD的内角和，都为360。，故该选项不正确，不符合题意；

C.四边形斯GH的周长等于四边形48CD的对角线长度之和，故该选项正确，符合题意；

D.四边形EFGH的面积等于四边形48CD面积的L,故该选项不正确，不符合题意；

2

故选C

【点拨】本题考查了中点四边形的性质，三角形中位线的性质，掌握三角形中位线的性质是解题的关

键.

8.A

【分析】连接OG,3G,根据题意可知/£8尸=/£。尸=90。则线段的中点G经过的路线是。的线

段垂直平分线的一段，即线段

解：连接OG,8G,根据题意可知=尸=90。，

•••点G在线段OB的垂直平分线上.

则线段£尸的中点G经过的路线是。的线段垂直平分线的一段，即线段.

故选：A.

【点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性

质，掌握以上知识是解题的关键.

9.C

【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后逐一分析即可.

如图，连接AC,与BD交于点O,连接ME,MF,NF,EN,MN,

•.•四边形ABCD是平行四边形

■■.OA=OC,OB=OD

•■,BE-DF

：.OE=OF

•:点、E、尸时助上的点，

二只要N过点。，

那么四边形MENF就是平行四边形

・・・存在无数个平行四边形MENF,故①正确；

只要MN=EF,MN过点O,则四边形MENF是矩形，

•.•点E、尸是8。上的动点，

・・・存在无数个矩形MENF,故②正确；

只要MV1£F,过点O,则四边形MENF是菱形；

•.•点£尸是AD上的动点，

・・・存在无数个菱形故③正确；

只要MN=EF,MN1EF,MN过点。，

则四边形MENF是正方形，

而符合要求的正方形只有一个，故④错误；

故选：C

【点拨】本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的判定、解答本题的关键时

明确题意，作出合适的辅助线.

10.B

【分析】设MV=2,则NC=1,求出BE=CD=^-\,分别求出比值，作出判断.

解：设MN=2,

：.4c=1,

在^ABC中，=,12+22=7^,

由折叠可知，AD=AB=4i,

BE=CD=AD-AC=45-1,

又•：DE=BC=MN=2,

.CD_V5-1

"~DE

DE_2_275

而一存s-'

DE_22_75-1

~ND~NA+AD~75+1~'

AC_1y/5

而一羽一丁‘

二比值为五二1的是①③，

2

故选：B.

【点拨】本题考查四边形综合题，黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换、矩形的性质等知识，解题

的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

11.臼

【分析】根据正方形的性质得到/O=CD=3C,ZD=ABAD=ZBCD=90°,AD=CD=BC=5a,

根据勾股定理求出。的值，再根据勾股定理即可求出NE的长.

解：丁正方形ZBCD

AD=CD=BC,ZD=ABAD=ZBCD=90°

二方为BE的中点，CF=^-

2

j12g__

/.BE=2CF=2x2_=729

设AD=CD=BC=5a

DE3

.EC=2

二.DE=3。,CE-2。

在RtABEC中，

BE2=BC2+CE2

即(>/5^)2=(5a)2+(2a)2

解得“=1

故AD=CD=BC=5,DE=3

■■在RtZ\/£P中

AE2=AD2+DE2=52+32=34

解得/£=后(负值舍去)

故答案为：\/34.

【点拨】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股

定理是解题的关键.

12.2

【分析】根据正方形48c。的乙8/。=90。，ZCDA=90°,边长为2,阴影部分面积等于与ACDE

面积的和，运用三角形面积公式，即可求解.

解：•••四边形/BCD为正方形，

ABAD=90°,ZCDA=90°,

•.•正方形4BCD的边长为2,

S,=S+S

阴影AABE”DE

=LAEAB+LDE.CD

22

=-AEx2+-DEx2

22

=AE+DE

=AD

=2.

故答案为：2.

【点拨】本题主要考查了正方形，三角形面积.熟练掌握正方形的边角性质，三角形面积公式，是解

题的关键.

13.15

【分析】证明是等边三角形可得NB4E=60。，再求出/D/E=30。，利用等腰三角形的性质可求

出NADE=75。，进而可求出/CZ>£=15。.

解：连诿AE,BE,

由作图方法可知，AB=AE=BE,

・•.△ABE是等边三角形，

•••ZBAE=60°,

•.•四边形48co是正方形，

；.NBAD=ADC=90°,AD=AB=AE,

■.ZDAE=90°-60°=30°,

NADE=AED=⑻"。。="。

2

.•.NCZ)E=90°-75°=15°.

故答案为：15.

【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确作出辅助线

是解答本题的关键.

14.甲

【分析】首先证明出九W是的中位线，得到儿W=然后由正方形的性质和勾股定理得到

AE=>JAB2+BEi=>J4+BE2,证明出当BE最大时，NE最大，此时最大，进而得到当点E和点C重

合时，BE最大,即8c的长度，最后代入求解即可.

解：如图所示，连接NE,

■.M,N分别是斯，/尸的中点，

.•.MN是尸的中位线，

,-.MN=-AE,

2

•.•四边形N3CD是正方形，

.-./5=90°,

AE=yjABa+BE2=、/4+BE2，

二当BE最大时，/E最大，此时最大，

,点£是BC上的动点，

二当点£和点C重合时，BE最大，即BC的长度，

,此时=J4+22=2、叵，

■,MN=-AE=42,

2

的最大值为点.

故答案为：yfl.

【点拨】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握

以上知识点.

15.E

2

【分析】利用斜边上的中线等于斜边的一半和△CEF的周长，求出的长，进而求出DE的长，

勾股定理求出CD的长，进而求出5E的长，利用三角形的中位线定理，即可得解.

解：・•・CE=7,ACEF的周长为32,

;.CF+EF=32-1=25.

•.•尸为DE的中点,

DF=EF-

/BCD=90°,

：.CF=-DE,

2

：.EF=CF^-DE=12.5,

2

DE=2EF=25,

CD=RDE-CEZ=24.

四边形/BCD是正方形，

:.BC=CD=24,。为8D的中点，

尸是ABDE1的中位线，

1117

,-.OF=-(BC-CE)=-(24-7)=—.

17

故答案为：—.

【点拨】本题考查正方形的性质，斜边上的中线，三角形的中位线定理.熟练掌握斜边上的中线等于

斜边的一半，是解题的关键.

16.60出

【分析】由正方形的性质证明即可得到=/尸，再由/£/尸=30。可得

ZBAE=ZDAF=ZEAF=30°,即可求出乙设BE=x,表示出的面积，解方程即可.

解：•・・正方形48co

ZB=ZD=ABAD=90°,AB=AD=DC=CB

AE=AF

・•・RMABE=Rt^ADF(HL)

；•/BAE=NDAF,BE=DF

•・•ZEAF=30。，/BAE+ZDAF+ZEAF=90°

・•.ZBAE=ZDAF=ZEAF=30°

・・・/AEB=60。

设BE=x

AB=y/3x,DF=BE=x,CE=CF=V—1x

:.s=s、-s-s-s

△AEF正方形A/BCD4ABE^ADF^CEF

=AB2一工AB•BEx2-、CE•CF

22

=(>/3X)2->/3x-x-i(V3-l)-^>(>/3-1)X

=X2

■.■AAEF的面积等于1

X2=l,解得x=l,X=-1(舍去)

AB=yfix=y/3

故答案为：60；6

【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、30。直角三角形的性质，熟练掌握正方形

的性质，证明三角形全等是解题的关键.

17.4734

【分析】连接/£、AF、EN,首先可证得之△/DF("S),AE=AF,可证得4N垂直平分£尸,

可得EN=7W,再根据勾股定理即可求得正方形的边长，再根据勾股定理即可求得/N的长.

解：如图：连接/£、4F、EN,

四边形48co是正方形

•••设AB=BC=CD=AD=a,ZB=ZADF=9Q°,

在A4BE与A4DF中,

AB=AD

<ZB=ZADF

BE=DF

.1△ABE也AADF（SAS）,

AE=AF,

二.△/所是等腰三角形，

又；AMLEF,

：./N垂直平分所，

EN=FN=DN+DF=CD-CN+DF=a-S+5=a-3,

又；BE=5,

:.EC=BC-BE=a-5,

在Rt^ECN中，ENi=EC2+CN2,

(a-3>=(a-5>+82,

解得。=20,

AD=20,DN=CD-CN=20-8=12,

在Rt^ADN中，ANi=ADi+DNi,

AN=^ADi+DN2=^202+122=4734,

故答案为：4734.

【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直

平分线的性质，勾股定理，证得/N垂直平分跖是解决本题的关键.

18.①②③④

【分析】对于结论①，由等边三角形的性质可得，△成喈之△/CB(SAS),则EF=NC=NO;同理，由

△CDF之△C4B,得DF=,由/E=D尸，4D=£1下即可得出四边形/。尸£是平行四边形；对于结

论②，当NA4c=150。时，

/E4D=360。-/比1E-/B/C-/C^D=9O。，结合结论①，可知结论②正确；对于结论③，当AB=AC

时，AE=AD,结合结论①，可知结论③正确；对于结论④，综合②③的结论知：当N8=4C,且

/A4c=150。时，四边形既是菱形，又是矩形，故结论④正确.

解：解析：①YAABE、ACS厂是等边三角形，

:.BE=AB,BF=CB,ZEBA=ZFBC=60°,

ZEBF=ZABC=60°-ZABF,

.1△EFB也△/CB(SAS),

：,EF=AC=AD,

同理由△C。尸乌△C48,得DF=AB=AE,

由4E=DF,/。=跖即可得出四边形/。庄t是平行四边形，故结论①正确；

②当NA4c=150。时，

ZEAD=360°-NBAE-ABAC-ACAD=360°-60°-150°-60°=90°,

由①知四边形/EFD是平行四边形，

平行四边形4。/石是矩形，故结论②正确；

③由①知=AC=AD,四边形/EFD是平行四边形，

.,.当/5=/C时，AE=AD,

二平行四边形/MD是菱形，故结论③正确；

④综合②③的结论知：当AB=AC,且NR4C=150。时，四边形4EED既是菱形，又是矩形，

四边形4EFD是正方形，故结论④正确.

故答案为：①②③④.

【点拨】本题主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定方法，熟练掌握以上图形的判定方

法是解题的关键.

19.（1）见分析；（2）90°

【分析】（1）直接利用SAS证明全等即可；

（2）根据全等的性质，得出NK4P=N4DM,再由+4Mp=乙4。河+4Mp=90。，从而求出

ZAPM=90°.

解：（1）证明：：四边形4BCD是正方形，

AB=AD=BC,ADAM=ZABN=90°,

BM=CN,

BC-CN=AB-BM,gPBN=AM,

在AABN和ADAM中，

AB=AD,

<ZABN=ADAM,

BN=AM,

:AABN=ADAM（SAS）；

（2）解：由（1）知AABN三2AM,

ZMAP=ZADM,

ZMAP+ZAMP=ZADM+ZAMP=90°,

ZAPM=18(T-(ZMAP+ZAMP)=90°.

【点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关图形的性质和判

定.

20.(1)见详解；(2)—

4

【分析】(1)先证明四边形4。尸M是矩形，得到U女乱尸，乙iMF=90「NMFD,再利用MNLBE证得

^MBO^OMF,结合ZJ=9(TNMFM即可证明；

(2)利用勾股定理求彳脓E=：10"V,根据垂直平分线的性质可得。=OE=5,BM=ME,即有

25

AM=AB-BM=8ME,在舟A4ME中，+AEi=ME2,可得(8—Affi)2+62,解得：ME=—,即有

25

BM=ME=—,再在用中利用勾股定理即可求出MO,则M9可求.

4

解：(1)在正方形Z5CQ中，有AD=DC=CB=AB,/G4=Z£>=ZC=90°,BC//AD,

AB//DC9

'：MF//AD,"3=90°,AB//DC,

・•・四边形是矩形，

：.AD=MF,UMF=90°=^LMFD,

:,(BMF=9b=3FM,即㈤勿+NOMF=90。，AB=AD=MF,

・•・MN是8E的垂直平分线，

:・MN【BE,

工乙BOM=9U0=乙BMO+乙MBO,

・••乙MBO二(OMF,

ZNFM=Z.A=90°

<MF=AB,

ZOMF=AMBO

:,"BE二AFMN；

(2)连接“石，如图，

rAB=8,AE=6,

.♦.在RtAABE中，BE=y]AB2+AE2=,82+62=10,

••・根据（1）中全等的结论可知M2V=8£=10,

・••"N是BE的垂直平分线，

：.BO=OE=-BE=5,BM=ME,

2

■■■AM=AB-BM=8-ME,

.•.在RtAAME中，AM2+AE2=MEi,

25

.•.（8—ME）2+62=Affi2,解得：ME=—,

25

；.BM=ME=——，

4

・••在RtABMO中，MO2=BM2-BO2,

・•・MO=4BM2—BO2=J咛）二52=?,

s1525

ON=MN-MO=10--=—.

44

25

即NO的长为：

4

【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形

的判定与性质等知识，掌握勾股定理是解答本题的关键.

21.（1）证明见分析；（2）6

【分析】（1）利用正方形的性质证明==歹=45。,再结合8石=。尸，从而可得结论；

（2）先利用正方形的性质证明/C=3O=6,/C，8。，再求解EF的长，再利用四边形NECF的面积

=s+s=LEF,AC，即可得到答案.

△AEF"EF2

解：（1）证明：丁正方形4BC。，

/.AB=CD,zABE=zCDF=45°,

:BE=DF,

△ABE知CDF.

(2)如图，连结NC,

正方形45cZ),AB=372,

AC=BD=6,4Cl皿

:.EF=6-2-2=2,

・•・四边形4£CF的面积=S+S=?EF・AC

△AEF&CEF2

1c，，

=_x2x6=0.

2

【点拨】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法

运算，掌握〃正方形的对角线相等且互相垂直平分〃是解本题的关键.

22.（1）平行四边形，见分析；（2）4C=AD且

【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到5尸=；/。=。。,。尸=；BD=OB,根据两组对边分别相等

的四边形是平行四边形判定即可.

（2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可.

解：（1）四边形APCO是平行四边形.理由如下：

DABCD的对角线/C8。交于点O,

.-.AO=OC,BO=OD,

•・•以点8,C为圆心，长为半径画弧，两弧交于点P,

...BP=-AC=OC,CP=-BD=OB

22

四边形BPCO是平行四边形.

（2）•••对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形，

.•・/。=50且/。，5。时，四边形3PC0是正方形.

【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的

关键.

23.（1）见分析；（2）①ABG尸能为等腰三角形，ZABE=22.5°;②AE=平

【分析】（1）由轴对称的性质得到8b=8C,根据正方形的性质得到N/BC=90。，求得/C8£=75。,

根据轴对称的性质得到/F5E=/CBE=75。，根据等边三角形的判定定理即可得到结论；

（2）①根据轴对称的性质得到8c=8尸，根据正方形的性质得到8C=AB,得到a4<8E<3G,推

出点3不可能是等腰三角形3G尸的顶点，若点F是等腰三角形3GF的顶点，则有

ZFGB=ZFBG=ZCBG,此时E与。重合，不合题意，于是得到只剩下GP=G6了，连接CG交/。于

根据全等三角形的性质得到尸G=CG,得到ABG尸为等腰三角形，根据平行线的性质得到ZAHG=ZBCG,

求得ZBGF=ZBGC=1ZFGH=45°,根据等腰三角形的性质得到

ZGBC=ZGCB=1（180°-ZBGC）=67.5°,于是得到ZABE=ZABC-ZGBC=90°-67.5°=22.5°；

2

②由①知，ACBGAFBG,要求ABG尸面积的最大值，即求ABGC面积的最大值，在ABGC中，底

边是定值，即求高的最大值即可，如图2,过G作GPL8c于P,连接/C,取4C的中点连接

GM,作MNLBC于N,设N8=2x,则/。=2低，根据直角三角形的性质得到

GM=^AC=y/2x,MN=^AB=x,推出尸G4GM+MV=（及+l）x,当当G,M,N三点共线时，取等号,

于是得到结论；如图3,设尸G与/。交于。，则四边形/3PQ是矩形，根据矩形的性质得到

AQ=PB=x,PQ=AB=2x,求得QM=MP=x,GM=JIx,于是得到结论.

解：（1）证明：由轴对称的性质得到2尸=2C,

•.•四边形N3CZ）是正方形，

.-.ZABC=90°,

■,■AABE=15°,

ZCBE=75°,

5。于BE对称的线段为8尸，

.•./FBE=/CBE=75。,

・•・/ABF=ZFBE-/ABE=60°,

・・・△/5厂是等边三角形；

（2）①・••5C于成1对称的线段为昉，

：.BF=BC

••・四边形Z5CD是正方形，

，BC=AB,

；.BF=BC=BA,

''E是边AD上一动点，

：.BA<BE<BG.

・