2025高考数学一轮复习 直线、平面垂直的判定与性质 专项训练【原卷版】

2025高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质-专项训练【原卷版】

1.如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（）

C.①③D.②③

2.如图，在斜三棱柱/8C-481G中，/R4c=90°,BCi±AC,贝G

在底面/8C上的射影〃必在（）

A.直线上B.直线8C上

C.直线NC上D.△45C内部

3.已知圆锥S。的底面半径为心当圆锥的体积为名八时，该圆锥的母线与底面所成

6

角的正弦值为（）

4.在三棱锥尸-48。中，已知R1_L平面48C,PA=AB=BC=2,ZABC=-.若该三棱

2

锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.4兀B.1071

C.1271D.48兀

5.（多选）已知a,£是空间两个不同的平面，小，〃是空间两条不同的直线，则给出的下

列说法中正确的是（）

A.m//a,n///3,且则a〃/

B.m//a,n//P，且加_L〃，贝!JaJ_£

C.nA-p,且加〃”，贝!Ja〃/

D.mA_a,且加_L〃，贝|aJ_£

6.（多选）如图，在正方形48。中，E,歹分别是8C,CD的中点，/C与郎交于点G,

现沿NE,/尸及£尸把这个正方形折成一个空间图形，使瓦C,。三点重合，重合后的点

记为X,那么在这个空间图形中必有（）

H

AD

A./G_LZ\£F〃所在平面B.所在平面

C.EF_LZ\/G〃所在平面D.HG_LZ^4EF所在平面

7.已知平面a,£和直线加,给出以下条件：(1)加〃a；(2)加_1_0(；(3)加Ua；(4)a_L£；(5)ot

〃夕，当条件成立时，有m〃花当条件成立时，有加_L£.(填所选条件的

序号)

8.已知N4C8=90°,尸为平面NBC外一点，PC=2,点尸到/NC8两边NC,8c的

距离均为他，那么P到平面ABC的距离为.

9.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面48。为矩形，平面以。

_L平面/BCD,PALPD,PA=PD,E,歹分别为N。，尸8的中点.

(1)求证：PELBC-,

(2)求证：平面/M3_L平面尸CO；

(3)求证：£尸〃平面PCD.

10.(多选)如图，正方体/2。-/闰口01的棱长为1,线段81A

上有两个动点£,F,且EF=蔗,则下列结论中正确的有()

A.当£点运动时，4C_L4E总成立

B.当£向功运动时，二面角4£下力逐渐变小

C.二面角E-AB-C的最小值为45°

D.三棱锥的体积为定值

11.图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点/,B,C

在同一水平面内.塔身尸。，平面A8C,直线/。与3c的交点E是3C的中点，起重小车

挂在线段NO上的。点，AB^AC,DO=6m.若PO=2m,PB=3m,△4BC的面积为10

m2,根据图中标注的数据，忽略△/2C自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下

可得点力,尸之间的距离为(0.502)=1.5。£)()

A.2而m

C.8mD.9m

12.如图所示，在四棱锥中，〃，底面48C。，且底面各边都相等，M是PC

上的一动点，当点M满足时，平面平面PCD(只要填写一个你认为是正确

的条件即可).

13.如图，矩形ABCO中，AB=\,BC=a,PAL^^ABCD,若在8C上只有一个点

。满足尸。，。。，则。=.

P

14.如图，在四棱锥中，E4_L平面4BCD,PA=AB=BC=®AD=CD=1,

NNOC=120。，点M是/C与8。的交点，点N在线段P8上，且PN=、PB.

(1)证明：〃平面PDC；

(2)在线段8c上是否存在一点0,使得平面MV。，平面为。？若存在，求出点。的位

置；若不存在，请说明理由.

2025高考数学一轮复习-7.4-直线、平面垂直的判定与性质-专项训练【解析版】

1.如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是（）

A.①②

C.①③

解析：B对于①，易证与CE所成角为45。，则直线与平面CDE不垂直；对于

②，易证/8_LCE,ABLED,ACEHED=E,则平面COE；对于③，易证N5与CE

所成角为60。，则直线N3与平面CDE不垂直；对于④，易证£D_L平面N3C,则

同理EC_L/8,可得48_L平面CDE.故选B.

2.如图，在斜三棱柱/8C-4BC1中，ZBAC=90°,BCxLAC,贝UGRC

在底面/8C上的射影“必在（）/7\/

A.直线上B.直线8C上小二犷仁

C.直线NC上D.△NBC内部

解析：A连接/G（图略），由NC_L43,NC_L3G,/8nBe1=8,得/C_L平面A8C.：

NCU平面/5C,平面/5Ci_L平面/BC.：.Ci在平面A8C上的射影//必在两平面的交线

AB上.

3.已知圆锥S。的底面半径为r,当圆锥的体积为也7t/时，该圆锥的母线与底面所成

角的正弦值为（）

A..

3

Cr.—3

2

解析：A设圆锥的高为肌则由题意可得，%=1兀八力=落厂3,解得4=啦，所以母线

36r2

与底面所成角的正切值为也，由同角三角函数关系可得，母线与底面所成角的正弦值为

2

贵.故选A.

3

4.在三棱锥尸-45。中，已知弘_L平面PA=AB=BC=2,NABC=Z若该三棱

2

锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）

A.4兀B.10兀

C.1271D.487r

解析：C如图，取边的中点M,边尸C的中点O,由于/48C=四,

2

所以点〃为△48C外接圆的圆心，连接（W,OA,则（W〃口，又因为

为，平面/8C,所以。平面N8C,因为/CU平面48C,平面

ABC,所以OM_L/C,OMLBM,又因为BM=M4=MC,所以08=0/

=OC=OP,则点。为外接球的球心，又因为0M=5=1,MA=-CA=-

222

yjBC2+AB2=yj2,所以球半径为■\/O〃2+/M2=3,所以球表面积为47tx（3）2=12兀，故选

C.

5.（多选）已知a,£是空间两个不同的平面，〃?，〃是空间两条不同的直线，则给出的下

列说法中正确的是（）

A.m//a,n//P，S.m//n,则a〃£

B.m//a,n//P，且加_L〃,则a_L£

C.mA-a,JLm//n,贝!Ja〃/?

D.m-La,n^-P，S.m-Ln,则a，/

解析：CDA选项，若加〃a,n//P，且加〃小则a,£可能相交或平行，故A错误;

B选项，若m〃a,n〃B，且加_1_",则a,£可能相交，也可能平行，故B错误；C选项，若

m_La,m//n,则"J_a,又〃贝！]a〃从故C正确；D选项，若根_La,〃?_!_〃，贝!]"〃a

或〃Ua,又n邛,根据面面垂直的判定定理可得0£_1万，故D正确.故选C、D.

6.（多选）如图，在正方形N5CD中，E,歹分别是8C,CD的中点，4c与EF交于点、G,

现沿/尸及昉把这个正方形折成一个空间图形，使瓦C,。三点重合，重合后的点

记为〃，那么在这个空间图形中必有（）

A./G_LZ\£F〃所在平面B.所在平面

C.所在平面D.〃G_LZ\4EF所在平面

解析：BC根据折叠前、后得到N",HE,AHLHF不变,根据线面垂直的判定定理,

可得平面所以B正确；过/只有一条直线与平面EFH垂直，所以A不正确；

因为/GLEF,EFLAH,由线面垂直的判定定理，可得平面/G77,所以C正确；因

为8G与/G不垂直，所以HG与平面/£/不垂直，所以D不正确.故选B、C.

7.已知平面a,尸和直线小，给出以下条件：（l）w〃a；（2）/M_La；（3）mUa；（4）a_l_£；（5）a

//p,当条件成立时，有加〃£；当条件成立时，有加，£.(填所选条件的

序号)

解析：根据面面平行的特征可得，若m"a//p,则加〃从根据线面垂直以及面面平

行的特征可得，若m_La,a//P，则加_1_£.

答案：⑶⑸⑵⑸

8.已知//C2=90°,尸为平面48c外一点，PC=2,点P到N/CB两边/C,的

距离均为3,那么P到平面ABC的距离为.

解析：如图，过点尸作PO_L平面N3C于。，则尸。为P到平面/3C的

距离.再过。作。£_L/C于瓦OF_L3C于/，连接。C,PE,PF,则PE_L

AC,PFLBC.因为PE=PF=®所以OE=OF,所以CO为NACB的平分

线，即//CO=45°.在RtZXPEC中，PC=2,PE=S,所以CE=1,所以

OE=1,所以60=小炉—0£2=\33)2_12=也

答案：g

9.如图，在四棱锥尸-/BCD中，底面48。为矩形，平面以。

_L平面/BCD,PALPD,PA=PD,E,歹分别为N。，尸8的中点.

(1)求证：PELBC-,

⑵求证：平面以3_L平面尸CD；

(3)求证：£尸〃平面PCD

证明：(1)因为F4=PD,E为40的中点,

所以PE_L4D.

因为底面A8CD为矩形,

所以3C〃N。，所以尸£_L3C.

(2)因为底面48。为矩形，所以

又因为平面力。，平面A8CD,平面刃。A平面48CD=N£>,N3U平面48CD,

所以481,平面PAD,

因为尸£>u平面F4。，所以

又因为E4_LP。，ABCtPA^A,

所以尸£>_L平面PAB.

因为尸DU平面尸CD,

所以平面E48_L平面PCD.

(3)如图，取PC的中点G,连接尸G,DG.

因为*G分别为PB,PC的中点，

所以尸G〃3C,FG=-BC.

2

因为四边形/BCD为矩形，且E为/。的中点,

航以DE〃BC,DE=~BC.

2

所以DE〃FG,DE=FG.

所以四边形DEFG为平行四边形.

所以EF〃DG.

又因为£7Y平面尸CD,DGU平面尸CD,

所以£F〃平面尸CD

10.(多选)如图，正方体的棱长为1,线段Bid

上有两个动点£,F,且£r=瑟，则下列结论中正确的有()

A.当£点运动时，4CJ_4E总成立

B.当E向A运动时，二面角/-EF8逐渐变小

C.二面角E-AB-C的最小值为45°

D.三棱锥N-3斯的体积为定值

解析：ACD对于A,因为在正方体中可证其体对角线NiCJ_平面481D1,而/£<=平

面所以4C_L/E恒成立，A正确；对于B,平面EF3即平面而平面£7%

即平面ZSbDi,所以当£向。运动时，二面角/-EF-8的大小不变，B错误；对于C,当点

£从8boi的中点向点。运动时，平面48£逐渐向底面/BCD靠拢，这个过程中，二面角

E-/8-C越来越小，所以二面角E-/8-C的最小值为/。1，。=45。，C正确；对于D,因为S

△BEF=L><也*1=也，点N到平面BOAS的距离为止，所以体积为』X也乂也=上，即体

224234212

积为定值，D正确.故选A、C、D.

11.图①是建筑工地上的塔吊，图②是根据图①绘制的塔吊简易直观图，点/,B,C

在同一水平面内.塔身尸平面A8C,直线/O与2c的交点E是3c的中点，起重小车

挂在线段/。上的。点，4B=AC,DO=6m.若PO=2m,PB=3m,△48C的面积为10

m2,根据图中标注的数据，忽略△/2C自重对塔吊平衡的影响，在塔吊保持平衡的条件下

可得点/,尸之间的距离为(0.5OZ)=1.5。£)()

A.2A/17mB.6也m

C.8mD.9m

（）

解析：A根据条件得，OE=05XDO=^^=2m.:尸。，平面NBC,NEU平面

ABC,S.POLAE,又AB=4C,£■是BC中点，：.AE±BC,PE±BC.：P0=2m,：.PE

=2啦m,'：PB=3m,：.BE=\m.由于△NBC的面积为10m?,：.-BCAE=\Q,解得/£

2

=10m,即/O=8m,即/P=2\/17m.故选A.

12.如图所示，在四棱锥尸-NBC。中，^_L底面/8C£>,且底面各边下一

都相等，是PC上的一动点，当点M满足时，平面平面

PCD（只要填写一个你认为是正确的条件即可）.

4B

解析：如图，连接/C,BD,则/C_L8。，因为24,底面/BCD,BD

U平面/2CO,所以E4_LAD.又上40/。=/,所以AD_L平面R4C,PC

u平面R4C,所以3r>_LPC,所以当DM_LPC（或BMLPC）时，有「。_1平

面尸CU平面尸C。，所以平面Mao_L平面PCD.

AR

答案：_LPC（或BM_LP0

13.如图，矩形/BCD中，AB=\,BC=a,X4_L平面/BCD,若在8c上只有一个点

。满足尸。，。。，则。=.

解析：如图，连接/。，取4D的中点。，连接。。.

BQC

•.,弘_1_平面/BCD,：.PA±DQ,又PQ_LD0,二。。，平面B40,所以。Q_L/Q....点

。在以线段工。的中点。为圆心，AD为直径的圆上，又：在5C上有且仅有一个点。满足

尸。，。。，.IBC与圆。相切（否则相交就有两点满足垂直，矛盾），，。。，吕。，

OQ=AB—1,:.BC=AD=2,即a=2.

答案：2

14.如图，在四棱锥尸-/BCD中，E4_L平面N8CD,PA=AB=BC=®AD=CD=\,

乙4。。=120。，点M是/C与8。的交点，点N在线段P5上，且PN=』PB.