2025年高考数学总复习专项训练：高考大题(四) 立体几何的综合运用

专练40高考大题专练（四）立体几何的综合运用

授课提示：对应学生用书85页

1.[2023•新课标I卷]如图，在正四棱柱ABCD-AiBiCiZh中,AB-2,AAi=4.点4，昆，C2,。2分别

在棱AAi，BBi，CCi，DDi±,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

（1）证明:B2C2//AiDi；

⑵点P在棱BBi上，当二面角P-A2c2-。2为150。时，求B2P.

解析：（1）方法一依题意，得瓦己=瓦瓦+

BICI+CIC2=DD2+AD+AM=AZD^,

所以

B2C2//A2D2.

方法二以点C为坐标原点，CD,CB,CC1所在直线分别为无，y,z轴，建立如图所示的空间直角坐

标系，则&(0,2,2),C2(0,0,3),A2(2,2,1),D2(2,0,2),

所以瓦7=(。，-2,1),瓦瓦=(。，一2,1),

所以用不=由兀，所以82c2〃4。2.

(2)建立空间直角坐标系，建系方法同(1)中方法二，设BP="(0W"W4),则尸(0,2,〃),

所以P42=(2,0,1—/1),PC2—(0,—2,3—n),

设平面B42c2的法向量为a=(xi,yi,zi),

jPA2•a=0[2J-I+(1—n)zi=0

所以4_.，则4,

IPC2•a=0I—2yi+(3—〃)=0

令为=〃-1,得〃=(〃-1,3—n,2).

设平面A2c2。2的法向量为万=。2,>2,Z2),

由(1)方法二知，不百=(-2,-2,2),不方=(0,-2,1),

[A2c2,b=0

所以〈____,，

|42。2,b=0

f-2x2一2y2+2Z2—0

贝叶_2y2+z2=0，

令m=1,得:=(1,1,2).

所以|cos150°|=|cos〈a,b)\—

_______I”一1+3-"+4|_______小

(n—1)2+4+(3—M)2X-\/62'

整理得4〃+3=0,解得〃=i或〃=3,

所以8P=1或8P=3,

所以82P=1.

2.[2023•新课标II卷]如图，三棱锥A-BCD中，DA=DB=DC,BD±CD,ZADBZADC^6Q0,E

为8C的中点.

⑴证明：BC±DA；

(2)点/满足济=DA,求二面角O-AB-F的正弦值.

解析：(1)如图，连接。E,AE,

因为。C=D8,且E为3C的中点，

所以DELBC.

因为/A£)B=NAOC=60。，DA^DA,DC=DB,

所以△A£)B名AADC(SAS).

可得AC=A3,ikAE±BC.

因为。EnAE=E,DE,AEu平面AOE,所以BC_L平面ADE

又。Au平面ADE,所以8C_LZ)A

（2）由（1）知，DEIBC,AE±BC.

不妨设DA=DB=DC=2,因为/AOB=/AOC=60。，所以AB=AC=2.

由题可知△Z）BC为等腰直角三角形，故DE=EB=EC=^.

因为AE_LBC,所以AE=y/AB2—EB2=6.

在△AOE中，AEr+ED^^AD2,所以AE_LED.

以E为坐标原点，M所在直线为x轴，班所在直线为y轴，EA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

如图，则0（^2,0,0）,2（0,^2，0）,A（0,0,y[2）,DA=（一陋，0,陋），函=（0,一也，爽）.

设网XF,",ZF）,因为赤=DA,所以（封，"，ZF）=（一/，0,也），可得F（一小,0,也）.

所以前=(啦，0,0).

设平面ZMB的法向量为机=(xi,yi,zi),

DAm=0f—也x+也z=0

则，，即jll，取x=l,则y=z=l,m=(1,1,1).

〔函m=0J6+任=0

设平面A5尸的法向量为〃=(X2,>2,Z2),

FAn=0f^/2x=0

则<，即Ji-仁，得x=0,取y=1,则z=l,M=(0,1,1).

Un=0l-V2y+V2z=0

r、mn_______2_^6

所6以|Mcosz[m,n)—Ml川—gxg"3-

记二面角ZX42-F的大小为仇贝!]sin0=qi—cos24m,为1一(坐)2=

故二面角ZX42-F的正弦值为害.

3.[2024•九省联考]如图，平行六面体ABCZXAiBCiOi中，底面ABC。是边长为2的正方形，。为AC

与瓦）的交点，AAi=2,ZClCB=ZClCD,ZClCO=45°.

o,「

（1）证明：GO_L平面ABC。；

（2）求二面角8-441勿的正弦值.

解析：（1）证明：连接BG,DCi,

因为底面42C£)是边长为2的正方形，所以BCnOC,

又因为NGCB=NGC。，CG=CG,

所以△GC3咨△GCZ),所以BCi=£>Ci,

点O为线段8。中点，所以G0L2。，

在△GCO中，CG=2,CO=：AC=p,/GCO=45。，

北2,巫CiC^+OC-CiO2

所以cos/CiCO=r.=rye「7=>CiO=yr2,

乙ZXCiCX(JC

则C^^OC?+CxO-^CxOrOC,

又OCCBD=O,oct平面ABC。，BOu平面ABC。，

所以GO_L平面ABCD

(2)由题知正方形ABC。中ACJ_B。，CiOJ_平面ABC。，所以建系如图所示,

则8（0,^2,0）,0（0,一也，0）,A（^2,0,0）,C（一也，0,0）,Ci（0,0,陋）,

则A4I=CG=N^,0,^2）,

AB=（一也，W，0）,Ab=（一啦，—地，0）,

设平面A4Al的法向量为ffi=（xi,yi,Z1）,平面D4A1的法向量为"=（X2,”，Z2）,

AA7,m=Q

则1元・帆=。=产；+也［°—）,

〔一也为+也刀=0

[AAi•n=Q

1Al5•n=0（y[2x2+y[2z2=0

寸—也—记『。n"=Q'-1,-1）,

设二面角B-AAi-D大小为仇

则。°5。=湍=忌忑=I心inf一商。T

所以二面角B-AAt-D的正弦值为手.

4.［2023•全国甲卷（理）］如图，在三棱柱ABC-AiBiCt中，4C_L平面ABC,ZACB=9Q°,A4i=2,Ai

到平面BCGBi的距离为1.

(1)证明：AiC^AC；

(2)已知AAi与BBi的距离为2,求ABi与平面BCCB所成角的正弦值.

解析：(1)如图，过4作垂足为。，

：4C_L平面ABC,BCu平面ABC,

：.AiC±BC,

又/AC8=90°,：.AC±BC,

VAiC,ACu平面ACG4,

且AiCCAC=C,

平面ACGAi,

平面ACC',：.BC±AiD,

又CCi,8Cu平面BCCiS,且CCiC8C=C,平面BCGS,

**.AiD=l.

由已知条件易证41cl是直角三角形，又CG=AAi=2,Ai£)=l,

二。为CG的中点，又AbDLCG,

**•AiC=AiC*i)

又在三棱柱ABC-A/iG中，AC=AiCi,

AAiC=AC.

(2)如图，连接AiB,由(1)易证48=481,故取8修的中点孔连接AF,

VA41与BBi的距离为2,.*.AiF=2,

又4。=1且AC=AC,

：.AlC=AiCl=AC=y[2,AB-小，BC=\[3.

建立空间直角坐标系C-盯z如图所示，

则C（0,0,0）,A（巾,0,0）,B（0,y/3,0）,6（一也，小，正）,G（一也，0,镜）,

：.CB=(0,小，0),CC1=(-V2,0,陋)，AB1=(-2V2，小，巾),

设平面8CG51的法向量为〃=(%,y,z),

{n•CB=0,产=0,取

则1―>即J7=1,

\n•CCi=0,[一y[2x+&,z=0,

则y=0,z=1,

平面BCGS的一个法向量为〃=(1,0,1).

设AS与平面8CC1B1所成角为0,

周•,JAB

则sin6A=।cos</n,AB,>I=-I-----,——=>I।=^yTr7~s.

\n\\AB1\13

与平面BCCiBi所成角的正弦值为*?.

5.[2024•新课标II卷]

如图，平面四边形ABCZ)中，AB=8,CD=3,AD=5^3,ZADC=90°,/8AZ)=30。，点E,尸满足

靠=mAB,寿=不施，将△AE/沿所翻折至使得PC=4小.

⑴证明:EF±PD；

(2)求平面PCD与平面P8F所成的二面角的正弦值.

_A2_A_A1_A

解析：(1)证明：AD=5y/3,AB=8,AEAD,AF=5A8,

：.AE=2yf3,AF=4.

在△AEF中，由余弦定理得

EF2=AF2+AE2~2AF-AE-cosA=16+12-2X4X2V3X坐=4,

则EF=2,

：.在△AEF中，EF2+AE1=4产，

：.EF±AE.

又,?AAEF沿EF翻折至

J.EFLPE.

又；AEnPE=E,AE,PEu平面PED,

平面PED.

又：PZ)u平面PED,

：.EF±PD.

⑵由⑴知所，AE,

又•.•CO_LA。，：.CD//EF.

,/EF_L平面PED,；.C£>_L平面PED.

又；POu平面PED,：.CD±PD.

在RtAPCD中，PDKPC-CD?=A/39.

又,：ED=AD—AE=3小,：.PE2+ED-^PD2,

：.PE±ED.

...以E为原点，EF,ED,“所在直线分别为X,y,Z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸（0,0,25）,F（2,0,0）,0（0,34，0）,8（4,2小,0）,C（3,3小，0）,

：.FP=(-2,0,2小),BP=(-4,-2^3,2^3),CD=(一3,0,0),DP=(0,-3^3,2事).

设平面PBF的法向量为“=(尤i,yi,zi),

FPn—0,—2xi+2，§zi=0,

则《即

—4xi—2^3yi+2-\/3zi=0,

BPn—Q,

令zi=l,贝I〃=（小，—1,1）.

设平面PCD的法向量为》1=（X2,yi,Z2）,

CD'm=Q,[—3x2=0,

则即r.r

^DP.m=O,1-3^+2^322=0,

令Z2=3,则机=(0,2,3).

设平面PCD与平面P&F所成的二面角的平面角为e,

则|cos6|=|cos〈"，帆〉尸面向=诟，

sin9=y[l—co^0.

6.

[2024•新课标I卷]如图，四棱锥P-ABCD中，E4_L底面ABC。，B4=AC=2,BC=1,AB=y[3.

(1)若AO_LPB,证明：A。〃平面P8C；

■x/42

(2)若AO_LOC,且二面角A-CAD的正弦值为工厂，求AD

解析：(1)证明：由8C=1,AB=y[3,AC=2可得，

AC2=AB2+BC2,：.AB1,BC.

又B4_L底面ABC。，BCu底面ABCD,

：.BC±PA.

又ABCE4=A,AB,B4u平面E4B,

.•.8(7，平面PAB.

：B4_L底面A8CD,AOu底面A3CZ),

：.AD±PA.

又且PBCB4=P,PB,E4u平面P48,

.•.4。_1平面如2,：.AD//BC,

又BCu平面PBC,AZM平面P8C,〃平面P8C.

(2)

p

以。为坐标原点，DA,0C所在直线分别为％,y轴，过点。且垂直于平面A5CO的直线为z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系，则。(0,0,0),

设A(x,0,0)(0<x<2),贝0,2),C(0,74T,0).

则元=(一心业T,0),AP=(0,0,2),DC=(0,,4T,0),DP=(x,0,2).

设平面ACP的法向量为〃i=(xi,yi,zi),

nvAC=0,

贝(_

nrAP=0,

目(—%)+竺々4一0=0,

即彳令y尸工,

l2zi=0,

则％1=)4—x2,.*.HI=(^/4—x2,x,0).

设平面CPZ)的法向量为"2=(X2,>2,22),

n2-DC—0,.々4——=0,

则《即，令Z2=X,则X2=—2,

%加+

、敢•£)尸=0,2Z2=0,

/i2=(—2,0,x).

设二面角A-CP-D的平面角为仇

222

„,八⑶•敢I2A/4—x\l4~xEo八4—xA/429

贝怔°SO尸丽=卡==争力,则Sir0=l—COS20=1一审=(7)2,

解得(负值舍去).

即AD的长为切.

7.[2024•全国甲卷(理)]

如图，在以A,2,C,E,歹为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形,E尸〃AD,

BC//AD,A£>=4,AB=BC=EF=2,ED=®,FB=2小,M为4。的中点.

(1)证明：8M〃平面CDE；

(2)求二面角F-BM-E的正弦值.

解析：(1)证明：由8c=2,A£)=4,点M为A。的中点得8c=Z)M.

XBC//MD,所以四边形BCDM为平行四边形，则BM〃CD

又COu平面CDE,平面CDE,所以〃平面CDE.

(2)由(1)知BM=C£),又CD=AB,所以8M=AB=2,

同理易知AP=FM=EL)=®.

取AM的中点。，连接。3,OF,则OF_LAM,OBLAM,0F=3,0B=y[3,又BF=2小,所以B产

=。户+0"，则OB_LOP,

以。为坐标原点，OB,OD,。尸所在直线分别为无，y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则F(0,

0,3),B(V3,0,0),M(0,1,0,),E(0,2,3),所以丽=(小，0,—3),BM=(一小，1,0),ME

=(0,1,3).

设平面FBAZ的法向量为yi,zi),由

[FB・m=4^>jci-3句=0,

iBM・+)i=0,

取Z1=1,可得,9=3,则m,3,1).

同理可取平面BME的一个法向量为〃=(S,3,-1),

所以cos〈帆，n)=禽：|,所以sin〈根，n)/1—(41)2=今§,即二面角尸的

正弦值为今g.

8.

[2022•新高考I卷，19]如图，直三棱柱ABC—AiBiCi的体积为4,△4BC的面积为2

⑴求A到平面A\BC的距离；

(2)设。到AC的中点，AAi=AB,平面ABC,平面ABBiAi，求二面角4一2。一。的正弦值.

解析：(1)设点A到平面A1BC的距离为〃.

VV三棱锥Ai—A8C=V三棱锥A-AiBC

14

=3V三棱柱ABC—，

-S/\AiBC-h=^X4.

又,；S4AiBC=2吸,；.h=p.

.•.点A到平面ABC的距离为明.

图①

(2)方法一如图①，取的中点E,连接AE.

由A4i=A8,AAi±AB,得且4B.

:平面Ai8CJ_平面ABBiAi,

平面AiBCC平面ABBiAi=AiB,AEu平面ABB^Ai,

.•.AE_L平面ABC,：.AE=h=\f2,AELBC,

:.AiB=2巾,.,.AAi=AB=2.

由V三棱柱ABC—Ai8iCi=4,44i=2,得2sAABC=4,

SAABC=2.

易知A4I_LBC,AELBC,AiEdAA^A,

；.BC_L平面A1A3,：.BC±AB,，BC=2.

过点A作ARLBO于点尸，连接所，

易得/£硒即为二面角A—B。一C的平面角的补角.

易得AC=、AB2+2c2=2吸,

则4。=［封+0=25.

VAiB