辽宁省沈文新高考2025届高三8月模拟预测数学试题（含答案）

辽宁省沈文新高考研究联盟2025届高三8月模拟预测数学试题+答案

秘密★启用前

2024-2025(±)8月月度质量监测暨第零次诊断测试

高二数学

考试时间120分钟

【命题单位：辽宁沈文新高考研究联盟】

第I卷选择题供58分)

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有

且只有一项是符合题目要求的)

1.已知集合”={0,123,4},N={1,3,5),P=MCN.则P的子集共有

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.已知复数z=里则|z|=

A.V2B.—C.2D.2V2

2

3.椭圆9+(=1的焦点的坐标为

A.(-V14,0),(V14,0)B.(-2,0),(2,0)

C.(0,-V14),(0,714)D.(0,-2),(0,2)

4.把14个相同的球全部放入编号为1、：、3的三个盒内，要求盒内的球数不小于盒号数,

则不同的放入方法种数为

A.36B.45C.72D.165

5.下图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的半径分别是1和2,则该圆台的体积是

6.若函数/(久)为7?上的奇函数，且当％>0时，f(x)=2x-1,则f(0)+f(—1)=

A.-4B.—3C.—2D.-1

7.已知数列{a九}满足的=$an+1-an+anan+1=0,则数列的前100项的和是

25D50「99八100

AA.—D.------C.--------------------\J.------

51101202101

8.声音是由物体振动产生的声波，我们听到的声音中包含着正弦函数.若某声音对应的函

数可近似为/(%)=sinx+^sin2x,则下列叙述正确的是

高三数学第1页，共3页

A.x=］为/(%)的对称轴B.管,0)为/•(£)的对称中心

C.f(x)在区间［0,10］上有3个零点/(x)在区间［.,：］上单调递增

二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有

多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.给出下列说法，其中正确的是

A.数据0,1,2,4的极差与中位数之积为6

B.已知一组数据了,％2,…』的方差是5,则数据4%1-1,4%2-1,…,钮"一1的方差是

20

C.已知一组数据无1，犯,…,今的方差为。，则此组数据的众数唯一

D.已知一组不完全相同的数据Xi，%2,…,今的平均数为沏，在这组数据中加入一个数

出后得到一组新数据%0，%1，%2,…,为，其平均数为元，则元=X。

10.已知直线/经过抛物线C:y2=2PMp>0)的焦点，且与C交于A,B两点，以线段4B为

直径的0。与C的准线相切于点P(-2,—l),则

A.直线Z的方程为4x+y—8=0B.点D的坐标为1)

C.0。的周长为蓑兀D.直线4x+2y+9=0与。。相切

11.已知函数/(%)=警，e是自然对数的底数，则

A.27Tl<11

7r2

B.2)3>Sinn>3bl2冗

C.若％片=x：2,则久i+冷=2e

D./(%i)=/(%2)，且%贝U仇％1+仇％2>2

第II卷非选择题(共92分)

三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

12.若a为锐角，since=则cos(?r+a)=.

13.若向量日=(百,3),b=(-2,0),贝展在月上的投影向量为.

14.在三棱锥。一ABC中，已知4B=BC=2,AC=2V3,DB=4,平面BCD1平面ABC,

且。BL8C,则以下结论正确的是(填序号).

@DB1AC②平面_L平面ABC

、

③三棱锥D-ABC的体积为4甘^3④三棱锥。-ABC的外接球的表面积为32兀

四、解答题(本大题共5小题，共77分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演

算步骤)

15.有4名同学下课后一起来到图书馆看书，到图书馆以后把书包放到了一起，后来停电

了，大家随机拿起了一个书包离开图书馆，分别计算下列事件的概率.

(1)恰有两名同学拿对了书包；

(2)至少有两名同学拿对了书包；

(3)书包都拿错了.

高三数学第2页，共3页

16.如图，4B是圆。的直径，点C是圆。上的点，过点C的直线力垂直于圆。所在平面,

DE分别是忆的中点.K

求证：

⑴DE//平面ABC；/J\D

(2)£)51平面^8(7.E\

17.Ei知函数/(x)=ax2—3x+2Inx(aER).

(1)若a=[,求函数7"(%)的极值；

(2)若直线y=x—3与曲线y=/(%)相切，求实数Q的值.

22

18.已知双曲线。与双曲线器-白=1有相同的渐近线，且过点4(2或,-1).

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知点。(2,0),E,尸是双曲线。上不同于，的两点，且赤•而=0,DGLEF于点G,

证明:存在定点〃，使|G”|为定值.

19.记无穷数列｛册｝的前几项中最大值为用力最小值为小小令%=%产

(1)若即=2"-3n，请写出瓦方2，坛,比的值；

(2)求证：”数列是等差数列”是“数列｛,｝是等差数列”的充要条件；

(3)若VneN*,|an|<2018,|%|=l,求证:存在后仁％*,使得有小+1=%

高三数学第3页，共3页

2024-2025(±)8月月度质量监测暨第零次诊断测试

高三数学参考答案及解析

1234567891011

DADBBDADACDACABD

1.

【详解】因为集合用={0,1,2,3,4},N=[1,3,5),

所以P=MCN={1,3},

所以集合P的子集为0,{1},{3},{1,3},共四个.

2.

।,V2+V2i2+码2

福丁丁下厂友=6

【详解】由2=警，可得

3.

【详解】在椭圆卷+卷=1中，a=3,b=V5,则c=-价=2,

易知该椭圆的焦点在y轴上，因此，椭圆?+?=1的焦点的坐标为(0,-2),(0,2).

4.

【详解】解：根据题意，先在14个球种取出1个球放到编号为2的盒子里，再取出2个球

放在编号为3的盒子里，

此时只需将剩下的H个球，分为3组，每组至少一个，分别放到三个盒子里即可；

将11个球排成一列，排好后，有10个空位，

在10个空位中任取2个，插入挡板，有盘＞=45种方法，即有45种将H个球分为3组的

方法，

将分好的3组对应3个盒子，即可满足盒内的球数不小于盒号数，

则盒内的球数不小于盒号数的放入方法有45种，

5.

［详解］除?…\

如图，设上底面的半径为r,下底面的半径为R,高为母线长为I,贝以仃=兀-1,

2TIR=71-2,解得r=［,R=l,

I=2-1=1,h=JD_(R一「)2=J/一&)=手，

高三数学答案及解析第1页，共9页

设上底面面积为S'=7T♦0=\下底面面积为S=7T-I2=7T,

则体积为式S+S，+VSS7)%=((兀+H匀•?=粤.

6.

【详解】因为函数/(%)为7?上的奇函数，所以/(0)=0,

又当久>0时，/(x)=2%-1,所以/(一1)=-/(I)=-(2xl-l)=-1,

所以/(0)+/(-I)=0+(-1)=-1,

故选：D.

7.

【详解】,>'。九+1—。九+=0，------------=1,且一=2,

an+lanal

所以数歹哈｝是首项为2,公差为1的等差数列，所以高=2+5—1)=n+l,

口n1111

ar—tctj-jcLvi_i_-1~~~~-

nn+lnn+1(7i+l)(7i+2)n+1n+2

c_11,11,11,,11

1UU233445101102

_11_25

―2102-51,

8.

【详解】对于A,由已知得/(兀—x)=sin(?i—x)+1sin2(TT—%)=sinx—^sin2x,即

f(Ji一%)H/(%),故/(%)不关于％=5对称，故A错误；

对于B,/=sin§+[si九37r=—1H0,故B错误；

对于C,利用二倍角公式知/(%)=sinx(1+cos%),令f(%)=0得s讥久=0或cos%=

一1,即％=/c7r(kEZ),所以该函数在区间[0,10]内有4个零点，故C错误；

对于D求导((%)=cos%+cos2%=2cos2%+cos%—1,令cosi=/,由样,向卜知

te[|,1]«即g(f)=2r+fT,利用二次函数性质知g(t)20,即广⑺20,可知;•(£)在区

间Xe詈曰上单调递增，故D正确；

9.

【详解】对于A,极差为4-0=4,中位数为?=|,所以极差与中位数之积为

“3,

4x—=6

2,A对；

对于B,根据方差的性质可知，数据4%1-1,4久2-1,-“,4与-1的方差是42*5=80,B

错；

222

对于C,由方差$2=；[(%]-%)+(x2-%)+•••(xn-x)]=0,

高三数学答案及解析第2页，共9页

可得久1=%2=…=%九=总即此组数据众数唯一，C对；

对十D,-/---------=x0,A%i+x2H----1-xn=nx0,

.汽。+汽i+%2+…_々)+吟=*D对

…n+l-n+1.°’•

10.

【详解】A选项，依题意，抛物线C的准线方程为x=—2,即％=—：=—2,所以p=4,

即抛物线C的方程为f=8%,则抛物线C的焦点为(2,0).

设直线/的方程为％=ty+2,4(久“1),B(x2,y2),

联立F,消去X整理得y2-8ty-16=0,A=64t2+64>0恒成立，

则+>2=8t,yi_y2=-16,

则Xi+x=t(y+y)+4=8t2+4,xx==4,

2、t「'2'—J64r2"g

又因为线段4B为O。的直径，©。与C的准线相切于点P(-2，T),

所以4P-BP=(—2—x1(—1—yi),(—2—x2,—1—72)

=(2+%i)(2+%2)+(1+%)(1+丫2)=。，

整理得4+2(%+%)+中2+1+、］+、2=0,

即4+2(8/+4)+4+1+8t-16=0,

即(由+1)2=0,解得t==,所以直线/的方程为4x+y-8=0,所以A正确;

4

B选项，因为DP垂直于准线，且P(-2，T),所以点。的纵坐标为-1,

代入直线I的方程4苫+>-8=°,g4x-1-8=0,解得x=2,

P4

可得点Z)G，—1),所以B错误；

17

IAB|=x,+%+4=—17

C选项，根据抛物线的定义可得-2,所以O。的半径为不，

4

所以的周长为葭兀，所以c选项正确；

D选项，圆心。—1)到直线©+2y+9=°的距离为均科=?

所以直线©+2'+9=°与on相交，不相切，所以D错误.

11.

【详解】对于A,由题意得/(%)=咛，则/(%)=审，

当0V%<e时，((%)>0,/(%)递增，当％>c时，((%)V0,/(%)递减,

高三数学答案及解析第3页，共9页

由于e<g<4,所以〃4)</(何)，即(=等=等〈喏，

整理得41"2<2"VTL即仇2同<加11,所以2blV11<11但，故正确;

对于B,由于3V7T,由于当久>e时，/(%)递减，故/(3)>/(7T),

即史>的L,2兀ln3>2X31nn,即2m37r>3ZnTT2,

371

因为汽2)=等=竽=A4)</(兀)，

故妇<”,3nln2<3x21n：ii,即3)兀2>3"2",

271

综上，2)37r>3》>3"2万，故B正确；

对于3因为琮］=以2="琮1="球2,即芯111%2=%2加入1,即

设=/(e+t)—/(e-力),tE(0,c),由于当0<%Ve时,/(%)递增,当久〉e时,

/(%)递减，

故g(t),te(0,e)单调减函数，故g⑺<g⑼°，即f(e+t)<f(e—t),

由于f(%。=/(%2)，不妨设0<%2<%则％I<2C-%2，即~十%2<2e,故c错误;

对任意两个正实数%1，%2，且%1W%2，若f(%l)=/(%2)，不妨设0<%2<%1，

目口l7i%iInx'nZnxiInxrmi,

即---=---2-,攻---=----2=m,贝!U几％1=,I7nx=mx,

XXi??

tX2x2

贝ljInxx+In/=+x2),ln玉-lnx2=m{xx-x2)m_比如一加犯

、'X1-X2

分析法知：要证目标不等式只需

2i]czxoInx-Inx22

xrx2>e=In玉+Inw〉2ont(玉+x2)>2<^>---------->-----

一一一x{-x2xx+x2

<=>In芯-Inx2>一0]n土

一七+x2x2

.五>1/、!2("1)“，⑺」-2。+1)-2「1)二》

t——>L〃⑺=ln/-------

设/令t+1则tQ+l)t(t+l)

/\12(^—1)

u(t)=\nt-------,«>1)

即，+1为单调增函数，故〃«)>〃(1)=0,

2(^-1)、、

即仇者;]成立,故%i%2>所以m(%62)>即"％1+仇犯>2,故D正

“2石+1

确，

12.--/-0.6

高三数学答案及解析第4页，共9页

【详解】因为sina=sin2a+cos2a=1,仇为锐角,

q

所以cosa=

13.

【详解】因为2=(百,3),3=(—2,0),

所以港3=—2W，同2=4

N在3上的投影向量为㈤cos(a,b)|||=|a|•而|j.]1|=备不=三文一2,0)=(A/3,0),

14.①②③④

【详解】解：因为48=BC=2,AC=2V3,

22+22-(2A/3)21

所以cos4ABC=

2x2x22’

所以乙4BC=拳

因为平面BCD1平面ABC,ABC=BC,DB1BC,

所以DB_L平面ABC,DB1AC,

又DBu平面所以平面LMB1平面ABC,所以①②正确；

I1cc.2%“4G

—x—x2x2xsin——x4=-----

进一步三棱锥D-ABC的体积为3233,所以③正确;

设三角形ABC的外心为F,过F作尸。1平面2BC,

则三角形48C的外接圆的半径为,x芸=2,

2sin可

设。为三棱锥D-ABC外接球的球心，

则F4=FB=2,0A=0D,所以立乎+。尸2=占郎+(DB-OF/,

所以A/22+OF?=122+(4—。尸产,解得。F=2,

所以外接球的半径为02=V22+0F2=2V2,

所以三棱锥D-ABC的外接球的表面积为4次。42=32万，所以④正确.

15.呜⑵3(3)|

【详解】(1)设4名同学的书包分别为4B,C,D,4名同学拿书包的所有可能可表示为

(4B,C,D),Q4,B,D,C),(4C,B,D),Q4,C,D,B),(A,D,B,C),(A,D,C,B),

(B,4C,D),(B,4D,C),(B,C,4D)，A),(B,D,A,C),(B,D,C,4),

(C,4,B,D),(C,4D,B),(C,B,A,D),(C,B,D,A),(C,D,4,B),(C,D,B,4),

(D,4B,C),(D,4C,B),(D,B,A,C),(D,B,C,A),(D,C,4,B),(D,C,B,A),

共有24种情况.

恰有两名同学拿对了书包包含6个样本点，分别为

(4B,D,C),Q4,C,B,D),Q4,D,C,B),(B,4,C,D),(C,B,4D)，(D,B,C,4),

故其概率为P卷/

(2)至少有两名同学拿对了书包包含7个样本点，分别为

高三数学答案及解析第5页，共9页

(4B,C,D),Q4,B,D,C),(AC,B,D),Q4,D,C,B),(B,4,C,D),(C,B,A,D),(D,B,C,4),

故其概率为P=j

Z4

(3)书包都拿错了包含9个样本点，分别为

(B,4,D,C),(S,C,D,A),(B,D,4C),(C,AD,B),(C,D,4,B),(C,D,B,A),

O,4B,C),(D,C,A,B),(D,C,B,A),

故其概率为p=5=|.

2,4o

16.(1)证明：因为D,E为匕4,UC的中点，可得DE〃AC,L

又因为DEC平面ABC,ACu平面ABC,/\\

根据线面平行的判定定理，可得DE〃平面4BC.一八

(2)证明：因为4B为。。的直径，点C是。。上的点，所以4C1BC,.

又因为VC垂直于。。所在的平面，且AC在。。所在的平面内，所以Rl：<)._

AC1VC,

又由BCdVC=CS.BC,VCu平面ABC,所以AC_L平面UBC,

又因为DE〃AC,所以DEI平面UBC.

17.(1)极大值为一*极小值为2m2—4；(2)a=1.

【详解】(1)当a=?时，/(x)=^x2—3x+2Inx,

则/0)定义域为(0,+8),r(x)=x-3+|=一二=J(")；

・・・当%£(0,1)11(2,+8)时,f'(x)>0；当％W(1,2)时,((%)<0；

・•・/(X)在(°』)，(2,+8)上单调递增，在(1,2)上单调递减；

/(X)的极大值为f(1)=|-3=-j；极小值为f(2)=2—6+2m2=2)2—4.

(2)假设y=x-3与f(%)相切于点(t,a/-3t+2Znt),

•••/'(%)—2ax—3+-,

(t)=2at—3+—=1,即2at2—4t+2=0,

2

又t—3=at—3t+2lntf

4t—2—St—4Zzit—6,即伍t=t-1；

令g(t)=Znt—t+1,贝Ug'(t)=£-1=

・•.当tE(0,1)时，g'(t)>0；当IE(1,+8)时，“⑴<0；

g(t)在e」)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

gQ)⑴max，即mt=t-1有唯一解：t=1，

•••2a-4+2=0,解得：a=1.

X22T

—y=1

18.(1)4；(2)证明见解析.

高三数学答案及解析第6页，共9页

22

【详解】⑴依题意，设双曲线。的方程为竟―白=地不0),而点2(2或,—1)在双曲线

C上，

匚』

于是4=噜—哈=右双曲线。的方程为5—?=%即4'一,

2

X2_]

—y=1

所以双曲线C的标准方程为4

(2)当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为：y=kx+m,设E(%i，yi),F(%2，y2)，

由{1—消去P并整理得(41一I)%2+8kmx+4(m2+1)=0,

有41—1w0,且/=(8km)2—16(m2+l)(4fc2—1)>0,BR4fc2-1W0且4k2—m2—

l<0,

2

有％1+x2=造六=察言，又y/2=gi+m)(kx2+m)=kxrx2+

km{xr+x2)+标，

DE=(%i—2,y^),DF=(x2—2,y2)»由。E,DF=0,得Qq—2)(x2—2)+y1y2=0,

整理得(好+1)•xrx2+(km-2)•(%i+x2)+血2+4=0,

2

于是(1+1)-47+4+(km—2)-+m+4=0,化简得37n2+16km+20k2=0,

4k2-l、'4k2-l

即(3m+10k)(?n+2k)=0,解得rn=—2k或m=-gk,均满足条件，

当巾=一24时，直线EF的方程为y=k(x-2),直线EF过定点(2,0),与已知矛盾，

当爪=—三k时，直线EF的方程为y=k(x—5)，直线EF过定点M(g,O)；

当直线EF的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE的方程为：y=%-2,

由[2:2匕解得x=2或%=?,因此点E,F的横坐标尤E，孙有=孙=¥,即直线EF

过定点M谭,0),

综上得直线EF过定点M(g,0),

由于DGLEF,即点G在以。M为直径的圆上，H为该圆圆心，|GH|为该圆半径,

2

所以存在定点使|GH|为定值

19.(1)瓦=—1,b2=—|,b3=—I，b4—1；(2)见解析;(3)见解析.

高三数学答案及解析第7页，共9页

n

【详解】(1)因为a九=2—3n,所以的=—1,a2=—2,a3=—1,a4=4

所以瓦=—1,Z>2=_|,^3=一|,&4=1

(2)(必要性)当数列是等差数列时，设其公差为d

当d>0时，an—an-r=d>0,所以的>。九_i，所以%=。九，mn=ar,

当d<0,an—。九t=d<0,所以册<an_x,所以M兀=ar,mn=an

=

d—0是£，Qfi—a九一i=d=0,月斤以»。九—。九_1,月斤以4M'打=a1,771九a九

综上，总有砥=空

所以如-如t=号-%尹=p所以数列仍"是等差数列

(充分性)当数列仍“｝是等差数列时，设其公差为d*

因_b_M7T+?71Tl_M7T-11771Tl-1_Mn—M於-1+力九-m•九一1_才

根据Mn，6几的定义，有以下结论：

Mn>Mn_1(mn<mn_1；且两个不等式中至少有个取等号

当d*>0,则必有所以即=之Mn_