函数及其性质专项训练- 高三数学一轮复习

高三数学上学期一轮复习专题：函数及其性质

一、单选题

1.已知对数函数"x）=log“x,函数/（X）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原

来的3倍，得到函数g（x）的图象，再将g（x）的图象向上平移2个单位长度，所得图象恰好

与函数f（x）的图象重合，则a的值是（）

A.-B.-C.BD.G

233

2.设方程2'+x+3=0和方程log2X+x+3=0的根分另为。，q,设函数/（x）=（x+p）（x+q）,

则（）

A./（2）=/（0）＜/（3）B./（0）=/（3）＞/（2）

C./（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜/（3）＜/（2）

3.函数“X）的部分图象大致如图所示，则“X）的解析式可能为（）

B./(x)=eA-e-A-sinx

C.小人^^D.f(x)=e'-e-A+sinx

S1ILX

4.已知函数/(x)=e*—e"T-COSX若实数孙积成等差数列，且

/(%)+/(工2)+/(忍)=°，则玉+々+鼻=()

7C3兀

A.0B.—C.—D.3兀

22

5.若定义在R上的函数/(%),满足y)=〃2x)+〃2y),且〃=则

/(0)+/(1)+/(2)+...+/(2024)=()

A.0B.-1C.2D.1

—丫

lg3-^+——2,-3<x<0

6.已知函数〃x)的定义域为(-3,3),且〃x)=“［若

1g---------------,0<x<3

I3-xx+3

3f［.r(x-2)］+2>0,贝ijx的取值范围为()

A.(-3,2)B.(一3,0)5。,D5L2)

C.(-1.3)D.(-1,0)0(0,2)0(2,3)

7.已知函数“X)与g(x)及其导函数/'⑺和g'(x)的定义域都为

R,"x)=-g(2-x),尸(x+2)=g，(x),且尸(1+力为奇函数，则下列等式一定正确的是()

A.42023)=0B./(2024)=0C./(2023)=0D./(2024)=0

8.设函数〃x)的定义域为。，对于函数图象上一点(七,%),若集合

卜wR|Mx-尤。)+%4,Vxe只有1个元素，则称函数“X)具有性质4.下列函数中

具有性质用的是()

A./(^)=|x-l|B./(x)=lgx

C.f(%)=x3D./(x)=—sin-^x

二、多选题

9.已知偶函数/(x)的定义域为R,/gx+1］为奇函数，且/(x)在［0,1］上单调递增，则下

列结论正确的是()

A.H<。B.U>0C.〃3)<0D.第］>0

10.已知定义域均为R的函数/(x)与g(x),其导函数分别为尸(x)与g'(x),且

g(3-x)=f(x+l)-2,g,(x+l)=r(x-l),函数/(x)的图像关于点M(3,0)对称，则()

A.函数f(x)的图象关于直线x=l对称B.8是函数/(尤)的一个周期

C.g(5)=2D.g(-2020)+g(-2024)=-4

11.我们知道，函数>=/(幻的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数

y=/(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=/(x)的图象关于点P(a,b)成中心

4

对称图形的充要条件是函数>=/(尤+")-人为奇函数.已知函数=则下列结论

2+2

试卷第2页，共6页

正确的有()

A.函数/(©的值域为(0,2]

B.函数了。)的图象关于点(U)成中心对称图形

C.函数f(x)的导函数f\x)的图象关于直线尤=1对称

D.若函数g(x)满足>=g(x+D-1为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交

2024

点，记为4(%,%)«=1,2,,2024),则Z(%+%)=4048

i=l

三、填空题

12.已知“X)是奇函数，且当x<0时，〃x)=-e力若/(ln2)=：,则。=.

O

13.写出满足下列条件①②③的一个函数：/(%)=.

①/(x)的定义域为R；②xeR,f(r)=—f(x)；®0<Xl<x2,都有<弓工〈工.

\X1)f(x2)X2

14.欧拉函数。⑺(〃eN*)的函数值等于所有不超过正整数"，且与〃互质的正整数的个数

(公约数只有1的两个正整数称为互质整数)，例如：姒3)=2,姒4)=2,则以8)=；

"2

若b"=一"八，则bn的最大值为_______.

。2

四、解答题

15.已知函数/a)=e2*+(2-a)e'-ax+7(aeR).

⑴讨论函数“X）的单调性；

（2）若〃x）ZO恒成立，求实数。的取值范围.

16.定义在R上的奇函数/（无）有最小正周期为2,且无«0,1）时，/（引=3.

4+1

⑴求“X）在上的解析式；

⑵判断“X）在（0,1）上的单调性；

⑶当2为何值时，方程，（尤）=X在x目-1』上有实数解.

17.已知函数f(x)=21n(x+l)-sinx.

试卷第4页，共6页

⑴若“X)在(。,+8)上周期为2兀，求2的值;

(2)当;1=1时，判断函数“X)在上零点的个数：

⑶已知/(x"2(1-1)在xe[0,兀]上恒成立，求实数彳的取值范围.

18.中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民

间艺术.在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是名种民俗活动

的重要组成部分，传承视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众

的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣.现有一张矩形卡片9CD,对角

线长为f•为常数)，从△岫)中裁出一个内接正方形纸片EFG”,使得点E,5分别AB,

AD上，设=矩形纸片A5CD的面积为？，正方形纸片EFGH的面积

为S".

(1)当&==时，求正方形纸片EFG”的边长(结果用f表示);

(2)当a变化时，求去的最大值及对应的a值.

19.设函数〃x)=任+依+缶/，其中。为常数.对于给定的一组有序实数/，㈤，若

对任意4、x2eR,都有回_/(%)+回.［如_/(%)+间20,则称意m)为/(x)的“和谐数

组”.

(1)若。=0,判断数组(0,0)是否为f(x)的“和谐数组”，并说明理由；

(2)若°=40，求函数/(x)的极值点；

(3)证明：若(6,7")为了(X)的“和谐数组”，则对任意xeR,都有丘-/(x)+相W0.

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.D

【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，由条件列方程，解方程求解即可

【详解】因为将函数/(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的3倍，得到

函数g(x)的图象，

X

所以g(x)=k»g“即g(x)=logo尤一log03,

将g(x)的图象向上平移2个单位长度，所得图象的函数解析式＞=logflx-loga3+2,

因为所得图象恰好与函数/(x)的图象重合，

所以一log〃3+2=0,

所以。2=3,又。＞0且。片1,

解得＜7=6，

故选：D

2.B

【分析】画出y=2',y=log2X,y=f-3的图象，由反函数的性质得更等=-］，结合二次

22

函数性质即可得解.

【详解】由2*+x+3=0得2,=-x-3,ilog2x+x+3=0^flog2x=-x-3,

所以令y=2ty=log/,y=-x-3,这3个函数图象情况如下图所示：

设y=2',y=一尤-3交于点B,y=log2x,y=-.x-3交于点C,

由于y=2，,y=log2x的图象关于直线V=犬对称,

答案第1页，共16页

注意至IJ函数/(力=(%+夕)(％+4)=工2+(夕+4卜+的的对称轴为直线尤=-£1^,gpx=1,

且二次函数/(x)的图象是开口向上的抛物线方程，

从而〃0)=〃3)>)(2).

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于画出>=2'»=1。8/,〉=-工-3的图象，利用数形结合

再由反函数的对称性得到方程的根或交点.

3.A

【分析】结合图象可知f(x)为奇函数且/(。)=。，在(。,+8)上先增后减.根据函数的奇偶性

和/(0)=0,结合导数判断函数的单调性依次判断选项即可.

【详解】由图可知，/(x)的图象关于原点对称，则/(x)为奇函数，

且/(。)=。，在(0,+8)上先增后减.

A："x)="7，函数的定义域为R,〃—)=二吗=-/(现/(0)=0,故A符合题意；

e+ee+e

B：/(x)=e^-e--sinx,函数的定义域为R,

fr(x)=ex+e~x-cosx,由兀>0,e%>1,-1<cosx<\,

则/'(x)=ex+e-x-cosx>2-1>0,/(%)在(0,+8)上单调递增，故B不符合题意；

C：〃x)=UZt,当x=o时，sinx=0,函数显然没有意义，故C不符合题意；

sin%

D：f(x)=ex-e~x+smx,函数的定义域为R,

f(x)=ex+e~x+cosx,由％>0,得e*>1,-1<COSX<1,

则"%)=e'+er+cos%>2-l>0,/(%)在(0,+8)上单调递增，故D不符合题意.

故选：A

4.C

【分析】先由/(TI-X)+/(%)=e71^-ex+cos%+ex-e71^-cosx=0,得出/(%)关于对

称；再由题意得出结果即可.

【详解】因为函数〃x)=e=eE—cos%,

所以/(兀一1)+/(%)=en~x-ex+cosx+e*—匕兀一"-cosx=0,

答案第2页，共16页

所以〃力关于［，。）对称;

若实数尤1，%，x3成等差数列，则为+毛=2%,

又因为/（占）+/（吃）+/（尤3）=°，

713兀

月f以%2=万,%+忍=兀，月f以玉+々+%3=

故选：C.

5.D

【分析】利用赋值法，先后求出f(o)=l,H=0,再令尸X—,得到/(^)+/(x-l)=O,

即可求解.

【详解】令x=y=g,则有2〃1)/(0)=〃1)+/(1),

又〃1)=—1,.•."0)=1.令x=g,y=0.

则有=7•⑴+/(0)=-1+1=0,.•./&]=().

令了=＞；，则有2«2尸\/[]=/(2力+〃2犬一1).

Vf^=0,.\f(2x)+/(2x-l)=0,：.f(x)+f(x-l)=0,

：.f(0)+f(l)+f(2)+-+f(2024)

=/（0）+［/（l）+/（2）］+--+［/（2023）+/（2024）］=l+1012x0=l.

故选：D.

6.D

【分析】当—3<x<0时，判断函数单调性，由单调性可知/（力>-］；当04x<3时，根据

单调性的性质和复合函数单调性可知/（x）单调递增，可得/'（无）2-§,然后将原不等式转

化为，'八即可得解・

【详解】当—3<x<0时，小）=/二-力+三，

［x+3）x-3

由复合函数的单调性可知/（X）在（-3,0）上单调递减，

所以/（尤）>〃。）=-§;

答案第3页，共16页

当0(x<3时，/(x)=lgf-^--11--^―,

<3-x)x+3

因为"二在［0,3)上单调递增，y=lg”-l)为增函数，

所以>=坨［三-1］在［。,3)上单调递增，

又>=一?W在［0,3)上为增函数，所以〃x)=lg［三-1］-2在［0,3)单调递增，

7

所以〃尤)2/(0)=-耳.

综上，〃尤)2-0在(-3,3)上恒成立，当且仅当x=0时取等号.

2［―3<x(%—2)<3

所以不等式3/口。-2)］+2>。0/1武》-2)］>-行0/\八，

3lx(x-2)^0

解得—l<x<3且XRO且》力2,即原不等式的解集为(-1,0)"0,2)"2,3).

故选：D

【点睛】思路点睛：解分段函数相关不等式时，需要根据自变量范围进行分类讨论，利用单

调性求解即可.

7.C

【分析】首先对f(x)=-g(2-力两边求导,得f(x)=g，(2—x),与分(x+2)=g〈x)联立可

得：r(x)=r(4-x),这样就知道了'(X)图象关于X=2对称，再由/'(1+X)为奇函数,又

知道((x)图象关于点(1,0)对称，这样由双对称性质可知/⑺是周期函数且周期为4,然

后即可用赋值法得到结果.

【详解】对/'(》)=-g(2—x)两边求导，得尸(x)=g'(2—x),

又由尸(x+2)=g，(x),得-(4r)=g，(2T),

所以f'(x)"'(4-x),可得(⑴=(⑶.

由「(i+x)为奇函数，得/”—%)=—/"+x),贝厅，(4一同=—/0一2),

令彳=。得：r(i)=—r(i)=r(i)=o,

则由上面两式可得：-(£)=-尸(％—2)=「。_4),即/'(x)是以4为周期的周期函数，

则广(2023)=/'(3)=f'(1)=0.

答案第4页，共16页

故选：c.

8.D

【分析】根据性质《的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.

【详解】根据题意，要满足性质4,则“X)的图象不能在过点(1,/。))的直线的上方，且

这样的直线只有一条；

对A：=的图象，以及过点(1,0)的直线，如下所示：

数形结合可知，过点。,0)的直线有无数条都满足题意，故A错误;

对B：/(x)=lgx的图象，以及过点(1,0)的直线，如下所示：

数形结合可知，不存在过点。,0)的直线，使得/(x)的图象都在该直线的上方，故B错误;

对C：〃x)=x3的图象，以及过点(1,1)的直线，如下所示：

数形结合可知，不存在过点。,1)的直线，使得/(x)的图象都在该直线的上方，故C错误;

对D：〃x)=-sin]x的图象，以及过点。,-1)的直线，如下所示：

答案第5页，共16页

数形结合可知，存在唯一的一条过点(1,-1)的直线y=—l,即左=0,满足题意，故D正确.

故选：D.

9.BD

【分析】根据奇函数、偶函数的性质，首先推出函数为周期函数，再根据函数的单调性，判

断函数的符号，可得有关的结论.

【详解】因为/⑺为偶函数，所以〃-力=/(力;

因为+是R上的奇函数，所以/(1)=0,

且/的图象是由了的图象向左平移2个单位得到的，所以/I)的图象关于

(2,0)点对称，进一步得f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，即/(1+力=一/(1-耳.

所以〃X+2)=/(1+(1+X))=_/(1_(1+X))=_〃T)=_〃X),所以

/(x+4)=-/(x+2)=/(x).所以函数/O)是周期函数，且周期为4；

又/⑴在［0』上单调递增，所以在［0』上，有/(x)<0.

故B对；/(3)=0,故C错;

2+>0,故D对.

故选：BD

10.ABD

【分析】根据题意，先由条件以及函数〃x)的对称中心可得函数〃x)的周期，即可判断

答案第6页，共16页

AB,再赋值计算，结合函数/(尤)的周期性以及对称性，即可判断CD

【详解】因为g(3-x)=/(x+l)-2,令x+l=f,则x3-1,

即g(4T)=〃。一2,所以g(4-x)"(x)-2,

用(x—1)替换x可得g(5—x)=f(x—1)—2,即f(x-l)=g(5—x)+2,

5Lg\x+V)=f\x-V),则8(%+1)+。=/(*-1)+6,a,b^R,

所以g(x+l)+a=g(5—x)+2+b,令尤=2,可得g(3)+a=g(3)+2+6,

所以a=b+2,

再由g(3-x)=f(x+l)-2,令3-x=m,则〃=z3-x,

所以=—2,即g(x)=/(4-x)—2,

用(x+1)替换x,可得g(x+l)=/(3-x)—2,

且g(x+l)+a=/(x—l)+Z7,BP/(3—x)—2+«=/(A:-1)+Z?,

将“=6+2代入，可得/(3—x)=〃x—1),

所以函数/(x)关于直线x=l对称，故A正确；

又函数f(x)的图像关于点加(3,0)对称，即/(3-x)=-/(3+江

所以4x(3-1)=8是函数〃x)的一个周期，故B正确；

由g(3-x)=/(x+l)-2,令x=—2,则g⑸=〃-1)一2,

因为函数/(x)关于直线x=1对称，则/(-1)=/(3),

且函数f(x)的图像关于点M(3,0)对称，所以"3)=0,

贝lJg(5)=/(3)-2=0—2=-2,故C错误；

由g(3-x)=f(x+1)-2,令x=2023可得g(-2020)=f(2024)-2,

令x=2027可得g(-2024)=/(2028)-2,

则g(-2020)+g(-2024)=f(2024)+f(2028)-4,

又8是函数/(x)的一个周期，且函数““关于直线尤=1对称，

答案第7页，共16页

则f(2024)=/(0)=/(2),/(2028)=/(4),

又函数的图像关于点M(3,0)对称，即/(3-x)=-/(3+x),

令尤=1,贝1]/(2)=-/(4),所以f(2)+f(4)=0,

贝Ug(-2020)+g(-2024)=/(2)+/(4)-4=-1,故D正确；

故选：ABD

【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数的对称性以及周期性的综合应用，难度较大，解得

本题的关键在于求得函数7'(x)的对称轴，从而确定其周期，即可得到结果.

11.BCD

【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法

则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D.

【详解】对于A,显然了(%)的定义域为R,2、＞0,则0＜不三＜2,即函数/(%)的值域

2X+2

为(0,2),A错误；

421-V1_2T2*—1

对于B,令h(x)=f(x+1)-1=——；----1=—=-----1=--------，h(-x)=——--=—------=-h(x),

'2x+I+22X+11+2%1+2-工2'+1

即函数y=f(x+l)T是奇函数，因此函数f(x)的图象关于点CM)成中心对称图形,B正确；

对于C,由选项B知，/(-^+l)-l=-[f(x+l)-l],即/(I-尤)+/(l+x)=2,

两边求导得一:a-©+r(i+%)=o,即r(i-x)=ra+%),

因此函数/(x)的导函数;(x)的图象关于直线x=1对称，C正确；

对于D,由函数g(x)满足y=g(x+l)-l为奇函数，得函数g(x)的图象关于点(1,1)成中心对

称，

由选项B知，函数g(x)的图象与函数/(尤)的图象有2024个交点关于点(LD对称，

202420242024

因此£(尤,.+%)=M=1012X2+1012X2=4048,D正确.

1=11=11=1

故选：BCD

【点睛】结论点睛：函数V=/(x)的定义域为。，VxeD,

①存在常数a,b®Mf(x)+f(2a-x)=2b^f{a+x)+f(a-x)=2b,则函数y=/(x)图象

关于点(“，b)对称.

②存在常数a使得于(x)=/(2a-x)o/(«+x)=/(“-x),则函数y=/(%)图象关于直线

x=a对称.

答案第8页，共16页

12.3

【分析】根据奇函数的性质，并结合指数以及对数的运算性质，代入求值，即可求得答案.

【详解】由题意知/J）是奇函数，且当尤＜0时，/（x）=-e",

,»1/Iin-Inf-'l1

®/（ln2）=-/（-ln2）=-/（ln-）=e2=e=g，

2o

故答案为：3

13.小（答案不唯一，形如〃x）=W，。，4为奇数，且1＜版＜2均可）

【分析】根据题意函数需分别满足题中①②③的条件，且答案不唯一.

【详解】由③知，/\、（不妨取x＞0时/（力＞。），

再x2

所以函数/用在（0,+8）上是增函数，函数少在（0,+8）上是减函数，

XX

又由①②，函数为奇函数且定义域为R,

5

所以可取幕函数/（尤）=/.

故答案为：尤3（答案不唯一，形如〃x）=w，P，q为奇数，且1＜楙＜2均可）.

9

14.4-

4

【分析】由欧拉函数定义，确定18中与8互质的数的个数求。（8）,且。（2"）=2"|,应用

作差法判断切的单调性，即可求最大值.

【详解】由题设。（2）=1,贝也8中与8互质的数有L3,5,7,共4个数，故9⑻=4,

在12“中，与2"互质的数为范围内的所有奇数，共2”T个，即。（2"）=2-,

22

nn〃几2

所以("+1)2/2+1—

4=以2■厂尹则%也=

2"一寸2"

当〃V2时2+1—2>0,当心3时％bn<0,gpb1<b2<b3>b4>b5>

32_9

所以5的最大值为4=

答案第9页，共16页

9

故答案为：4,—

4

15.（1）答案见解析

（2）0<a<2e

【分析】（1）求导，对〃进行讨论，利用导函数的正负分析单调性即可；

（2）要使"力之0恒成立，则只需/（九）总之。恒成立，对〃进行讨论，并根据（1）中所得单

调性，即可分析符合的情况，进而得到实数。的取值范围.

【详解】（1）由/（x）=e2'+（2-。）e，-依+为（oeR）,

得/'（x）=2e"+（2-a）eA-a=（eA+l）（2ex-a）

①当aVO时,f,（x）=（eA+l）（2ex-«）>0,

所以“X）在（F,包）上单调递增；

②当a>0时，令广（x）=0,得x=ln£,

当时，r（x）<0,〃x）单调递减；

当xe卜咤,+8｝寸，f'（x）>0,/（尤）单调递增.

综上所述，当aWO时，/（X）在（f,w）上单调递增；

当。>0时，”尤）在13n3上单调递减，小）在[呜,+[上单调递增.

（2）由（1）知：当〃<0时，/（%）在（-00,+co）上单调递增，

/f—=+（2--ax—+—<1+（2-a]-3+—=[—~l\a<0,

ya）a22\2J

所以当。<0时不合题意.

②当〃=0时，/（x）=e2x+2ex>0,符合题意.

③当〃〉0时，f（x）min=f\\n.—\=a__-■—aln—+—,

要使〃力20恒成立，则只需/（九）1nhi>。恒成立，

a21〃枇、八*口口,aae

即nn：〃-----〃ln—I20,亦即：1-------In—I—20.

422422

ifi=l--^-ln-1+-|（（7>0）,则g'（Q）=_；_L<0,

答案第10页，共16页

于是g(4)在(。,+时上单调递减；

又因为g(2e)=1-■|-111弓+_|=。，

所以当0<“V2e时，g(a)>0,即/O。；当a>2e时，g(a)<0,不合题意.

综上可知。的取值范围为0〈a42e.

【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：

若在区间。上有最值，则

(1)恒成立：Vxe£>,/(x)>O«/(x)n]in>0；VxeZ),/(x)<0«>/(x)max<0；

(2)能成立：3xeD,f(x)>0<=>f(x)nm>0；(尤)<0o/(x)1nhi<0.

若能分离常数，即将问题转化为：a>f(x)(或。</(力)，则

(1)恒成立：。>/(力0。>/(彳)„^；<2</(X)«(Z</(^)n.n；

(2)能成立：a>/(^)<=>a>/(x)min；a</(x)oa</(x)1mx.

2X

---------,XG(-l,0)

4A+1I)

16.(l)/(x)=<0,xe{-l,0,l}

Y

-------,XG(0,l).

M+lv)

⑵在(0,1)上为减函数

⑶可W呜*=o

【分析】(1)根据奇函数的定义即可求解，

(2)由单调性的定义即可求解，

(3)由单调性求解函数的值域，即可求解.

【详解】(1)/⑺是尤eR上的奇函数，・.."0)=0.

又2为最小正周期，.•J(l)=/(l_2)=/(-l)=_*l)=0.

2

1^X6(-1,0),则te(0,1)J(-x)=r=-=-/(x),:.f(x)=,

v7v74+14+14+1

答案第11页，共16页

2X

,XG（-1,O）

4X+1

/（x）=0,XG{-1,0,1}

2X

,xe（O,l）.

14%+1

（2』―2*2）+（2为母巧_2X2+2XI\（2玉_2巧）（]_2百+巧）

（2）设0<再<1，/（%i）~/（x2）=-----/：-----7-----=-----（7-----由

，（4'+1）（4巧+1）（4西+川4巧+1）

于0<%</<1，所以2七一2巧<0,1-2X,+X2<0,4司+1>0,4巧+1>0,

(2玉-2%2)(1-2%1+%2)

所以“为)-/伍)="平+*4*+1)>。=〃&)>“马)

\/(x)在(0」)上为减函数.

(3)“X)在(0,1)上为减函数，.♦.工即/(x)e|

同理，X在(—1,0)上时，

又〃T)=/(O)=/(l)=O，

当彳或X=。时，〃x)=九在内有实数解.

17.(1)2=0

(2)一个零点

⑶H”）

【分析】(1)利用/(x)=/(x+2兀)恒成立，得至IJ2[ln(x+l)—ln(x+l+27t)]=O在xe(0,y)

上恒成立，即可求值；

(2)对函数求导，讨论xe],兀]、”[兀,+⑹，根据导数符号判断单调性，结合零点存在性

定理研究零点的个数；

(3)将问题化为2e「sinx+21n(x+l)-220在xe[0,兀]上恒成立，构造函数

g。)=2e*-sinx+2ln(x+1)-2,讨论参数2并研究g(x)其单调性，进而分区间判断g(x)>0

是否恒成立求参数范围.

【详解】(1)由题意，在x«1一)上〃尤)=/(%+2兀),

答案第12页，共16页

所以/lln(x+l)-sinx=>lln(无+1+2兀)-sin(x+2ji),

gp2[ln(x+l)-ln(x+l+2兀)]=0在x£(0,+oo)上恒成立,

又ln(x+l)vln(尤+1+2兀),故；1=0.

(2)当；1=1时/(x)=ln(x+l)—sin%,贝Uf(x}=~~cosx,

x+1

71\1

当工£一,71时一cos尤20,-----〉0,所以尸(x)>0,即〃x)在方，兀J上单调递增.

.2)x+1

又U喂+1/<0"⑺=ln(兀+1)>0,所以在加上有且仅有一个零点;

当；xw［7t,+oo)时y(x)=如(x+l)-sinx>如(兀+1)-1>0,所以在［兀,+8)上无零点.

综上，/(尤)在+81上有且仅有一个零点.

(3)由7(%)22(l-e"),BP2ln(x+1)—sinx>2(1-ex),整理得2e“—sinL+Xln(x+l)—220,

2

令g(%)=2e“-sinx+Aln(x+1)-2,贝|gr(x)=2ex-cosxH-------,

x+1

当2之0时，对任意工«0,可有cos%£[—1,1],又2e，22,/—20,

x+1

所以g,x)>0,此时g(x)在[0,可上单调递增,故g(x)*(0)=0,符合题意.

当外<0时，令Mx)=g(x),贝iJ/z'OOuZe'+sinx-7~,

(x+1)

所以，在无«0,可上〃(%)>。恒成立,即从x)=g'(以在［0,可上单调递增.

夕

又g'(o)=4+l,g'(兀)=2於+1+-

71+1

当；1+12。，即-144<0时，在［0,兀|上有，(工注0,此时g(%)在［0,可上单调递增,

g(x)Ng(O)=O,符合题意.

当4+1<0,即2<—1时，若g'(%)>0,即一(兀+1乂2e"+l)<2<-l,

由零点存在定理，存在与«0,兀)使g'(Xo)=O,故xeQ%)上g，(x)<0,

所以g(x)在xe(0,x。)上递减，此时g&)<g(O)=O,不合题意.

若/(兀)40,即24-(兀+1乂2e"+l),此时对Vxe［0,可恒有g，(x)M0且不恒为0.

即g(x)在［0,可上单调递减，所以g㈤<g(0)=0,不合题意.

答案第13页，共16页

综上，力的取值范围是［-L拉）.

【点睛】关键点点睛:第三问，问题转化为2ev-sin.r+AIn（尤+1）-220在xe［0,兀］上恒成立,

构造中间函数研究函数符号.

18.⑴（

tein

【分析】（1）设正方形EFGH的边长为a,则ZAEH=a,AB^tcosa,计算得到。=

2+sin2a

代入数据计算得到答案.

(2)确定S,J'‘in2a],5l^sin2«,计算3=；$山2[+-^+2,根据函数的

2(2+sin2cJ2邑2sin2c

单调性计算最值得到答案.

【详解】（1）设正方形EFGH的边长为。，则NAE"=a,AB=tcosa,

贝|3石=—AE=acosa,AB=AE+BE,tcosa=—^—+acosa,

sinasina

tcosa_tsinacosa_/sin2a

整理得到11+sinacosa2+sin2a，

--------Fcosa

sin。

.5兀

tsm——

当a=ff时,a=--------6t

..5K5

2+sin——

6

22

(2)sJ"sin2"],S}=tsina-cosa=tsinacosa=—t