2024年高考数学预测卷二 新高考新结构版含答案

2024年高考数学预测密卷二卷新高考新结构版

学校：___________姓名：班级：考号：

一'选择题

1.已知集合时={%也%>0},N=[x|y=6-6%+81,则MN=()

A.(l,2]B.(4,+8)C.(l,2)[4收)D.(l,2][4,内)

满足型

2.已知复数zE=|3+4i|,则z的虚部是（）

(1+i)2

A.-25B.-5C.1D.5

3.从2,3,4三个数中任选2个，分别作为圆柱的高和底面半径，则此圆柱的体积大

于20兀的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

3236

4.已知椭圆C:=+4=1（。〉6〉0）的离心率为无，P是C上一点，且点尸到焦点的

ab2

最大距离为2+G.过焦点R作直线轴，交椭圆C于A,3两点，贝U|AB|=（）

31

A.2B.lC.-D.-

22

5.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且

a=l,46S=〃+c2—1,则△ABC外接圆的面积为（）

TT

A.—B.JiC.2兀D.4K

2

6.某农户购买了甲、乙两种香菇菌种，并在温度为20℃和30℃的条件下进行培育.已

17

知选到的香菇全部来自甲菌种的概率为—,选到的香菇全部来自甲菌种且在温度为

25

30C的条件下培育出来的概率为L从培育的香菇中随机抽取一部分进行营养价值检

5

测，若被选到的香菇全部来自甲菌种，则其是在温度为30℃的条件下培育出来的概率

为（）

7.已知函数/(%)=%+sinxsin[]■-％J+4,且/(%)+/(-x)=0,则关于x的不等式

/[与-1+；>展的解集为（）

A[-咤]B.]T叩。0'哥D'L

8.已知抛物线。：/=4%的焦点为R动直线/与抛物线C交于异于原点。的A,B

两点，以线段。4,。3为邻边作平行四边形。4P3,若点。（4,帆）（m>0）,则当

|4下|+|3/|取最小值时，m=（）

A.2B.2夜C.3D.26

二、多项选择题

9.已知向量。=（%/），5=（4,2）,则下列结论正确的是（）

A.若al1b,则x=2

B.若aJ_。，则％=工

2

C.若x=3,则向量a与向量8的夹角的余弦值为述

10

D.若x=-1,则向量8在向量a上的投影向量为（0,行）

10.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：

在平面内，已知两定点A,3之间的距离为a（非零常数），动点〃到A,3的距离之

比为常数2（2>0,且2/1）,则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆.在平面直角坐标系

xOy中，已知A（T,O）,3（2,0）,点航满足|M4|=2|MB|,则下列说法正确的是（）

A.zXAMB面积的最大值为12

的最大值为72

C.若Q（8,8）,则|他4|+2|昭2|的最小值为10

D.当点航不在x轴上时，始终平分NAMB

11.如图，正方体ABC。-的棱长为2,设P是棱CG的中点，Q是线段6尸

上的动点（含端点），M是正方形BCG4内（含边界）的动点，且AM〃平面

RAP,则下列结论正确的是（）

DT

A.存在满足条件的点M,使A"±AD,

B.当点。在线段6尸上移动时，必存在点拉，使4河，5。

C.三棱锥G的体积存在最大值和最小值

D.直线\M与平面BCCXBX所成角的余弦值的取值范围是

三、填空题

12.在平面直角坐标系中，若角工的顶点为原点，始边为x轴非负半轴，终边经过

3

点P(—3,—4),则tan12(z+—.

13.已知球。是底面半径为4、高为8a的圆锥的内切球，若球。内有一个内接正三

棱柱，则当该正三棱柱的侧面积最大时，该正三棱柱的体积为.

14.定义“[A/(x)<0]*=〃”表示不等式M(x)<0有“(neN)个正整数解，若

M(x)=2尤3-3尤2-〃21n(x+l)(〃zwN*)且[Af(x)<0]*=3,贝!Jm的最大值是.

(参考数据：In2=0.69,ln3=1.10,ln5=1.6Lln6=1.79)

四、解答题

15.设函数/(x)=-/+«x+lnx(aeR).

(1)若a=l,求函数/(x)的单调区间；

(2)设函数/(x)在,,e]上有两个零点，求实数。的取值范围.(其中e是自然对数的

e

底数)

16.如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面A3CD为菱形，平面上钻，底面A3CD,

M为棱3C上异于点C的一点，。为棱A3的中点，S.PA=PB=AB,ZABC=6Q°.

p

/---Xr-----

(1)若BDLPM,求证：〃为3C的中点；

(2)若平面尸。”与平面HC所成的锐二面角的余弦值为正，求也的值.

5BC

17.据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达H79万，同比增加21万，岗

位竞争激烈.为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用

人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合

市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会.参加招聘会的小王打算依

次去甲、乙、丙三家公司应聘.假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享

受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应

聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司.已知甲、乙、丙三家公司提

供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概

率分别为4,2，通过甲公司的测试后选择签约的概率为士，通过乙公司的测试

3234

后选择签约的概率为:，通过丙公司的测试后一定签约.每次是否通过测试、是否签约

均互不影响.

(1)求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；

(2)设小王获得的年薪为X(单位：万元)，求X的分布列及其数学期望.

18.已知以点/为圆心的动圆经过点耳(-3,0),且与圆心为心的圆(x-3)2+9=12相

切，记点M的轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程；

(2)若动直线/与曲线C交于及々，H)两点(其中％%〉。)，点A关于x

轴对称的点为A,且直线34经过点P(-l,0).

(i)求证：直线/过定点；

(ii)若|PA|+|PB|=4&?,求直线/的方程.

19.设满足以下两个条件的有穷数列%,%，…，4为"5=2,3,4,）阶“曼德拉数

列”：①6+〃2+。3++々〃=。；②+|%|+|%|+

（1）若某2左（左£河）阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项。〃

（l<n<2k,用匕n表示）.

（2）若某24+l（k£N*）阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项知

（1<〃<2左+1,用匕孔表示）.

（3）记〃阶“曼德拉数列”{4}的前％项和为&（左=1,2,3,•,〃），若存在

me{1,2,3,㈤，使S,“=g,试问：数列设}。=1,2,3,,"）能否为冏阶“曼德拉数

列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.

参考答案

1.答案：D

解析：M={x|lgx>0}={x|x>l},双=卜|y=J]」-6%+8〔={x|xN4或Y«2},所以

MN={x[x>l}){x|x»4或为<2}=(1,2][4,+oo).故选D.

2.答案：B

解析：由卫二?=|3+4i|,得红二殳=5,所以/』=155=_5+竽,所以

(1+i)2i1—i2

z=-5-5i.故选B.

3.答案：B

解析：从2,3,4三个数中任选2个，作为圆柱的高和底面半径(九厂)，有(2,3),

(3,2),(2,4),(4,2),(3,4),(4,3),共6种情况，圆柱的体积V=兀/人>20兀,即

r2h>20,满足条件的有(2,4),(3,4),(4,3)种情况，所以此圆柱的体积大于20兀的概

率尸=?3=—1.故选B.

62

4.答案：B

解析：由题知，e———>a+c—2+>/3>解得a=2,c—A/3,:.b=《/—c1=1,

a2

21

二椭圆C：Wr+y2=1,令x=JL得'=±万，.•.|筋|=1.故选8.

5.答案：B

解析：由a=l及4百S=〃+c2—i,得46S=62+C2—1,所以

「1r百、

4V3X—xZ?xcxsinA=2x/?xcxcosA,即cosA=，3sinA，于是有tanA=——.因为

23

0<A<TI,所以A=2,所以△ABC外接圆的半径为r==—i—=1,所以

62sinA2xsin工

6

△ABC外接圆的面积为兀产=兀.故选B.

6.答案：B

解析：设事件A表示“选到的香菇全部来自甲菌种”，事件3表示“选到的香菇是在

温度为30℃的条件下培育出来的”，则尸⑷卷17，P(AB)=~1,故所求概率为

「出所需后・故选-

7.答案：C

解析：由/(x)+/(—%)=0,得/(—%)=—/(%),所以/(%)为奇函数，贝lJ/(O)=O,所以

3兀

tz=0,所以/(x)=x+sinxsin---x=x-sinxcosx=x」sin2x,

22

3兀3兀711

r（x）=l-cos2x>0,所以/（%）为增函数.由/---x+;哈得/---x>-----

22124

7171713兀兀'则牛…事解得

又/-isin2XA所以fx\>f

1212212124212

x<"^.故选C.

12

8.答案：B

解析：由题可知焦点尸（L。），准线％=-1，设线段A3的中点为/（%,%），即为。P

4

中点，则不2,%=£.分别过A,B,M向准线作垂线，垂足分别为A，耳,

2

B!!|AF|+|BF|>|A8|,当直线A3过焦点厂（1,0）时取等号，此时

|AB|=2pWj=2ko+l|=4+2=6.设A（国,弘），B（x2,y2）,直线A3的斜率为左，由

（I：；，两式相减，得才—抬=4（%-%），所以y+%x一%

=2,即yok-2,得

=2,所以y；=2,又》1>0,所以7"=2%=2^^.故选B.

2-1

9.答案：AC

解析：若allb,则2x—4=0,解得％=2,故A正确；aLb,则4x+2=0,解得

x=_；,故B错误；若x=3,则a=(3,1).又5=(4,2),所以向量a与向量8的夹角的

余弦值为曾=二3+2述,故C正确；若％=—1,则。=(—1,1).又5=(4,2),

\a\\b\V10x2V510

所以向量b在向量a上的投影向量为"・&=尧平=(1,-1),故D错误.故选AC.

\a\\a\V2xV2

10.答案：ABD

解析：对于A,设点M(x,y),由得而了铲斤=2而三书化

为(X-4)2+V=16,所以点M的轨迹是以点(4,0)为圆心、4为半径的圆，所以

面积的最大值为“43|厂=!义6><4=12,故A正确；

22

对于B,设线段A3的中点为N,则N(-1,0),

MA-MB=(MN+NA)-(MN+NB)=|MN|2-|AW|2<(8+1)2-(-1+4)2=72,当点Af的坐

标为(8,0)时取等号，故MB的最大值为72,故B正确；

对于C,显然点Q(8,8)在圆外，点3(2,0)在圆内，

\MA\+2\MQ\=2\MB\+2\MQ\=2(\MB\+\MQ\)>2\BQ\=2^/(8-2)2+82=20,当B,

M,。三点共线且点航在线段BQ之间时，(1^41+21^21)^^20,故C错误；

对于D,由|Q4|=4,|。5|=2,有吆1=2=乜竺1,当点M不在x轴上时，由三角形

\OB\\MB\

内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，M。是中的平分线，故D正

确.故选ABD.

11.答案：ABC

解析：取3c的中点E,8瓦的中点R连接4E,A.F,EF,BCX,如图所示.

易知EFHBC\HAD\,&FIRP,\FEF=F,易得平面4EE〃平面D/P,又'Mil

平面DAP,所以AMu平面AEF,故点”的轨迹为线段ER

对于A,连接AC，片。交8G于点。，如图所示.

则5C］，5］C,又5。1，4与，4片耳。=与，所以3C］，平面44C,当V为线段

ER中点时，BQ±AXM,因为3G〃42，所以4〃故A正确；

对于B,分别以向量D4,DC,。〃的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标

系，如图所示.

则4(2,0,2),5(2,2,0),£(1,2,2),歹(2,2,1),2(0,2,m)(l<m<2),令

EM=AEF(0<2<1),得M(l+42,2—㈤，从而4M=(4—1,2,—㈤，BQ=(-2,0,m),

令4"-5。=0，得—2(2—1)—2%=0,当；1=0时，显然不合题意；当0<XWl时，由

1〈机=与呸＜2,解得即当点。在线段C7上移动时，均存在点M,使

AXM±BQ,故B正确；

对于C,设点M到GP的距离为力，则三棱锥C-APM的体积

Vc^PM=\-clPM=1^C1PM斗,当“与E重合时，

当V与R重合时

-mm3

（JwLg故c正确;

对于D,设直线4〃与平面5CG4所成的角为o,连接用“，如图所示.

D\C.

B

由±平面BCC]B[知，/4"耳=”•在MEF中,由

1BExBF^得2〈tan。V2虎,g'l"si/el-cos261匚匚

=xxBMBF=l）所以4W2〃=2〃W8,所

<2EFcosecos6

以‘<cos6〈无.故D错误.故选ABC.

35

⑵答案：-三

解析：由三角函数的定义，得tan[a-m]=g,

2tan[a一二]_

I3j__24

/.tan2<z+—=tan2a——+n=tan2a-—\=-3

I3j[I」Iif2（7rY\16~7-

I3j9

13.答案：1273

解析：记球。内切于圆锥SO,A3为圆锥的底面直径，球。与S3,A3分别切于点

E,D,过S,A,3的圆锥的轴截面如图所示，连接。E,则OELS5,SDLAB.设球

。的半径为「，易得-DBs-EO,故口=处，即，8,2得

SEE0西后―.)2--r

r=20.设正三棱柱的底面边长为a,高为h,贝彳+\]2=r=8,即

-a2+-/?=8,正三棱柱的侧面积

34

=3ah==246,当且仅当且

32

-a2+-/i2=8,即a=2退，〃=4时取等号，故当该正三棱柱的侧面积最大时，该正

34

三棱柱的体积V-^-a2h=126.

14.答案：49

解析：令/(%)=mln(x+l),g(x)=2d—3x2,由题知关于x的不等式

2x3-3x2-mln(x+l)<0(加£N*)有且仅有3个正整数解，/(x)>g(x)有且仅有3个

正整数解.g'(%)=6冗2一6元=6%(犬一1),令g'(x)>0,得x<0或%>1；令g'(x)vO,得

0<x<l,「.g(x)在(-00,0)和(L+O0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，且

g(。)=g]1"]=°,在同一平面直角坐标系内画出函数/(*),g(x)在区间[0,+8)内的大

致图象，如图所示.msN*,/(x)>g(x)有且仅有3个正整数解，.//©Ag⑶，即

"(4)<g(4)

mln4>2x33-3x3227

，解得19.6<m<---ss49.7正整数m的最大值是49.

mln5<2x43-3x4221n2In5

15.答案：(1)/(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,内)

解析：(1)当。=1时，/(x)=-x2+x+In%,/(x)的定义域为(0,+co),

—2x-+x+1

r(x)=-2x+l+—=

xx

令/'(x)>0,BP2X2-X-1<0,解得0<X<1,

令—(x)<0,BP2X2-X-1>Q,解得X>1.

函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(L+oo).

(2)令/(x)=-炉+or+lnx=0,则a=x

x

令g(x)=x-3^,其中xe-,e

xe

1]

2

mil.3I"%x+lnx-l

贝IJg'(x)=1-~=------5——•

Xx~

令g'(x)>0,解得l<xWe,令g'(x)<0,解得

e

・•.g(x)的单调递减区间为口单调递增区间为(l,e],

•IgOOmin=g6=L

又g(「|=e+Lg(e)=e-L函数/(x)在-,e上有两个零点,

lejeee

，。的取值范围是.

16.答案：（1）证明见解析

（2）处」

BC4

解析：（1）因为上4=PB,。为A3的中点，所以

又平面上钻，底面A3CD,平面PAB平面ABCD=AB,POu平面以3,

所以POL平面A3CD,

因为5£>u平面A3CD,所以班），PO,

因为POPM=P,

所以3D，平面POM,

因为OMu平面POM,所以

因为BDLAC,所以O暇〃AC,

所以M为3c的中点.

（2）连接。C,因为AB=6C,ZABC=60°,

所以△ABC为正三角形，所以OC_LAB.

分别以向量。8,OC,OP的方向为x,»z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所

设AB=4,则A(—2,0,0),8(2,0,0),。(0,2百,0),P(0,0,273),

所以OP=(0,0,2百)，BC=(-2,2A/3,0),AC=(2,2^,0),AP=(2,0,273).

设4=(%,%,zj是平面PAC的一个法向量，

enAC=0f2x+2A/3V=0

则}।，即nrl।V1,

nx-AP=0\2x1+2A/3Z]=0

取光1=A/3,得/=(y/3,—1,—1).

^BM=ABC(Q<A<1),

则M(2—2/1,2岳,0),即OAf=(2—242&,0),

设〃2=（9,%，z?）是平面POM的一个法向量,

…二°,即(2—24)%2+/2y/3Ay2—0

则

n2OP=0—0

(1-2、

取=1，得〃2=L7=~,。•

、A/34>

因为平面POM与平面必C所成锐二面角的余弦值为萼,

V15

所以k=

6…5

化为4丸2—54+1=0,解得;1=工，或2=1（舍去），

4

所以X

IQ

17.答案：(1)—

180

79

（2）X的分布列见解析，数学期望为仝

5

解析：（1）记事件A：小王通过甲公司的测试，但未通过乙公司的测试,

记事件3：小王通过甲、乙公司的测试，但未通过丙公司的测试,

21-13Xl-i11

则P(A)=X

34212

311

P®=幺MxX1-3X

345345

显然A与3互斥，所以小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率为

1119

尸(A)+尸(3)=—+—=——

1245180

(2)X的可能取值为Q10,12,18,

贝I」尸（X=0）=—1+上io=」79

3180180

23I

P（X=10）=-x-=-,

342

p（X=12）=-x-x-x-=—,

342520

p（X=18）=-x-x-x-xi=—

3425390

则X的分布列如下表:

X0101218

79j_11

p

18022090

7911129

故E（X）=0义——+10x-+12x—+18x—

180220905

22

18.答案：（1）--^=1

36

(2)(i)证明见解析

（五）x±y+3=0

解析：(1)圆(x-3)2+V=12的圆心坐标为心(3,0),半径r=2百.

动圆M与圆工相切有两种情况，即内切或外切,

所以||町|9||=2百<闺q=6,

所以点般在以及，工为焦点的双曲线上，且该双曲线的实轴长为2a=26，2c=6,

所以—c2—a2—6,

22

所以曲线C的方程吟吟j

(2)(i)设直线I的方程为兀=役+/(显然/与x轴不平行)，

22

2

与'-'=1联立，得（2疗一1）,2+4mty+2t-6-0,

由题意知，I加|＞立，A=16m¥-

\m-4乂2r—6）>0,即6机2+产—3>0,

2

-4mt2t2-6

由韦达定理得X+%=2/—1'y'y2~2m2-1>0.

因为点A与A，关于x轴对称，不妨设A,3分别在第一、二象限，如图所示.

易知kAP+kBP=0,

即+%=x(s+/+i)+-Wx+/+i)=0,

为+1x2+1(mjj+Z+l)(my2+Z+1)

化为2町%+«+1)(乂+%)=。，

?产—6—4n7,

即2m---1-(?+1)----——=0,化为-3m=mt,

2m2-12m--1

当机变化时，该式恒成立，

所以/=-3,故直线/过定点(-3,0).

(ii)由(i)知，当/=—3时，/+%=—5—，%%=—i—>0.

-122m2-1122m2-1

由|B4|+|依|=|B4[+|PB|=|A@

=/玉-々)之+(-%-%)

J(加X-3一切2+3)2+(%+%『

Wx』+$二而

（历'

化为19——24根2+5=0,解得加2=1或疗=一s＜—（舍去），

19l2J

故加二±1,

止匕时直线/的方程为n±丁+3=0.

19.答案：⑴%==（-!尸或4=-5（-1尸

2k2k

n1/WT*

(2)a-------nGINW2左+1)或a=------------1—nGN',n<2左+1)

n左(左+1)k')n左(4+1)k

（3）数列6｝（i=l,2,3,./）不为〃阶“曼德拉数列”，理由见解析

解析：（1）设等比数列%,%，％，…，％*（左2D的公比为外

右夕W1,则由①得〃]+〃2++a2k==0,得q=_1,

由②得q=/或q