等式性质与不等式性质-2025年高考数学备考复习

第一章集合、常用逻辑用语与不等式

第3讲等式性质与不等式性质

课标要求命题点五年考情命题分析预测

比较两个2022全国卷甲本讲很少单独命题，常与其他知识综合

梳理等式的数（式）T12；2020全国卷命题，命题热点有比较大小，不等式性

性质，理解的大小IIIT12质的应用等，主要考查学生的数学运算

不等式的概和逻辑推理素养.题型以选择题和填空

不等式的2020新高考卷

念，掌握不题为主，难度中等，预计2025年高考

性质及其IT11；2019全国卷

等式的性质.命题点变化不大，复习备考时要掌握等

应用IIT6

式与不等式的性质，并能充分运用.

,----------------------------:一材赭;读进敕材电合w通---------------------------s

。学生用书P008

1.两个实数比较大小的方法

方法

关系

作差法作商法

a>ba-b>0^>1(a,b>0)或沔V1(.a,b<0)

a—ba—b=0-b=1(bWO)

a<ba~b<0(a,6>0)或牌>1(a,6c0)

2.等式的性质

对称性如果q=b,那么b=q

传递性如果q=b,b=c,那么q=c

可加（减）性如果q=b,那么〃±c=6±c

可乘性如果q=6,那么ac=bc

可除性如果。=6,。¥0,那么巴=2

CC

3.不等式的性质

性质性质内容

对称性a〉6o③

传递性a>b,b>c=>@a>c

可加性

可乘性a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<0=>®ac<bc

同向可加性a>b,c>d今⑥a+c>b+d

同向同正可乘性a>b>0,c>d>0n⑦ac>bd

同正可乘方性a>b>0,那么a">6"("eN,〃22)

常用结论

l.a>b>O=>^/a>Vb.

2.(1)a>b,ab>0=>-<-；(2)a>b>0t/>c>0=>->^.

abca9

3-,m>o=2<a/呼.

aa+mbb+m

1.已知片2a+2b,S=层+26+1,则(C)

A.f>5C"WSD/<S

解析因为t—s—(2a+26)—(层+26+l)=—(a—1)2^0,所以fWs.故选C.

2.［易错题］设a,6e［0,+°°),A^-yJa+Vb,B=Ja+b,则4,2的大小关系是

(B)

A.AWBB.心3C.A<BD.A>B

解析由题意得，即2=2痛NO,又/NO,B20,故A2B.

3.［多选］下列说法不正确的是(AD)

A.一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数，不等号方向不变

B.若a>b>0,c>d>0,则二>2

ac

C.若ab>0,a>b,则工

D.若x>y,则N>产

4.［教材改编］已知2<a<3,-2<b<-l,则2a—b的取值范围是(5,8).

解析V2<tz<3,：,4<2a<6①.：-2<6<—1,：.l<-b<2②.①+②得，5<2a~

Z)<8.

f---------------------------明,方向----------------------------------------------

。学生用书P009

命题点1比较两个数(式)的大小

例1(1)［2024湖北襄阳宜城第一中学模拟］已知0<a<3若4=1+层，5=—,则N

21—a

与3的大小关系是(A)

K.A<BB.A>BC.A=BD.不确定

2232

々刀JUAnil?1(l+a)(l—a)—1a—a—aa(a—1—a)m以八——1匕乙~

解析A—B=\+a1———=------------------=-------=----------,因为OVaV二，所以

1—a1—al-al~a2

2

l-a>0f-a+a~l=~（a—=）2—浓一：<0,所以力一8<0,即/VA故选A.

（2）e",一与ee,n31的大小关系为e71•兀e<e。•兀兀.

解析=（与Le又0<2<l,0<7T-e<l,所以（与Le<l即胃子<1,又

ee-nHnLenirnee-iiH

ee'7T,t>0,所以e-TteVee-Tl".

方法技巧

比较数（式）大小的常用方法

1.作差法：（1）作差；（2）变形；（3）定号；（4）得出结论.

2.作商法：（1）作商；（2）变形；（3）判断商与1的大小关系；（4）得出结论.

3.构造函数，利用函数的单调性比较大小.

训练1（1）若P=aeb,Q=bea,则尸，。的大小关系是（C）

A.尸>QB.P=QC.P<QD.不能确定

b也

解析P,。作商可得:=告=*-

a

令/（x）W，则/（X）=3片，

当x>l时，/（x）>0,所以/（x）在（1,+8）上单调递增，

因为a>6>l,所以史，

ba

心£

->o

匕a

沸

p-

也

-

Q所以尸<Q.

ea-

a

（2）［多选/2023江苏省南京市调研］已知q>b>0,则（AC）

AA.1-、>-1

ba

B.a-=>b--

ba

C.a3-b3>2（a2b-ab2）

D.Va+1—Vfo+l>yfa-Vb

解析对于A,因为函数歹=工在（0,+°°）上单调递减，a>b>0,所以=>工，故A正确.

xba

对于B,解法一由。一：>人一工，得。一b+工一：>0,即（〃-6）（1—=）>0,

baabab

因为q>b>0,所以〃-6>0,ab>0,

所以1一令>0，

所以。6>1,而该式不一^定成立，

所以不等式Q—：>b一工不一^定成立，故B不正确.

解法二当Q=工，6=工时，a—7=-b--=-则a—六<b-故B不正确.

23b2a3ba

对于C,由〃一〃>2(cfib—ab1),得(〃一b)(。2—仍+按)>0,因为Q—b>0,

所以〃+62一仍>0,即(Q—6)2+/>0,该不等式恒成立，故C正确.

对于D,由Va+\—7b+\得7a++1—VF,即।=>

'V/a+1+ya

1

VFH+VF,

所以收五+也>历方+口，该不等式不成立，故D不正确.

综上所述，选AC.

命题点2不等式的性质及其应用

角度1不等式的性质

例2⑴［全国卷II］若a>b,则(C)

A.ln(°-6)>0B.3"<36

C4一〃>0D.IaI>IZ>I

解析解法一由函数y=lnx的图象(图略)知，当0<。一b<1时，In(a—b)<0,故

A不正确；因为函数>=3,在R上单调递增，所以当a>6时，3">36,故B不正确；因为

函数>=好在R上单调递增，所以当时，a3>b\即/一加〉。，故c正确；当b<a<

0时，IaI<I6I,故D不正确.故选C.

解法二当a=0.3,b=—0.4时，In(a—6)<0,3。>3:\a\<\b\,故排除A,B,

D.故选C.

(2)［多选/2023湖南省邵阳二中模拟］如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列结

论一定正确的是(ACD)

K.ab>acB.cb2<ab2

C.c(b~a)>0D.ac(a—c)<0

解析由c<6<a,且ac<0,得a>0,c<0.对于A,由c<6,a>0得ac<a6,故A正

确.对于B,取c=—1,b=Q,a=l,显然B不一定正确.对于C,b~a<0,c<0,故c(b

—a)>0,故C正确.对于D,ac<0,a~c>0,故ac(a—c)<0,故D正确.故选AC.D.

方法技巧

判断不等式是否成立的常用方法

(1)利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件；

(2)利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项；

(3)根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断.

角度2不等式性质的综合应用

例3⑴已知a>6>c,2a+6+c=0,则£的取值范围是(A)

a

A.(—3,—1)B.(—1,--)

3

C.(—2,—1)D.(—1,--)

2

解析因为q>b>c,2Q+6+C=0,所以Q>0,C<0,6=—2Q—C.因为〃>6>C,所以

—2a~c<a,即3Q>—c,解得£>—3,将b=—2。-c代入6>c中，得一2Q—C>C,即q

a

<-c,得£<一1,所以一3<£<—1.故选A.

aa

(2)[2024湖北孝感部分学校模拟]已知实数a,6满足-3Wa+6W2,-lWa-6W4,则

3a—2b的取值范围为[-4,11].

ZTT~~I~3,

解

{m—n=—2,

(_1

得42所以3a—2b=-(a+6)+-(a—6).又一工(a+6)W1,-(a—b)

e—5222222

lnT

W10,所以一4W3a—26W11.

方法技巧

利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建立所求

范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解.

训练2(1)[2024吉林长春东北师范大学附属中学模拟]设且1是关于x的一元

二次方程。N+6x+c=0的一个实根，则工的取值范围是(A)

a

A.[—2,—|]

B.(-2,-1)

C.(—8,—2)U(­-,+8)

2

D.(—8,-2]U[-p+8)

解析因为1是一元二次方程4/+6%+o=0的一^个实根，

所以a+b+c=09则b=—a—c,

(2ct>—c,

又aNbNc,所以aN—a—c2c,贝H

1-a>2c,

又所以3a2〃+b+c=0,又aWO,所以〃>0,

则不等式组等价于4/即《1：故一3故选A.

-1>-,-1>-,a2

Ia\2a

(2)[多选/2024山东省邺城县第一中学模拟]已知a,b,c£R,则下列命题为真命题的是

(ABC)

A.若bc2<ac2,则b<a

B.若京〉加且MVO,贝壮

C.若a>6>c>0,则£>华

bb+c

D.若C>b>Q>0,则0〉》

c-ac-b

解析选项A,若於2〈四2成立，则cWO,所以。2>0,故选项A正确；

-11

选项B,由〃>63得又成<0,所以0>0>6,所以±>0>;,故选项B正确；

ab

选项C,因为Q>6>C>0,所以〃c>bc,所以。。+必>反+。6,因为---——>0,所以两

b(b+c)

边同乘得〉空,故选项正确；

b…(匕］+c)、bb+cc

选项D,易知a—6V0,c-a>Q,c-b>0,所以，」一」一=上0一<,即一L<

c~ac~b(c—a)(c—b)0c~a

―,故选项D不正确.

c-b

故选ABC.

1.［命题点1/多选/2024黑龙江哈尔滨模拟］已知偶函数/■(x)在(-8,0)上单调递减，

且/(-1)=0.若0=/(2°-7),6=/(0.5-°9),c=/(logo.70.9),则(ACD)

A.62>a2B.-<-C<>£D.h>a+c

acba

解析因为偶函数/(X)在(一8,0)上单调递减，且/(—1)=0,所以函数/(X)在

(0,+8)上单调递增，且/(I)=0.又10go.71=0<logo.70.9<logo.70.7=l=2°<2S7<20-9

=0.5"°-9,所以。<0VaV6.

对于A选项，因为。<0<。<6,所以从一层〉(),即扶〉

2

af故A选项正确；

对于B选项，因为c<O<a<b,所以工<0<工，故B选项不正确；

ca

对于C选项，因为c<O<a<b,所以。<工，所以；>£,故C选项正确；

baba

对于D选项，因为c<O<a<b,所以6>a>a+c,故D选项正确.

故选ACD.

2.［命题点2/多选〃023长沙调研］若工<:<(),则下列不等式中正确的是(AC)

ab

A.<［■B.IaI+6>0

a+bab

C.a-->b~^-D.lna2>lnb2

ab

-ii

解析由土<±<o,可知b<a<0.

ab

A中，因为a+6<0,ab>0,所以-一<0，±>°，故有」一〈人，即A正确；

a+baba+bab

B中，因为b<a<0,所以一b>—q>0.故一b>\a\,即IaI+6<0,故B错误;

i-1111i

C中，因为b<a<0,-<4<0,所以一±>一£>0,a-->b-{,故C正确；

ababab

D中，由bVqVO,>=/在(-8,0)上单调递减，可得/?2>层>0,而y=lnx在定义域

(0,+8)上单调递增，所以Inb2>lnq2,故D错误.

(-----------------------------:练习帮；练透好题精准分层-----------------------------、

力学生用书•练习帮P261

n就像[识话至"]

1.[2024四川广安模拟]已知尸=屋+3,Q=4a—1,则尸，。的大小关系是(A)

A.PNQB.P>Q

C.PWQD.P<Q

解析尸=/+3,Q=4a~l,P-Q=a2+3~4a+l=(a—2)2^0,故尸》。，故选A.

2.[2022上海高考]已知实数a,b,c,d满足：a>b>c>d,则下列选项中正确的是

(B)

A.a+d>b+cB.a+c>b+d

C.ad>bcD.ac>bd

解析对于选项A,如取Q=4,b=3,c=2,d=—4,此时a+dVb+c,故A错误；

对于选项B,a+c>b+c>b+df故B正确；

对于选项C,D,如取a=4,b=—\,c=~~2,d=-3,此时adVbc,ac<bd,故C,D

错误.故选B.

3.[2024陕西西安模拟]若a<bV0Vc<d,则(C)

A.ac<adB.a-c>b~d

a+c、b+d

C.->7L).—;—>------

abbc

解析对于A,因为a<0,c<d,所以故选项A错误;

对于B,取。=-4,b=—1,c=l,d=2,则〃一c=—5,b—d=-3,故选项B错误;

对于C,£一色=如二殁>竺二丝〉0,所以£>/故选项c正确；

abababab

对于D,取a=—2,b=~l,c=l,d=2,则牛E=l,—=1,故选项D错误.故选C.

bc

4.已知OVaVbVl,设加=61na,n=a\nb,n=ln(当)，则冽，n,夕的大小关系为

rIndr

(A)

A.m〈n〈pB.n<m<p

C.p<m<nD.p<n<m

解析由0<aV6<l,得b>l,且lnaVln6<0,即有呵>1,因此，In(―)>0,即

ambmb

0,由加<0,"<o,-=VT=--rr>l,得所以机.故选A.

nalnbaInor

5.[2024山东烟台模拟]已知x>y>z,x+y+z=O,则下列不等式成立的是(B)

A.xy>yzB.xy>xz

C.xz>yzD.xIyI>\y\z

解析因为x>y>z,x+y+z=O,所以x>0,z<0,y的符号无法确定.

对于A,由题意得I>2,若yVO,贝ij肛VOVyz,故A错误；

对于B,因为y>z,x>0,所以盯>%2,故B正确；对于C,因为z<0,所以％zV

yzf故C错误；

对于D,当I>I=0时，xI>I=IyIz,故D错误.故选B.

6.［2024广西柳州模拟］一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与

地板面积的比应该不小于10%,而且这个比值越大，采光效果越好.若同时增加相同的窗户

面积和地板面积，公寓的采光效果(B)

A.变坏了B.变好了

C.不变D.无法判断

解析设〃和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面

积(面积单位都相同)，由题意得0<a<6,机>0,则中—？=业。3=巴士更，

b+mbb(b+m)b(b+m)

因为b>0,m>0,所以6(b+m')>0,

又因为q<b,则6—a>0,

所以也2>o,即也

b+mb'b+mb'

所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.

故选B.

7.［多选］若。>0>6>一a,c<d<0,则下列结论正确的是(BCD)

K.ad>bcB.-+-<0

ac

C.a—c>b—dD.a(d—c)>b(d—c)

解析因为。>0>6,c<t/<0,所以odVO,bc>0,所以adVbc,故A错误；因为0>

b>~a,所以Q>—b>0,因为cVdVO,所以一c>—d>0,所以a(—c)>(—6),

(-d),所以ac+6d<0,又cd>0,所以竺婴=号+2<0,故B正确；因为c<4,所以

caac

—c>—d,因为所以a+(—c)>b+(—d),即Q—c>b—d,故C正确；因为q

>0>Z?,d—c>0,所以a(d—c)>b(d—c),故D正确.

8.［多选］若。>0,b>0,则使成立的充要条件是(ABD)

A.a2>b2B.a1b>ab2

C.2>岑D.a+^>b+-

aa+1ba

解析对于A,因为〃>0,b>0,所以。>60。2>尻，A选项符合题意；

对于B,因为Q>0,Z)>0,所以a2b>〃620必(a—b)>0<^a>bfB选项符合题意；

对于c，当4Q0时，;鬻=号*幺=磊土<0,即衿翳C选项不符合题

意;

对于D,当a>6>0时，^>->0,所以。+工>6+工，反之，由。>0,6>0,a+->b+-,

bababa

,1

可得上一>1,即“'a"">1,即2>1,所以a>6,D选项符合题意.故选ABD.

b+a-b(ab+l)b

9.[多选〃024安徽模拟]已知2Vx<3,-2<y<],则下列选项正确的是(CD)

A.-|<^<|B.2<xy2<12

C.l6〈盯V3D.3<2x—y<8

解析对于A,2<x<3,i<i<i当y=0时，？=0;当0<y<l时，0〈乙<上当一2<y

3x2xx2

<0时，o<-y<2,0<^<l,—1<2<0.所以—1<2<工，A选项错误.对于B,-2<y<

xxx2

1,当y=0时，xf=Q,B选项错误.对于C,当y=0时，xy=Q;当0<y<l时，0<孙V

3;当一2<y<0时，0<-y<2,0<-xy<6,—6<孙<0.所以一6〈孙<3,C选项正确.

对于D,由2cx<3,得4<2x<6,由一2<y<l,得一1<一了<2,所以3<2x-y<8,D

选项正确.故选CD.

10.[2024安徽省淮南市模拟]已知lWa—6W2,2Wa+bW4,则4°-2b的取值范围是—

[5,10].

TTT>~|~,

{n—m=—2,

解得任=1，因为iWa—6W2,2Wa+6W4,所以5W3(a—6)+(a+6)W10,所以

=3.

5W4a—2bW10.

版力像「个金关〕

11.若a=*b=苧,c=*贝lj(B)

345

A.a<b<cB.cVbVa

C.c<a<bD.b<a<c

解析解法一易知a,b,。都是正数，-=7r1=log8i64<l,所以。>b;-=^=

a41n3c41n5

log6251024>l,所以6>c,即c<6<a.故选B.

解法二构造函数f(x)=当，则/'(x)上詈，由广(X)>0,得0<x<e;由

f(x)<0,得x>e,所以/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+°°)上单调递减，所

以/(3)>/(4)>/(5),即a>b>c.故选B.

12.[2024河南郑州模拟]某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品

降价，有四种降价方案：①先降价。%,再降价6%；②先降价詈％,再降价。％；③先

降价三％，再降价亨％；④一次性降价(。+6)%.其中a>b>0,则最终降价幅度最小

的方案是(C)

A.①B.②C.③D.®

解析设原价为1,对于①，降价后的价格为(1—0%)(1—6%),

对于②，降价后的价格为(1——%