江苏省宿迁市2023-2024学年高二年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.计算C：+C；+C；=（）

A.20B.21C.35D.36

2.已知样本数据2』+l,2X2+1,2%+1的平均数为5,则3再+1,3巧+1,…,3尤“+1

的平均数为（）

A.6B.7C.15D.16

3.下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（）

得分78910111314

频数4246242

A.13.5B.10.5C.12D.13

4.已知。，6为两条不同直线，a,p,/为三个不同平面，则下列说法正确的是（）

A.若a〃b,bua,则B.若a//a,bua,则a//。

C.ally,pHy,则a〃£D.若,则a//。

5.已知43,C三点不共线，O为平面/BC外一点，下列条件中能确定M,43,C四点共面的

是（）

A.OM=OA+OB+OCB.OM^3OA-OB-BC

___»—►1_►1»___,_,k

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=3OA-2OB-~BC

,,311

6.已知随机事件A,B,尸（,）=而，P（B）二,尸⑷Z）=§,则尸（川5）=（）

,11「31

A.—B.—C.—D.—

562010

9_

7.已知（2x+l）9=%+H--Fa9x,贝U苗+m■+泼■十才的值为（）

A.255B.256C.511D.512

8.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%,乙

试卷第1页，共4页

车间占35%,丙车间占45%.已知这3个车间的次品率依次为5%,4%,2%,若从该厂

生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为()

33r10c14c3

A.------B.—C.—D.—

1000333311

二、多选题

9.下列选项中叙述正确的有()

A.施肥量与粮食产量之间具有正相关关系

B.在公式肛=1中，变量>与x之间不具有相关关系

C.相关系数4=0.6时变量间的相关程度弱于々=-0.8时变量间的相关程度

D.某小区所有家庭年收入X(万元)与年支出y(万元)具有相关关系，其线性回归方

程为#=5X+0.8.若元=20,7=16,贝!13=0.76.

10.已知点4-2,3,-3),5(2,5,1),C(l,4,0),平面。经过线段的中点。，且与直线

垂直，下列选项中叙述正确的有()

A.线段的长为36

B.点尸(1,2,-1)在平面a内

C.线段48的中点。的坐标为(0,4,-1)

D.直线CD与平面a所成角的正弦值为逆

3

II.甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取

出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为E(X)、£(Y),方差

为D(X)、D(Y),则下列结论正确的是()

A.E(X)+E(Y)=5B.£(X)<£(7)

C.D(X)<D(Y)D.D(X)=D(Y)

三、填空题

12.已知随机变量X服从正态分布N(95,〃)，若尸(X<80)=0.3,则

P(95<X<110)=.

13.如图，用四种不同颜色给图中的43,C,2£五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且

图中每条线段的两个端点涂不同颜色.则不同的涂色方法共有种.

试卷第2页，共4页

14.如图，已知三棱锥尸-N8C的底面是边长为2的等边三角形，ZAPB=60°,D为4B中

点，PALCD,则三棱锥尸-48C的外接球表面积为

四、解答题

15.在"x+9](〃23,〃eN*)的展开式中，第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列.

(1)证明展开式中不存在常数项；

(2)求展开式中所有的有理项.

16.某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A,3两个班级招募

新社员.

(1)求到A班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；

(2)设到A,B两班招募新社员的男生人数分别为。，b,记X=a-6,求X的分布列和方差.

17.如图，正三棱柱48。-4用。中，。为N8的中点.

⑴求证：8G〃平面4CD；

AA

⑵当差的值为多少时，44,平面4co?请给出证明.

试卷第3页，共4页

18.会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务

质量的满意度.现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下:

满意度

年龄段合计

满意不满意

不高于40岁502070

高于40岁25530

合计7525100

(1)问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关;

(2)用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率.从所有会

员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X,求X的分布列和数学期望.

参考公式：+…(其中〃=a+b+c+d).

参考数据:

尸(72"(1)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

%2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.如图，在三棱台/BC-DE尸中，AB=BC=AC=2,AD=DF=FC=1,N为。尸的中

点，二面角D-4C-3的大小为e.

⑴求证：AC1BN；

TT

(2)若。=5，求三棱台/3C-DE尸的体积；

⑶若A到平面BCEE的距离为逅，求cos。的值.

2

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.

【详解】由组合数计算公式可得

IX/

故选：B

2.B

【分析】根据平均数的性质即可得X”/，…,猫的平均数为2,则可得到新的一组数据的平均

数.

【详解】由题意，样本数据2再+1,2X2+1,2x“+l的平均数为5,

设再,吃,…,x”的平均数为最，

即以+1=5，解得工=2，

根据平均数的性质知3再+1,3x?+平…,3%+1的平均数为费+1=7.

故选：B.

3.D

【分析】根据百分位数的定义求解即可.

【详解】因为24x80%=19.2,24个班级的得分按照从小到大排序，

可得80百分位数是第20个数为13.

故选：D

4.C

【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题.

【详解】若。〃。，bua,则a//(z或aua,则A错；

若a//a,bua,贝!|。//方或。与6异面，则B错；

ally,plly,由平行的传递性可知，all13,贝！JC对；

若…,则a/3或相交.，D错，

故选：C.

5.D

【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.

【详解】由空间向量基本定理可知，若48,C四点共面，则需满足存在实数x，%z使得

答案第1页，共12页

OM=xOA+yOB+zOC,且x+y+z=l,

显然选项A,C不成立；

对于选项B,由血=3次-砺-数可得%=3次-丽-（发-西=3OA-OC,

不合题意，即B错误；

对于D,化简而=32砺-前可得的:=3方-2瓦-（反-西=3OA-OB-OC,

满足3+（-1）+（-1）=1,可得D正确；

故选：D

6.A

【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得再由条件概率公式，代入计算，即

可得到结果.

311

【详解】因为尸（4）=伉，尸（8）=5，P（B\A）=~,

则尸（45）=尸（司4）义尸（4）=1x3_1

10-10

5

故选：A

7.A

【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令x=0求出4=1,分别令x=；、x=-1,

再两式相加可得为+墨+…+|i=256,再减去小即可.

【详解】令x=0,得4=1,

令x得%+争果+墨+,•.+*+墨=2=512,

令X」，得。。一幺+4一g+…+4一年=0，

20222232829

两式相加得214+才H----1■6J=512,

得出+号+…+空=256,

则常+学+爱+奈=255.

答案第2页，共12页

故选：A.

8.C

【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即

可求解.

【详解】记事件/表示甲车间生产的产品，

记事件8表示乙车间生产的产品，

记事件C表示丙车间生产的产品，

记事件。表示抽取到次品，

则P（A）=0.2,P（B）=0.35,=0.45,

P[D\A）=0.05,尸（0忸）=0.04,P（D|C）=0.02,

取到次品的概率为

尸（。）=尸（/）P（叫/）+P（2）P（D⑻+P（C）P（D|C）

=0.2x0.05+0.35x0.04+0.45x0.02=0.033,

若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：

」函加一尸（皿>）尸（3）尸（。闻,.35x0.04=0.01414

1'尸（。）一尸（必一0.03310.033-33，

故选：C

9.BCD

【分析】根据相关关系的定义和性质可判断AB的正误，根据相关系数的性质可判断C的正

误，根据回归方程的性质可判断D的正误.

【详解】对于A,只有在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高，则题中两者

不具有正相关关系，故A错误.

对于B,变量y与尤之间是函数关系，不是相关关系，故B正确.

对于C,因为问=0-8>|4|=0.6,

故相关系数6=0.6时变量间的相关程度弱于马=-0.8时变量间的相关程度，故C正确.

对于D,因为回归直线过（元,歹），故16=5x20+0.8，故3=0.76，故D正确.

故选：BCD.

10.BCD

答案第3页，共12页

【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段的长，判断A；由45,平面。，垂足

为点。，PDLAB,即可判断B；由中点坐标公式可得点。的坐标，判断C；设直线CD与

平面。所成的角为?，sinp=cos(/IS,CD)\=,通过坐标运算可得，判断D.

1'AAB^fJD

【详解】因为点4-2,3,-3),3(2,5,1),

所以48=^(2-(-2))2+(5-3)2+(1-(-3))2=6,故A错误；

设。点的坐标为因为。为线段4g的中点，

则。的坐标为(0,4,T),故C正确；

因为点尸(1,2,-1),则丽=(-1,2,0),又刀=(4,2,4),

则丽=(-1,2,0)(4,2,4)=0,所以历,益，即

又平面垂足为点。，即De平面£，所以尸Du平面故B正确;

由C(l,4,0),Z)(0,4,-1),得丽

设直线。与平面a所成的角为"，

AB-CD-4+0-4

港,故D正确.

AB\\CD672

故选：BCD.

11.ABD

【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知x+y=5,利用期望值和

方差性质可得A,D正确，C错误；易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4,写出对应

的概率并得出分布列，可得E(X)=2.4,E(Y)=5-£(X)=2.6,可得B正确.

【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为X1,

不管如何交换红球个数始终只有5个，易知X+y=5,

对于A,由期望值性质可得E(X)=E(5-y)=5-E(y),即E(x)+E(y)=5,所以A正确；

对于B,易知随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,4；

当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得

答案第4页，共12页

r2c2i

p(x=o)=尸(y=5)='x*

100

当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球,

乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得

c：c；c；12_2

尸(X=l)=尸(Y=4)=

等导浮10(r25

当从甲袋中取出1个红球，1个黄球,乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出

2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄

球后交换，可得

C；42_21

尸(x=2)=尸(y=3)

《"Too

当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球,

1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得

c[c^c^c|a9

尸(x=3)=尸(y=2)=x+x

C；C；CjCj10025

当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得

尸(x=4)=p(y=i)=|-x||9

100

随机变量X的分布列为

X01234

132199

P

100255025100

13?19Q

所以期望值£(X)=0x——+lx—+2x—+3x—+4x—=2.4

I,100255025100

可得E（y）=5-E（X）=2.6,即颐X）＜E（y）,可得B正确;

对于C,D,由方差性质可得。出）=。（5-町=（-1）力W）=。促），即可得。（X）=D（Y）,

所以C错误，D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足X+Y=5,利用期望值和方差性质可判

答案第5页，共12页

断出AD选项，再求出随机变量X的分布列可得结论.

12.0.2/卷

【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可.

【详解】因为随机变量X服从正态分布N(9502),尸(X<80)=0.3,

所以尸(95<X<110)=尸(80<X<95)=0.5-尸(X<80)=0.2,

故答案为：0.2

13.72

【分析】由图形可知点E比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E开始涂色计算可得结

果.

【详解】根据题意按照48,C,D,E的顺序分5步进行涂色，

第一步，点£的涂色有C；种，

第二步，点A的颜色与E不同，其涂色有C；种，

第三步，点8的颜色与4£都不同，其涂色有C；种，

第四步，对点c涂色，当4c同色时，点c有1种选择；当4c不同色时，点C有1种选

择；

第五步，对点。涂色，当4c同色时，点。有2种选择；当4c不同色时，点。有1种选

择；

根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有C；C；C；(1X2+1X1)=72种.

故答案为：72

207r20

14.——/z——71

33

【分析】设A尸48外接圆的圆心为E,三棱锥尸-48C的外接球的球心为O,连接

VABC的外接圆的圆心为G,连接。G,OB,可证四边形。GDE为矩形，利用解直角三角

形可求外接球半径，故可求其表面积.

【详解】因为V/8C为等边三角形，。为A8中点，故

而尸/_LCD,PA[\AB=A,P/,4Bu平面PN3,所以CO_L平面尸/反

设外接圆的圆心为E,三棱锥尸-的外接球的球心为O,连接

设V4BC的外接圆的圆心为G,连接。G,OB,

答案第6页，共12页

则OE_L平面尸48,OGLCD

故。E//CD,故O,G,D,£共面，而DEu平面尸

故CDLDE,故四边形OGDE为矩形.

_1AB_1_2@,r-

BBJE7——x--------——-----—1-\/3

又2sinZAPB3，ffifOE=DG=—CD=—，

J33

2

故外接球半径为OB=^BE2+OE2=+；=浮，

故外接球的表面积为拳，

15.(1)证明见解析；

14

(2)128/,672/,280无，—.

X

【分析】（1）根据题意可求得〃=7,利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项;

（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的左值，求出所有的有理项.

【详解】（1）易知第2,3,4项的二项式系数依次为C：,C；,C：,

可得C+c：=2c即〃+"（i）（"2）=2x正1）,

62

整理得（"-2）（〃-7）=0,解得〃=7或〃=2（舍）；

所以二项式为〔2尤+十），假设第左+1项为常数项，其中左eN,

即可得C；（2x）"U|=2，--争」—为常数项，所以7-"5=0,

14

解得上=下eN,不合题意；

即假设不成立，所以展开式中不存在常数项；

答案第7页，共12页

(2)由⑴可知，二项展开式的通项C*2无广"iC'F可得，

13

其中的有理项需满足7-左一二左eZ,即7—1左eZ,且左W7；

22

3

当左=0,7-万左=7eZ,此时有理项为27C；尤7=128尤7；

当左=2,7_3k=4eZ,此时有理项为25<2；/=672尤%

3

当左=4,7-3左=leZ,此;时有理项为23cb=280无；

314

当左=6,7-；左=-2eZ,止匕时有理项为，C3-2=_.

14

综上可知，展开式中所有的有理项为128/,672/,280x,4.

X

3

16.(D-

【分析】(1)由古典概型的概率求解尸C=P等?=£3;

(2)由题意，X的可能取值为-2,0,2,算出对应概率尸(X=-2),尸(X=0),尸(X=2),

即可列出X的分布列，再求出E(X),进而由公式求出方差.

CY3

【详解】(1)到A班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为尸=发=口

C15

(2)由题意，X的可能取值为-2,0,2,则

C2cl1

尸5=-2)=岩r°C3尸1(X=0)=卷=]3，尸U=2)=岩=:

所以X的分布列为

X-202

P—1—3—1

555

131

贝阳幻=_2乂1+0*《+2*《=0,

答案第8页，共12页

所以r>(X)=(-2_0)2xg+(0_0)2x|+(2_0/x；=q.

17.(1)证明见答案.

【分析】(I)连接NG,交4c于点0,连接。。，能证出8G〃z)o,则能证出8G//平面4co.

(2)先把/用,平面4co当做条件，得出/月，4。，得出妥的值，过程要正面分析.

【详解】(1)

连接NG,交4c于点O,连接。。，

因为。是/G的中点，。为N3的中点，

所以。。是AN3G的中位线，即3CJ/。。，

平面4。，oou平面4co,

所以8c〃平面4。.

(2)必=变时，平面4cD，证明如下：

AB2

因为幺=变，tanZAAB}^41,tan/。4月=%=应，

AB2AD

AAXABX=NDAB,

TTTT

ZDAIB1+ZAAlD=~,AAXABX+ZAA1D=-,即/氏L/Q.

因为三棱柱/8C-4耳。为正三棱柱，.为正三角形，且平面Z8C,

CD±AB,CD±AA[,ABnAAX=A,A8u平面力台44，平面/_844,

答案第9页，共12页

\CD”平面ABBXAX,因为AB】u平面4844，

所以481_LCD,A,DC］CD=D,/。，。。匚平面4。，

48］，平面4co.

.AA{V2

"AB~2.

18.(1)不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关.

9

(2)分布列见解析；

【分析】(1)首先根据列联表中的数据结合公式计算/值，然后对照表格得到结论；

(2)由表格可知，对服务满意的人的概率为：，根据二项分布公式即可求

解.

【详解】(1)

100(50x5-25x207<2.072,

由列联表可知：z2

75x25x70x3063

所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关.

(2)由表格可知，对服务满意的人的概率为《，且万~513：］,

则X=0,1,2,3,

2

39

可得：尸(x=o)=c；小尸(x=i)=c；

64

27

尸(X=2)=C；P(X=3)=C；

64

故X的分布列如图：

X0123

192727

P

64646464

3Q

可得E(X)=3x1=1

19.(1)证明见解析;

答案第10页，共12页

3

(3)cos8=-

5

【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得/C，平面可证明结

论；

（2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；

（3）建立空间坐标系，求出平面3CFE的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出

cos6）的值.

【详解】（1）取/C的中点为连接NM,BM；如下图所示：

易知平面ABCII平面DEF,且平面48CPI平面DACF=AC,平面DEbc平面DACF=DF；

所以4C//DF,又因为4D=FC=1,

可得四边形D/CF为等腰梯形，

且分别