2025高考数学一轮复习 解三角形的应用 专项训练

2025高考数学一轮复习-4.7-解三角形的应用-专项训练

基础巩固练

L已知/乃两地间的距离为101«11,8。两地间的距离为201<111,现测得乙43。=120°，则两

地间的距离为()

A.10kmB.10V3km

C.10V5kmD.IOV?km

2.设MN为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为100米,50米.现欲在MN之间架

设高压电网，须计算峪N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点尸，利用测角仪从尸点测得

MN点的仰角分别为30°,45°，并从P点观测到MN点的视角为45°,则MN之间的距离为

()

A.50V1U米B.50VH米

C.50夜米D.50点米

3.嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存

最早的砖塔.如图，为测量塔的总高度N瓦选取与塔底8在同一水平面内的两个测量基点C与

A现测得/3CO=30°,/8DC=45°,CD=32m,在C点测得塔顶/的仰角为60°,则塔的总高

度为()

A.(96-32V6)mB.(96-32V3)m

C.(92-32A/2)mD.(92-32V3)m

A

4.(多选题)如图所示，为了测量两处岛屿间的距离,小明在D处观测到A,B分别在。处的

北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测3在C处的正北方向H

在C处的北偏西60°方向，则下列结论正确的有()

A.ZC4Z)=60°

B.4。之间的距离为15近海里

C.A,B两处岛屿间的距离为15返海里

D.B,D之间的距离为30%海里

5.(多选题)某货轮在/处看灯塔3在货轮北偏东75°，距离为12乃nmile;在N处看灯塔。

在货轮的北偏西30。，距离为8百nmile.货轮由/处向正北方向航行到D处时，再看灯塔3

在南偏东60°的方向上，则下列说法正确的有（）

N.A处与D处之间的距离是24nmile

B.灯塔C与D处之间的距离是8V3nmile

C.灯塔。在。处的西偏南60°

D.D在灯塔8的北偏西30°

6.已知甲船位于小岛N的南偏西30°的8处,乙船位于小岛N处,48=20千米，甲船沿瓦?的方

向以每小时6千米的速度行驶，同时乙船以每小时8千米的速度沿正东方向匀速行驶,当甲、

乙两船相距最近时，他们行驶的时间为小时.

7.如图，从气球/上测得正前方的河流的两岸瓦C的俯角分别为67°,30°，此时气球的高是

92m,则河流的宽度2C约等于________m.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin

67°=0.92,cos67°=0.39,sin37°-0.60,cos37°=0.80,73=1.73）

8.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我

国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径42两点间的距离，现在珊瑚

群岛上取两点CQ,测得CD=50m,/4DB=135°,ZBDC=ZDCA=15°,ZACB=12O°，求

两点间的距离及A,B两点间的距离.

.■■....................综合提升练

9.如图，一辆汽车在一条水平的公路上沿正西方向匀速行驶，在公路北侧远处一座高900米的

山顶。测得点/在东偏南30°方向上，过一分钟后测得点3在山顶。的东偏南60°方向上,

俯角为45°，则该车的行驶速度为（）

A.15米型

B.15百米型

C.20米邻

D.20旧米敬

10.“寸影千里”法是《周髀算经》中记载的一种远距离测量的估算方法,其具体方法是在同一

天（如夏至）的正午，于两地分别竖起同高的标杆，然后测量标杆的影长,并根据“日影差一寸，实

地相距千里”的原则推算两地距离.如图，某人在夏至的正午分别在同一水平面上的A,B两地

竖起高度均为a寸的标杆AE与BF^C与BD分别为标杆AE与BF在地面的影长，再按影长

AC与BD的差结合“寸影千里”来推算48两地的距离.记。尸=及0<%）,则按

照“寸影千里”的原则H乃两地的距离大约为（）

A1OOOasin(a+0)里

sinasiny?

1000asin(a+S)m

D.---：-------里

sinacosp

C1000acos(a+S)里

sin^cosa

D1000acos(a+6)里

,cosacos/?

IL说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓,它由宝塔山、枣园革命旧址、杨家岭革命旧址、

中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安的标志，也是中国革

命的摇篮，见证了中国革命的进程,在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山的坡度比

为V7：3（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡/处测得，从/处沿

山坡往上前进66m到达B处,在山坡3处测得NC2O=30。，则宝塔CD的高为（）

12.（多选题）某同学为测量教学楼的高度，先在地面选择一点C,测量出对教学楼N8的仰角/

NC2=a，再分别执行如下四种测量方案，则利用测量数据可表示出教学楼高度的方案有（）

A

方案B,C

E

方案D

A.从点C向教学楼前进a米到达点。，测量出角

B.在地面上另选点。，测量出米

C.在地面上另选点。，测量出N3Z)C=S,CD=a米

D.从过点C的直线上(不过点8)另选点£),瓦测量出CD=2DE=a米,NADB=B，NAEB=y

13.如图，一位同学从尸1处观测塔顶B及旗杆顶4得仰角分别为a和90°-a.后退/m至点P2

处再观测塔顶尻仰角变为原来的一半，设塔CB和旗杆BA都垂直于地面，且C,马F2三点在同

一条水平线上，则塔BC的高为_______m;旗杆BA的高为_________m(用含有I和a的式子表

示).

14.某公园要建造如图所示的绿地。43co4。。为互相垂直的墙体，已有材料可建成的围栏

AB与BC的总长度为12米，且设N8/O=a,0<a<5

⑴当A8=3,a用时，求AC的长；

(2)当AB=6时,求绿地OABC面积S的最大值及此时a的值.

创新应用练

15.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.

如图，点E",G在水平线NC上QE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为

“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛

的高N3=()

人表(KjX表距主言D表高X表距主吉

七口口匚+衣同

A•表目距的差B.表目距的差一不同

C表局*表距+表是巨表高x表距

。,表目距的差衣胆口表目距的差衣咫

16.汽车最小转弯半径是指当转向盘转到极限位置，汽车以最低稳定车速转向行驶时，外侧转

向轮的中心平面在支承平面上滚过的轨迹圆半径，下图中的2。即是.已知某车在低速前进时,

图中/处的轮胎行进方向与/C垂直,2处的轮胎前进方向与BC垂直，轴距AB为2.55米，方

向盘转到极限时,轮子方向偏了30°，则该车的最小转弯半径8C为米

17.记A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知於=℃,点D在边NC上,3£>sin//BC=asinC.

(1)证明:AD=b.

⑵若40=2。。,求cos/48c的值.

参考答案

l.D2.A3.B4.BC5.ABC

io

6骂7.120

8.解在中,N5CD=N4C5+NDC4=135°，则NC5Q=180°-15°-135°=30°,

由正弦定理冤普_BD

sinZ.BCD,

所以四旦舞黑=¥=50&(m).

smZ.CBD1

2

在中，N/DC=N/D8+N8DC=150。，则NG4。=180°-150°-15°=15。，所以

AD=CD=50m.在4ABD中=AD2+BD2-2ADBDcosZADB=2500+5

000-2X50X50V2X(-y)=12500,

所以/8=50有m.

9.A10.Cll.A12.ABD

lcos2a

13./sina

since

14.解（1）如图，连接NC在A/BC中43=3,3C=9,//8C=2兀-静一工一］=券，由余弦定理,

得AC2=AB2+BC2-2AB-BC-cosZABC=Ul,^AC=3413.

因此ZC的长为3履米.

⑵由题意知fC=4B=6,N/C3=NC4昆N4BC=2兀-2a5=孚-2a,所以NCMC=NOC4=；.

LL4

在△45。中,由余弦定理得ZG=452+gG_24SWcosN45C=72-72cos居-2a)=72+72sin

2a,所以S^AOC=^C^^lS+lSsin2a,S^ABc=-1X6><6xsin(竽-2a)—18cos2%所以

S=S^ABC^~S^AOC=-18cos2a+18+18sin2a=18V^.sin(2a-；)+18,0vav],当2a-y=；，即

\4/L4Lo

时,S取到最大值，最大值为18金+18.因此，当a=萼时，绿地O4BC面积S的最大值为

O

(18/+18)平方米.

15.A16.5.1

17.(1)证明在△45。中，由正弦定理，得5。中=如

又炉=*,所以血)6=死即BD=b.

(2)解因为/£>=2OC,所以AD'2bQC'b1.

在MBD中，由余弦定理，得

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