2025年高考数学一轮复习：集合2（附答案解析）

集合-一轮复习考点专练

核心考点3集合间的运算

角度1集合的交并补及其混合运算

1.已知全集［/=11,集合4=［苫€2|y|40：乃={皿082"+2》2},则AIgB=（）

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2）

2.设U为全集，集合A,B,C满足条件4。3=4。。，那么下列各式中不一定成立的是（）

A.BAB.CcA

C.A（^©）=A（〃c）D.（枷）c3=（d）cC

3.S］=［，必<2>,52=|qlogagvzjsSj=<a<g,'求（gcS?）S3

角度2容斥原理及其应用

4.已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有

22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都

没有参加的人数为（）

A.25B.23C.21D.19

5.2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短

视频，传扬中国伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党

伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观

看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》

和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青

春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短

视频的人数为.

6.已知集合A和集合8各含有12个元素，Ac3含有4个元素，试求同时满足下面两个条

件的集合C的个数：

i.C=（Au3）且C中含有3个元素，

ii.CIAw0（0表示空集）.

角度3根据运算结果求参数的值或范围

7.当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合

有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合成“偏食”.对于集合A=，2,0,g,l1,

B={x|(<u-l)(x+a)=0},若A与2构成“全食”或“偏食”，则实数。的取值可以是()

A.-2B.--C.0D.1

2

8.已知集合A={y|/-(/+a+l)y+a(q2+1)>0},8={y|y=gx?-x+g,0VxV3}.若

Ac3=0,求实数a的取值范围.

9.9知函数〃元)="&(尤-2)的定义域为集合A,函数g(尤)=口(-24无训的值域为

集合3.

⑴求AcB；

(2)若集合。={%卜4*424-1},且CB=B,求实数a的取值范围.

角度4韦恩图及其应用

10.已知集合A={x|04xO3},8=耳{尤2-2»0},则图中的阴影部分表示的集合为()

A.{x|x<0或2cx<3}B.{x|xW2或x〉3}

C.[x\2<x<3]D.[x\2<x<3]

11.图中阴影部分用集合符号可以表示为()

A.Bn(AuC)B.C/c(AuC)

C.8cC°(AuC)D.(AnB)u(BnC)

12.已知集合。={1,2,3,〃eN*,〃Z2),对于集合U的两个非空子集4,8,若AcB=0

试卷第2页，共4页

则称（AB）为集合U的一组“互斥子集”.记集合U的所有“互斥子集”的组数为了（"）（当且仅

当A=B时，（A3）与（6A）为同一组“互斥子集”），则〃4）=,/（«）=.

核心考点4集合中的新定义问题

角度1集合中与运算有关的新定义问题

13.定义集合运算=若4={0,1,2},3={3,4,5},则集合

的子集个数为（）

A.14B.0C.31D.32

14.群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的研究方法也对抽象

代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识

证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，”

是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：

①对所有的。、beG,有a-beG；

②Va、b、c&G,有（a力）七=比（力。）；

③丸eG,使得VaeG,有e-a=a-e=a,e称为单位元；

@VaeG,Bb&G,^_a-b=b-a=e,称a与6互为逆元.

则称G关于“•”构成一个群.则下列说法正确的有（）

A.G={T,1}关于数的乘法构成群

B.自然数集N关于数的加法构成群

C.实数集R关于数的乘法构成群

D.3=k+1邓,6回关于数的加法构成群

15.已知正整数对集合{1,2,3,…，科及其每一个非空子集X,记丫=

其中%…>4,定义一个运算“交替和=%-々+*3…+（-1）川4•例如：对于集合

X={9,6,4,2,1},%=9-6+4-2+1=6.则当〃=7时，集合{1,2,3,…，科的所有子集的“交替

和''的总和为.

角度2集合中与数列有关的新定义问题.

16.己知数集4={4，。2<4,"之2）具有性质产：对任意的

U(1<i</)，4%与肃两数中至少有一个属于A.

⑴分别判断数集｛1,3,4｝与｛1,2,3,6｝是否具有性质p,并说明理由；

(2)证明：q=1且对任意l<zW〃(ieN)，4都是％的因数；

(3)当〃=5时，若。?=2,求集合A.

，

17.己知数列｛%｝,记集合T=｛s(i")|s(i")=q+/++aJ,l<i<j,jeN｝.

(1)对于数列｛4｝：1,2,3,4,写出集合T；

⑵若4=2",是否存在i,jeN*,使得S(i,/)=1024?若存在,求出一组符合条件的i,力

若不存在，说明理由；

⑶若氏=2〃-2,把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为B：b\,b]，…若

4V2024,求机的最大值.

角度3集合中与排列组合有关的新定义问题.

18.已知非空集合S=N,若对任意x,yeS可以相同)，x+y与|x-y|中至少有一个

属于集合S,则称s为“好集合”.

(1)写出所有的元素均小于3的“好集合”；(写出结论即可)

(2)求出所有元素个数为4的“好集合”，并说明理由.

19.设集合”=｛-1,0]｝,集合4,x„\xieM,i=l,2,...,n],集合4中满足条件

“IV国+闯++闻<加”的元素个数记为S〉

(1)求S；和S；的值；

⑵当“<"时,求证：S：<3"+2m+1-2"+1.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.C

【分析】解分式不等式求解集合4解对数函数不等式得集合3,然后利用补集运算和交集

运算求解即可.

【详解】由二V0得卜二"及+1）40,解得_[<xw3.又xeZ,所以A={0,l,2,3}.

x+1x+lwO

ilog2(x+2)>2=log24,得了>2,所以5={%|x>2},所以令吕二例xW2},

所以Ac6B={0,l,2}.

故选：C.

2.ABC

【分析】结合举例及集合的运算和集合的关系求解即可.

【详解】当。={1,2,3},A={1},3={2,3},C={1,2,3}时，满足Au3=AuC,

此时，B,C不是A的子集，所以A、B不一定成立；

翻={1},0C=0,A（稠）={1},A（簿）=0,所以C不一定成立；

对于D,若VXG&A）B,贝iJxgA,11%eB,因为Au3=AuC,

所以xeC,于是xe&A）C,所以（瘵4）1840A）C,

同理若C,则B,（标）CC（£/A）B,

因此，（枷）成立，所以D成立.

故选：ABC.

3.（S]CS?）S3=（0,+oo）

【分析】根据指数函数，对数函数的单调性化简集合，即可由集合的运算求解.

【详解】由振<2na<8,;.S]={@<8},

由logag<2,.1a>l或0<°<乎，故邑=（o,^-ju（l,+co）,

|>log1^^>a>log2,故邑={a[a>log32},

由I十嗔I3

答案第1页，共11页

因此5「邑=[0，¥卜(1,8),

3

由于23<32<3而，所以logs2<log33雷n310g32(新nlog32</<1

故(HcS?)$3=(0,内)

4.C

【分析】根据card(AuB)=card(A)+card(B)-card(Ac8)进行求解.

【详解】设高三(1)班有51名学生组成的集合为U,参加田赛项目的学生组成的集合为4

参加径赛项目的学生组成的集合为B,

由题意集合A有17个元素，3有22个元素，AcB中有9个元素，

其中card(AuB)=card(A)+card(B)-card(Ac3),

所以有17+22-9=30个元素.

所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为51-30=21.

故选：C.

5.3

【分析】把大学社团50人形成的集合记为全集U,观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国

大典》三

支短视频的人形成的集合分别记为4B,C,作出韦恩图，数形结合计算即得.

【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U,观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国

大典》三

支短视频的人形成的集合分别记为A,B,C,依题意，作出韦恩图，如图，

观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有21-4-6-3=8

(人)，

因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有23-4-7-3=9(人)，

因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有26-6-7-3=10(人)，

答案第2页，共11页

因止匕，至少看了一支短视频的有3+4+6+7+8+9+10=47(人)，

所以没有观看任何一支短视频的人数为50-47=3.

故答案为：3

6.1084.

【分析】先判断出AuB中含有12+12-4=20个元素，利用组合的定义直接求解.

【详解】因为集合A和集合8各含有12个元素，AcB含有4个元素，

所以AuB中含有12+12-4=20个元素.

因此满足C=(Au3)且C中含有3个元素，有&=:；J=1140.

所以满足Cu(AuB)且C中含有3个元素的集合C有1140个；

因为满足CIA=0的集合C有C；=三留=56个，

3x2x1

所以i、ii的集合C有U40-56=1084个.

7.BCD

【分析】考虑。=0时，B={0},时，B=依次将各个选项中的数据带入，

计算集合8,再判断A和3之间的关系得到答案.

【详解】当〃=0时，B={xl(ox-l)(x+«)=0}={0},

当〃wO时，5二卜|("—l)(x+q)=0},

对选项A：若〃=—2,B=12,--1,止匕时ACJB=0,不满足；

对选项B：若〃=一［，3=止匕时5=A,满足；

对选项C：若a=0,B={0},止匕时满足；

对选项D：若°=1,B=此时AB={l}w0,满足；

故选：BCD.

8.a<-y/3A/3<a<2.

【分析】解含参数的一元二次不等式化简集合A,求出二次函数在指定区间上的值域化简集

合S再由交集的结果列出不等式组求解即得.

【详解】显然Y+i>。，则A={y|y<a或y>/+i},

答案第3页，共11页

又V=:%2一%+!•=；（%—1）?+2,0<X<3,则当％=1时，ymin=2,当X=3时，Vmax=4,

\a<2厂厂

因此t岭y|2W”4},而Ac3=0,于是〃+]“，解得“4-若或指Wad

所以实数。的取值范围是aW-右或若VaV2.

9.(l)AnB=[3,4]

⑵『，|

【分析】(1)分别求出A,8并计算AcB即可.

(2)分类讨论整合出。的取值集合即可.

【详解】(1)要使函数〃尤)=加吗(彳-2)有意义,

则x—溢2>02”。解得转3,所以A=.[，+孙、

对于函数g(x)=9J(-2340),l<g(x)<4,所以B=[l,4],

所以AcB=[3,4].

(2)因为。B=B,CcB,

当2a—l<a时，即av1时，C=0,满足题意；

(a>l5

当2a—1*时，即〃21时，要使CqB,贝|,解得

[2(2-1<42

综上所述，实数。的取值范围是,“，।,

10.B

【分析】由韦恩图知图中的阴影部分表示的集合为GUB(AC3),再利用集合的基本运算求

解.

【详解】集合A={x|0WxW3},8={小2_2元)0}={小<0或%>2},

由韦恩图可知，图中的阴影部分表示的集合为GUKACB),

答案第4页，共11页

；•GDB（AnB）={x|x<2ngx>3}r7?={x|x<2ng,%>3）.

故选：B.

11.AD

【分析】在阴影部分区域内任取一个元素x,分析x与集合A、B、C的关系，利用集合的

运算关系，逐个分析各个选项，即可得出结论.

【详解】如图，在阴影部分区域内任取一个元素x,则xeAB或尤C,所以阴影部分

所表示的集合为（AC3）5BCC）,再根据集合的运算可知，阴影部分所表示的集合也可

表示为Bc（AuC）,

所以选项AD正确，选项CD不正确，

故选：AD.

12.503"-2,,+1+1

【分析】令C=d（Au3）,推出A8均为非空子集的种数为3"-22+1,从而得到

f（n）=3n-2n+1+l,并计算出〃4）的值.

【详解】令C=d（Au3）,如图，全集U被划分成ABC三个部分，

U中的任意一个元素只能在集合4氏C之一中,

有3种方法，

则这"个元素在集合A,B,C中，每个元素均有3种选择，故共有3"种选择方法,

其中A为空集的种数为2",8为空集的种数为2",

A8均为空集的种数为1种，

则A,8均为非空子集的种数为3"-2"-2"+1=3"-2向+1,

因当且仅当A=8时，（A3）与（民A）为同一组“互斥子集”，

答案第5页，共11页

而Ac3=0,满足Ac3=0的(A3)与(氏A)不是同一组“互斥子集”，

于是得集合U的所有“互斥子集”的组数为“")=3"-2"】+1,

其中"4)=3,-25+1=81-32+1=50.

故答案为：50,3"-2"+1+1

13.D

【分析】列举出满足条件的元素。，6并求出其和。+6,据互异性，即可得出新集合的元素

个数，进一步求出其子集个数.

【详解】因为A={0』,2},3={3,4,5},S.AOB={c\c=a+b,a^A,b^B},

所以AO3={3,4,5,6,7},

可知集合AO3中共有5个元素，

所以集合AOB的所有子集的个数为25=32.

故选：D.

14.AD

【分析】根据“•”运算的定义，结合集合中元素与集合的关系判断，对每个选项逐一判断即

要可.

【详解】对于A选项，对所有的bwG,有。力eG,且满足①乘法结合律；

(2)3e=lsG,使得VaeG,1a=a-\=a-

(3)VaeG,BaeG,有0“=<3"=1,故A正确；

对于B选项，①自然数满足加法结合律；

@3e=：0eN,使得VaeN,W0+a-a+0-a；

但是对于OeN,leN,不存在6eN,使l+b=b+l=O,故B错误；

对于C选项，对所有的。、b&R,有

①实数满足加法结合律；②me=leR,使得VaeR,有l-a=aJ=a；

但对于leR,OGR,不存在6eR,使>6=60=1,故C错误；

对于D选项，对所有的。、bwG,可设a=x+应y,b=s+\[2t,(无，,，5,feZ),

贝[|a+A=(x+s)++f)wG,

①G满足加法结合律，即V。、b、ceG,有(a+b)+c=a+S+c)；

答案第6页，共11页

②矢=06G,使得Va^G,有e+a=〃+e=。；

(3)\faGG,设a=%+0y,%,ycZ,3Z?=-x-J2yeG,使a+b=b+a=e,故D正确.

故选：AD.

15.448

【分析】集合｛1,2,3,4,5,6,7｝的任意一个不含7的集合A与集合A⑺的“交替和”之和应为

7,则由对应思想两两结组求和可得.

【详解】由题意知，集合｛7｝的“交替和”为7.

集合｛1,2,3,4,5,6,7｝的所有27个子集中，除去集合｛7｝外，还有2,一2个非空子集.

这27-2个非空子集中不含元素7的集合，即｛1,2,3,4,5,6｝的非空子集，共有26T个，

6

设为4(i=l,2,,2-1);

则这27-2个非空子集中含元素7的集合，也共有26-1个，

这样的集合都可以看成相应地在每个不含7的集合中再加上元素7得到，即A｛7｝.

对A(i=l,2,、26-1)中的任意集合A,记4=｛药,

则“交替和"SA=%一/+W…+(T)i4，其中占>々>…>4，

由7>玉>%>•••>4,则集合AJ｛7｝的“交替和”为

7-［尤1一工2+尤3.一+(一1?”々］，

则集合A与集合A｛7｝的“交替和”之和为7,

下面举例说明：

如集合｛6,5,4,3,2,1｝与集合｛7,6,5,4,3,2,1｝,

｛6,5,4,321｝的“交替和”为6—5+4-3+2-1=3,

｛7,6,5,4,3,2,1｝的“交替和”为

7-6+5-4+3-2+1=7-(6-5+4-3+2-1)=7-3,

即集合｛6,5,4,3,2,1｝与集合｛7,6,5,4,3,2,1｝的“交替和，，之和为7.

综上，把这27-2个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，

答案第7页，共11页

且每组中“交替和，，之和都为7,共有26-1组.

故集合｛1,2,3,4,5,6,7｝所有“交替和”之和，由各组之和再加集合｛7｝的“交替和”7即可，

综上所述，当”=7时，集合｛1,2,3,…㈤的所有子集的所有“交替和”之和为

7X(26-1)+7=448.

故答案为：448.

【点睛】

“对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.

对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见.

16.(1)｛1,3,4｝不具有性质性｛1,2,3,6｝具有性质P,理由见解析

(2)证明见解析

(3)(1,2,4,8,16｝

【分析】(1)由定义直接判断即可；

2

(2)由定义可知，an-aniA,-=1eA,再验证」■=I,--=%，即可证明；

%an%a2

(3)由定义推导出a=幺=&=&=2,可得集合A.

^^4^^3^^2

【详解】(1)(1)由于3x4和:均不属于数集｛1,3,4｝,所以，数集｛1,3,4｝不具有性质P.

由于1x2,1x3,1义6,2x3,*都属于数集｛123,6｝,所以数集｛1,2,3,6｝具有性质尸;

231236

(2)由故则”即q=l,

an

i>l时，at-an>an,则a,qeA,故，eA,

—<—<L；则有"=1,2=2，

1“2

所以4=1且对任意14区小£N)0.都是%的因数；

(3)由(2)矢口，当〃=5时，/二%,上二。3,贝!J%，

&%

“44

由>。2〃4=。5，则。3〃4任4,所以丁封人,

由幺则幺=幺=2=2,得生=幺=殳="=2,

a3a3、a2a3a4a3a2ax

答案第8页，共11页

所以集合A={1,2,4,8,16}.

17.(l)r={3,5,6,7,9,10)；

(2)不存在，理由见解析

(3)1003

【分析】1)根据题意给出的集合T新定义，即可得出答案；

(2)使用假设法，假设存在i,JeN*,使得S(i,/)=1024,进行计算检验，从而得出结论;

(3)由%=2〃-2,根据题意给出的集合T新定义可对

(2/一2+2,；2)(『+1)=(/+,_2)(/一i+1)进行计算分析，讨论元素的奇偶情况，即可得出答案.

【详角星】(1)由题意得4+g=3,弓+%+%=1+2+3=6,4+/+/+%=1+2+3+4=10,

2+/=2+3=5,。，+/+。4=2+3+4=9,a3+a4=3+4=7,

■■-T={3,5,6,7,9,10}；

(2)假设存在i,jeN*,使得S(i,j)=1024,则有

1024=4+4+]++%-=2i+2(i+l)++2；=(j-z+l)(z+j),

由于，+/与J7奇偶性相同，

."+，与1/-，+1奇偶性不同,

又♦,i+J23,J-Z+U2,

，1。24有大于等于3的奇数因子，

这与1024无1以外的奇数因子矛盾，

故不存在i，jeN*,使得S&j)昌1024；

(3)由题意得(2—2+27；2)(『+1)=(/+2)(j_i+1),

当j=2,i=1时，4=2,

除/=2,，=1外j+"2N2,j-i+\>2,

其中j+i-2与/-i+1一奇一偶，则b„能拆成奇数与偶数之乘积，

在正偶数中，只有2"无法拆成一个大于2的奇数与一个不小于2的偶数之乘积，

k

又T中的元素均为偶数，故7={2〃|女W，n^2,左eN*},

答案第9页，共11页

故2至2024偶数中除去4,8,16,32,64,128,256,512,1024,

2024