2019-2020学年新教材高中数学第二章等式与不等式2.1等式2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系课后课时精练新人教B版必修第一册

PAGEPAGE12.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系A级：“四基”巩固训练一、选择题1．关于一元二次方程x2－2x－1＝0的根的情况，下列说法正确的是()A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根答案C解析因为方程的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8>0，所以方程有两个不相等的实数根．故选C.2．已知A＝{x|x2－x－12＝0}，B＝{x|x2－3x－28＝0}，则A∩B，A∪B分别为()A．{4}，{－3,4,7} B．{－4}，{－3，－4,7}C．∅，{－3,4,7} D．∅，{－3,4，－4,7}答案D解析因为A＝{x|(x＋3)(x－4)＝0}＝{－3,4}，B＝{x|x2－3x－28＝0}＝{x|(x＋4)(x－7)＝0}＝{－4，7}，所以A∩B＝∅，A∪B＝{－3,4，－4,7}．故选D.3．若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为()A．－1 B．1C．－2或2 D．－3或1答案A解析原一元二次方程可变为x2＋(a＋1)x＝0，若方程有两个相等的实数根，则有Δ＝(a＋1)2＝0，解得a＝－1.故选A.4．已知关于x的方程mx2－5x＋2＝0的解集为空集，则实数m的取值范围为()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(25,8))) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m>\f(25,8)))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<\f(25,8))))) D．∅答案B解析由已知方程的解集为空集，可知m≠0，方程为一元二次方程，Δ＝(－5)2－4×m×2＝25－8m<0，即m>eq\f(25,8).故选B.5．方程(x－1)2＝t－2(t为常数)的解集为()A．∅B．{1}C．{1－eq\r(t－2)，1＋eq\r(t－2)}D．∅或{1}或{1－eq\r(t－2)，1＋eq\r(t－2)}答案D解析当t－2<0时，即t<2时，方程的解集为∅，当t－2＝0时，即t＝2时，方程的解集为{1}，当t－2>0时，即t>2时，方程的解集为{1－eq\r(t－2)，1＋eq\r(t－2)}．综上方程的解集为∅或{1}或{1－eq\r(t－2)，1＋eq\r(t－2)}．故选D.二、填空题6．方程x＋2eq\r(x＋2)－3＝0的解集为________．答案{5－2eq\r(6)}解析设eq\r(x＋2)＝y，则y≥0，且原方程可变为y2＋2y－5＝0，因此可知y＝－1＋eq\r(6)或y＝－1－eq\r(6)(舍去)．从而eq\r(x＋2)＝－1＋eq\r(6)，即x＝5－2eq\r(6)，所以原方程的解集为{5－2eq\r(6)}．7．关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实根，则m的最大整数解是________．答案4解析因为关于x的一元二次方程有实数根，所以Δ＝22－4(m－5)×2＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，解得m≤eq\f(11,2)且m≠5，所以m的最大整数解为4.8．已知关于x的方程x2－3x＋m＋2＝0的两根异号，则实数m的取值范围为________．答案{m|m<－2}解析由方程x2－3x＋m＋2＝0的两根异号及方程两根的积与方程系数的关系可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝9－4m＋2>0，,m＋2<0，))解得m<－2，即{m|m<－2}．三、解答题9．求方程(x＋eq\r(2))2＋a－8＝0的解集．解原方程可变为(x＋eq\r(2))2＝8－a，当8－a>0，即a<8时，x＋eq\r(2)＝±eq\r(8－a)，解得x＝－eq\r(2)±eq\r(8－a)，当8－a＝0时，即a＝8时，x＋eq\r(2)＝0，解得x＝－eq\r(2)；当8－a<0，即a>8时，方程的解集为∅.综上，方程(x＋eq\r(2))2＋a－8＝0的解集为：a<8时，{－eq\r(2)＋eq\r(8－a)，－eq\r(2)－eq\r(8－a)}；a＝8时，{－eq\r(2)}；a>8时，∅.10．已知方程x2－3eq\r(3)x＋2＝0的两根为x1与x2，求下列各式的值：(1)xeq\o\al(3,1)x2＋x1xeq\o\al(3,2)；(2)eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2).解由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3eq\r(3)，x1x2＝2.(1)xeq\o\al(3,1)x2＋x1xeq\o\al(3,2)＝x1x2(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2))＝x1x2[(x1＋x2)2－2x1x2]＝2×[(3eq\r(3))2－2×2]＝2×23＝46.(2)eq\f(1,x1)－eq\f(1,x2)＝eq\f(x2－x1,x1x2)＝eq\f(±\r(x2－x12),x1x2)＝±eq\f(\r(x1＋x22－4x1x2),2)＝±eq\f(\r(19),2).B级：“四能”提升训练1．求关于x的方程eq\f(1,x)－eq\f(2,\r(x))＋a＝0的解集．解设eq\f(1,\r(x))＝y，则y>0，原方程可变为y2－2y＋a＝0，(y－1)2＝1－a，当1－a>0，即a<1时，y－1＝±eq\r(1－a)，y＝1±eq\r(1－a)；当1－a＝0，即a＝1时，y＝1；当1－a<0，即a>1时，方程y2－2y＋a＝0的解集为∅.所以当a≤0时，eq\f(1,\r(x))＝1＋eq\r(1－a)，即x＝eq\f(2－a－2\r(1－a),a2)，所求方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2－a－2\r(1－a),a2)))；当0<a<1时，eq\f(1,\r(x))＝1±eq\r(1－a)，即x＝eq\f(2－a±2\r(1－a),a2)，所求方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(2－a＋2\r(1－a),a2)，\f(2－a－2\r(1－a),a2)))；当a＝1时，eq\f(1,\r(x))＝1，即x＝1，所求方程的解集为{1}；a>1时，方程eq\f(1,x)－eq\f(2,\r(x))＋a＝0的解集为∅.2．已知关于x的方程x2－3mx＋2n＝0的两根为m与x1，求下列各式的值：(1)eq\f(1,n)(m2＋xeq\o\al(2,1))；(2)eq\f(m,x1)－1.解由一元二次方程根与系数的关系，得m＋x1＝3m，mx1＝2n由m为方程的根，得m2－3m2＋2n＝0，即m2＝(1)eq\f(1,n)(m2＋xeq\o\al(2,1))＝eq\f(1,n)[(m＋x1)2－2mx1]＝eq\f(1,n)[(3m)2－2×2n]＝eq\f(1,n)(9m2－4n)＝eq\f(1,n)×5n＝5.(2)eq\f(m,x1)－1＝eq\f(m,x1)－eq\f(m,m