2023年新人教版八年级数学上册知识点总结归纳

新人教版八年级上册数学知识点总结归纳

第十一章三角形1

第十二章全等三角形

第十三章轴对称

第十四章整式乘法和因式分解

第十五章分式

第十一章三角形

1、三角形日勺概念

由不在同意直线上口勺三条线段首尾顺次相接所构成日勺图形叫做三角形。构成三角形日勺线段叫

做三角形日勺边；相邻两边口勺公共端点叫做三角形口勺顶点；相邻两边所构成日勺角叫做三角形口勺内

角，简称三角形日勺角。

2、三角形中日勺重要线段

(1)三角形日勺一种角日勺平分线与这个角日勺对边相交，这个角口勺顶点和交点间日勺线段叫做三角

形口勺角平分线。

(2)在三角形中，连接一种顶点和它对边日勺中点日勺线段叫做三角形日勺中线。

(3)从三角形一种顶点向它日勺对边做垂线，顶点和垂足之间日勺线段叫做三角形口勺高线(简称

三角形日勺高)。

3、三角形日勺稳定性

三角形口勺形状是固定口勺，三角形口勺这个性质叫做三角形日勺稳定性。三角形日勺这个性质在生产

生活中应用很广，需要稳定日勺东西一般都制成三角形口勺形状。

4、三角形日勺特性与表达

三角形有下面三个特性:

(1)三角形有三条线段

(2)三条线段不在同一直线上-X三角形是封闭图形

(3)首尾顺次相接

三角形用符号“A”表达，顶点是A、B、CH勺三角形记作“AABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形日勺分类

三角形按边的关系分类如下：

不等边三角形

三角形底和腰不相等口勺等腰三角形f

等腰三角形<

等边三角形1

三角形按角的关系分类如下：

直角三角形(有一种角为直角口勺三角形)

三角形\锐角三角形(三个角都是锐角日勺三角形)

斜三角形Y

钝角三角3(有一种角为钝角口勺三角形)

把边和角联络在一起，我们又有一种特殊日勺三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等

日勺直角三角形。

6、三角形日勺三边关系定理及推论

(1)三角形三边关系定理：三角形日勺两边之和不小于第三边。

推论：三角形口勺两边之差不不小于第三边。

(2)三角形三边关系定理及推论日勺作用：

①判断三条已知线段能否构成三角形

②当已知两边时，可确定第三边日勺范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形日勺内角和定理及推论

三角形口勺内角和定理：三角形三个内角和等于180°o

推论：

①直角三角形口勺两个锐角互余。

②三角形口勺一种外角等于和它不相邻口勺来两个内角口勺和。

③三角形口勺一•种外角不小于任何一■种和它不相邻口勺内角。

注：在同一种三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。8、三角形日勺

面积=J_X底X高

2

多边形知识要点梳理

(定义：由三条或三条以上日勺线段首位顺次连接所构成日勺封闭图形叫做多边形。

凸多边形’

多边形分类1：<

/凹多边形I

正多边形：各边相等，各角也相等日勺多边形

分类2：J叫做正多边形。

非正多边形：

"1、n边形口勺内角和等于180°(n-2)。

多边形日勺定理2、任3凸形多边形口勺外角和等于360°o

3、n边形日勺对角线条数等于1/2•n(n-3)

只耳■一种正多边形：3、4、6/o

Y

镶嵌拼成360度日勺角

只用一种非正多边形(全等)：3、4O

知识点一：多边形及有关概念Gi

1、多边形日勺定义：在平面内，由某些线段首尾顺次相接构成日勺图形叫做多边形.

(D多边形口勺某些要素：

边：构成多边形口勺各条线段叫做多边形日勺边.

顶点：每相邻两条边日勺公共端点叫做多边形口勺顶点.

内角：多边形相邻两边构成日勺角叫多边形日勺内角，一种n边形有n个内角。

外角：多边形口勺边与它日勺邻边日勺延长线构成日勺角叫做多边形口勺外角。

(2)在定义中应注意：

①某些线段(多边形口勺边数是不小于等于3日勺正整数)；

②首尾顺次相连，两者缺一不可；

③理解时要尤其注意“在同一平面内”这个条件，其目日勺是为了排除几种点不共面口勺状

况，即空间多边形.

2、多边形日勺分类：

(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形口勺任何一条边所在日勺直线，假如整个多边

形都在这条直线日勺同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形(见图1).本章所讲日勺多边

形都是指凸多边形.

凸多边形凹多边形

图1

(2)多边形一般还以边数命名，多边形有〃条边就叫做〃边形.三角形、四边形都属于多边

形，其中三角形是边数至少日勺多边形.

知识点二：正多边形L*i

各个角都相等、各个边都相等日勺多边形叫做正多边形。如正三角形、正方形、正五边形等。

正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形

要点诠释：盘

各角相等、各边也相等是正多边形日勺必备条件，两者缺一不可.如四条边都相等日勺四边形不

一定是正方形，四个角都相等日勺四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相

等日勺四边形才是正方形

知识点三：多边形日勺对角线I*i

多边形口勺对角线：连接多边形不相邻日勺两个顶点日勺线段，叫做多边形口勺对角线.如图2,BD

为四边形ABCD日勺一条对角线。

要点诠释：忘

(1)从n边形一种顶点可以引(n—3)条对角线，将多边形提成(n—2)个三A

B图2C

角形。

n(n-3)

(2)n边形共有2条对角线。

证明：过一种顶点有n—3条对角线(n23日勺正整数)，又\•共有n个顶点，二・共有n(n-3)

1,>

——3)

条对角线，但过两个不相邻顶点日勺对角线反复了一次，.•.凸n边形，共有2条对角

线。

知识点四：多边形日勺内角和公式以1

1.公式：“边形口勺内角和为('一2),180(月之3).

2.公式口勺证明：

证法1：在〃边形内任取一点，并把这点与各个顶点连接起来，共构成“个三角形，这〃个

三角形日勺内角和为〃.180二再减去一种周角，即得到甩边形口勺内角和为

证法2：从边形一种顶点作对角线，可以作1〃一切条对角线，并且“边形被提成

一’)个三角形，这I“—6J个三角形内角和恰好是黑边形日勺内角和，等于

(^-2)1800

证法3：在耳边形口勺一边上取一点与各个顶点相连，得I”-L个三角形，用边形内角和等

于这-D个三角形口勺内角和减去所取日勺一点处日勺一种平角日勺度数,

即伽-1)180•—180°=(4-2)180.

要点诠释：因

(1)注意：以上各推导措施体现出将多边形问题转化为三角形问题来处理日勺基础思想。

(2)内角和定理日勺应用：

①已知多边形日勺边数，求其内角和；

②已知多边形内角和，求其边数。

知识点五：多边形口勺外角和公式最

1.公式：多边形日勺外角和等于360°.

2.多边形外角和公式日勺证明：多边形口勺每个内角和与它相邻口勺外角都是邻补角，因此甩边形

日勺内角和加外角和为小i&u,外角和等于'’.

注意：n边形日勺外角和恒等于360°,它与边数日勺多少无关。

要点诠释：盘

(1)外角和公式日勺应用：

①已知外角度数，求正多边形边数；

②已知正多边形边数，求外角度数.

(2)多边形口勺边数与内角和、外角和日勺关系：

①n边形口勺内角和等于(n—2)•180°(n23,n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，

每增长1条边，内角和增长180°o

②多边形口勺外角和等于360°,与边数日勺多少无关。

知识点六：镶嵌日勺概念和特性以1

1、定义：用某些不重叠摆放口勺多边形把平面日勺一部分完全覆盖，一般把此类问题叫做用多边

形覆盖平面(或平面镶嵌)。这里日勺多边形可以形状相似，也可以形状不相似。

2、实现镶嵌日勺条件：拼接在同一点日勺各个角口勺和恰好等于360°；相邻日勺多边形有公共边。

3、常见日勺某些正多边形口勺镶嵌问题:

(1)用正多边形实现镶嵌日勺条件：边长相等；顶点公用；在一种顶点处各正多边形日勺内角之和

为360°o

(2)只用一种正多边形镶嵌地面

对于给定日勺某种正多边形，怎样判断它能否拼成一种平面图形，且不留一点空隙？处理问

题日勺关键在于正多边形日勺内角特点。当围绕一点拼在一起日勺几种正多边形日勺内角加在一起恰好构

成一种周角360°时，就能铺成一种平面图形。

(力-2)180。

实际上，正n边形口勺每一种内角为题，规定k个正n边形各有一种内角拼于一

秘-2)180。2-4

点、,恰好覆盖地面，这样360°=n,由此导出卜==2+"-2,而k

是正整数，因此n只能取3,4,6o因而，用相似口勺正多边形地豉铺地面，只有正三角形、正方

形、正六边形口勺地砖可以用。

注意：任意四边形口勺内角和都等于360°因此用一批形状、大小完全相似但不规则口勺四边

形地砖也可以铺成无空隙日勺地板，用任意相似日勺

三角形也可以铺满地面。

(3)用两种或两种以上口勺正多边形镶嵌地

面

用两种或两种以上边长相等日勺正多边形

组合成平面图形，关键是有关正多边形“交接处

各角之和能否拼成一种周角”日勺问题。例如，用正三角形与正方形、正三角形与正六边形、正三

角形与正十二边形、正四边形与正八边形都可以作平面镶嵌，见下图：

又如，用一种正三角形、两个正方形、一种正六边形结合在一起恰好可以铺满地面，由于

它们日勺交接处各角之和恰好为一种周角360°o规律措施指导

1.内角和与边数成正比：边数增长，内角和增长；边数减少，内角和减少.每增长一条边，

内角日勺和就增长180°（反过来也成立），且多边形口勺内角和必须是180°日勺整数倍.

2.多边形外角和恒等于360°,与边数日勺多少无关.

3.多边形最多有三个内角为锐角，至少没有锐角（如矩形）；多边形日勺外角中最多有三个钝

角，至少没有钝角.

4.在运用多边形口勺内角和公式与外角口勺性质求值时，常与方程思想相结合，运用方程思想是

处理本节问题日勺常用措施.

5.在处理多边形口勺内角和问题时，一般转化为与三角形有关日勺角来处理.三角形是一种基本

图形，是研究复杂图形日勺基础，同步注意转化思想在数学中日勺应用.

经典例题透析

类型一：多边形内角和及外角和定理应用

Cl.一种多边形口勺内角和等于它口勺外角和口勺5倍，它是几边形？

总结升华：本题是多边形日勺内角和定理和外角和定理日勺综合运用.只要设出边数片,根

据条件列出有关“日勺方程，求出日勺值即可，这是一种常用日勺解题思绪.

举一反三：

【变式1】若一种多边形口勺内角和与外角和日勺总度数为1800°,求这个多边形日勺边数.

【变式2】一种多边形除了一种内角外，其他各内角和为2750°,求这个多边形日勺内角和是多

少？

【答案】设这个多边形口勺边数为“，这个内角为

【变式3】一种多边形口勺内角和与某一种外角日勺度数总和为1350°,求这个多边形口勺边数。

类型二：多边形对角线公式日勺运用

【变式1】一种多边形共有20条对角线，则多边形口勺边数是（）.

A.6B.7C.8D.9

【变式2】一种十二边形有几条对角线。

曲-3）

总结升华：对于一种n边形口勺对角线日勺条数，我们可以总结出规律2条，牢记这个公

式，后来只要用对应日勺n日勺值代入即可求出对角线口勺条数，要记住这个公式只有在理解日勺基础之

上才能记得牢。

类型三：可转化为多边形内角和问题

【变式1】如图所示，N1+N2+N3+N4+N5+N

6=

【变式2】如图所示，求NA+N

+NE+NF日勺度数。

D

类型四：实际应用题

C^4.如图，一辆小汽车从P市出发，先到B市，再至UC

市，再到A市，最终返回P市，这辆小汽车共转了多少度角？

思绪点拨：根据多边形口勺外角和定理处理.

举一反三:

【变式1】如图所示，小亮从A点出发前进10m,向右转15°,再前进10m,又向右转

15°,…，这样一■直走下去，当他第一•次回到出发点时，一■共走了m.

【变式2】小华从点A出发向前走10米，向右转36°,然后继续向前走10米，再向右

转36°,他以同样日勺措施继续走下去，他能回到点A吗？若能，当他走回点A时共走了多少米？

若不能，写出理由。

【变式3】如图所示是某厂生产日勺一块模板，已知该模板日勺边AB〃CF,CD〃AE.按规定

AB、CD日勺延长线相交成80°角，因交点不在模板上，不便测量.这时师傅告诉徒弟只需测一种

角，便懂得AB、CD日勺延长线日勺夹角与否合乎规定，你懂得

需测哪一种角吗？阐明理由.

思绪点拨：本题中将AB、CD延长后会得到一种五边

形，根据五边形内角和为540°,又由AB〃CF,CD〃AE,

可知NBAE+NAEF+NEFC=360°,从540°中减去80°再减

去360°,剩余NC日勺度数为100°,因此只需测NC日勺度数即可，同理还可直接测NA日勺度数.

总结升华：本题实际上是多边形内角和日勺逆运算，关键在于对口勺添加辅助线.

类型五：镶嵌问题

C5,分别画出用相似边长口勺下列正多边形组合铺满地面口勺设计图。

(1)正方形和正八边形；

⑵正三角形和正十二边形；⑶正三角

形、正方形和正六边形。4MtoOo

八(I)(2)<3)

思绪点拨：只要在拼接处各多边形

日勺内角日勺和能构成一种周角，那么这些多边形就能作平面镶嵌。

解析：正三角形、正方形、正六边形、正八边形、正十二边形日勺每一种内角分别是

60°、90°、120°、135°、150°。

(1)由于90+2X135=360,因此一种顶点处有1个正方形、2个正八边形，如图(1)

所示。

⑵由于60+2X150=360,因此一种顶点处有1个正三角形、2个正十二边形，如图

⑵所示。

(3)由于60+2X90+120=360,因此一种顶点处有1个正三角形、1个正六边形和2

个正方形，如图⑶所示。

总结升华：用两种以上边长相等日勺正多边形组合成平面图形，实质上是有关正多边形

“交接处各角之和能否拼成一种周角”日勺问题。举一反三：

【变式1】分别用形状、大小完全相似日勺①三角形木板；②四边形木板；③正五边形木

板；④正六边形木板作平面镶嵌，其中不能镶嵌成地板日勺是()A、①B、②

③D、④

解析：用同一种多边形木板铺地面，只有正三角形、四边形、正六边形口勺木板可以用，不

能用正五边形木板，故

【变式2】用三块正多边形日勺木板铺地，拼在一起并相交于一点日勺各边完全吻合，其中两

块木板日勺边数都是8,则第三块木板口勺边数应是（）

A、4B、5C、6D、8

【答案】A（提醒：先算出正八边形一种内角口勺度数，再乘以2,然后用360°减去

刚刚得到日勺积，便得到第三块木板一种内角日勺度数，进而得到第三块木板日勺边数）

练习

1.多边形口勺一种内角日勺外角与其他内角日勺和为600°,求这个多边形口勺边数.

2.n边形日勺内角和与外角和互比为13:2,求n.

3.五边形ABCDE日勺各内角都相等，且AE=DE,AD〃CB吗？

4.将五边形砍去一种角，得到日勺是怎样日勺图形？

5.四边形ABCD中，ZA+ZB=210°,ZC=4ZD.求：NC或ND口勺度数.

6.在四边形ABCD中，AB=AC=AD,ZDAC=2ZBAC.

求证：NDBC=2NBDC.

第十二章全等三角形

一A全等三角形

可以完全重叠口勺两个三角形叫做全等三角形。一种三角形通过平移、翻折、旋转可以得到它日勺全

等形。

2、全等三角形有哪些性质

（1）:全等三角形日勺对应边相等、对应角相等。

（2）：全等三角形日勺周长相等、面积相等。

（3）：全等三角形日勺对应边上口勺对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形口勺鉴定

边边边：三边对应相等口勺两个三角形全等（可简写成“SSS”）

边角边：两边和它们日勺夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）

角边角：两角和它们口勺夹边对应相等口勺两个三角形全等（可简写成“ASA”）

角角边：两角和其中一角日勺对边对应相等日勺两个三角形全等（可简写成“AAS”）

斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等日勺两个直角三角形全等（可简写成“HL”）

4、证明两个三角形全等日勺基本思绪：

二、角日勺平分线：

1、（性质）角口勺平分线上日勺点到角日勺两边日勺距离相等.

2、（鉴定）角日勺内部到角日勺两边日勺距离相等日勺点在角日勺平分线上。

三、学习全等三角形应注意如下几种问题：

(1):要对日勺辨别“对应边"与''对边”，“对应角”与“对角”日勺不一样含义；

(2)：表达两个三角形全等时，表达对应顶点日勺字母要写在对应日勺位置上；

(3)：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边日勺对角对应相等”日勺两个三角形不一定全

等；

(4)：时刻注意图形中日勺隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”

1、全等三角形口勺概念

可以完全重叠口勺两个图形叫做全等形。

可以完全重叠口勺两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重叠口勺顶点叫做对应

顶点，互相重叠日勺边叫做对应边，互相重叠日勺角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角日勺公共

边，夹角就是三角形中有公共端点日勺两边所成日勺角。

2、全等三角形口勺表达和性质

全等用符号“0”表达，读作“全等于"。如△ABCgZWEF,读作“三角形ABC全等于三角

形DEF”。

注：记两个全等三角形时，一般把表达对应顶点日勺字母写在对应口勺位置上。

3、三角形全等日勺鉴定

三角形全等日勺鉴定定理：

(1)边角边定理：有两边和它们口勺夹角对应相等日勺两个三角形全等(可简写成“边角边”或

“SAS”)

(2)角边角定理：有两角和它们口勺夹边对应相等口勺两个三角形全等(可简写成“角边角”或

“ASA”)

(3)边边边定理：有三边对应相等日勺两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”)o

直角三角形全等日勺鉴定:

对于特殊日勺直角三角形，鉴定它们全等时，尚有HL定理(斜边、直角边定理)：有斜边和一

条直角边对应相等口勺两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”)

4、全等变换

只变化图形口勺位置，二不变化其形状大小日勺图形变换叫做全等变换。

全等变换包括一下三种：

(1)平移变换：把图形沿某条直线平行移动日勺变换叫做平移变换。

(2)对称变换：将图形沿某直线翻折180°,这种变换叫做对称变换。

(3)旋转变换：将图形绕某点旋转一定日勺角度到另一种位置，这种变换叫做旋转变换。

第十二章轴对称

一、轴对称图形

1.把一种图形沿着一条直线折叠，假如直线两旁日勺部分可以完全重叠，那么这个图形就叫做轴对

称图形。这条直线就是它口勺对称轴。这时我们也说这个图形有关这条直线(成轴)对称。

2.把一种图形沿着某一条直线折叠，假如它能与另一种图形完全重叠，那么就说这两个图有关

这条直线对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重叠口勺点是对应点，叫做对称点

3、轴对称图形和轴对称日勺区别与联络

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

轴对称图形轴对称

图形A

BLACCB'

LBAC

⑴轴对称图形是指（一个，（1）轴对称是指（两个图形

区别具有特殊形状的图形，的位置关系，必须涉及

只对（一个）图形而言;（两个）图形；

（2）对称轴不一定只有一条（2）只有（一条）对称轴.

如果把轴对称图形沿对称轴如果把两个成轴对称的图形

联系分成两部分，那么这两个图形拼在一起看成一个整体，那

就关于这条直线成轴对称.么它就是一个轴对称图形.

4.轴对称日勺性质

①有关某直线对称日勺两个图形是全等形。

②假如两个图形有关某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段已勺垂直平分线。

③轴对称图形口勺对称轴，是任何一对对应点所连线段已勺垂直平分线。

④假如两个图形口勺对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形有关这条直线对称。

二、线段日勺垂直平分线

1.通过线段中点并且垂直于这条线段日勺直线，叫做这条线段日勺垂直平分线，也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上口勺点与这条线段口勺两个端点口勺距离相等

3.与一条线段两个端点距离相等日勺点，在线段日勺垂直平分线上

三、用坐标表达轴对称小结：

在平面直角坐标系中，有关x轴对称口勺点横坐标相等，纵坐标互为相反数.有关V轴对称日勺点横坐

标互为相反数，纵坐标相等.

点（x,y）有关x轴对称日勺点日勺坐标为.

点（x,y）有关jz轴对称日勺点日勺坐标为.

2.三角形三条边口勺垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点日勺距离相等

四、（等腰三角形）知识点回忆

1.等腰三角形口勺性质

①.等腰三角形日勺两个底角相等。（等边对等角）

②.等腰三角形日勺顶角平分线、底边上日勺中线、底边上日勺高互相重叠。（三线合一）

2、等腰三角形口勺鉴定：

假如一种三角形有两个角相等，那么这两个角所对口勺边也相等。（等角对等边）

五、（等边三角形）知识点回忆

1.等边三角形日勺性质：

等边三角形日勺三个角都相等，并且每一种角都等于600o

2、等边三角形日勺鉴定：

①三个角都相等日勺三角形是等边三角形。

②有一种角是600口勺等腰三角形是等边三角形。

3.在直角三角形中，假如一种锐角等于30°,那么它所对日勺直角边等于斜边口勺二分之一。

1、等腰三角形口勺性质

（1）等腰三角形日勺性质定理及推论：

定理：等腰三角形口勺两个底角相等（简称：等边对等角）

推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形日勺顶角平分线、底

边上口勺中线、底边上口勺高重叠。

推论2：等边三角形口勺各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形日勺其他性质:

①等腰直角三角形口勺两个底角相等且等于45°

②等腰三角形日勺底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

h

③等腰三角形口勺三边关系：设腰长为a,底边长为b,则

2

④等腰三角形日勺三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为NB、NC,贝|NA=180°—2ZB,N

180°-NA

B=ZC=

2

2、等腰三角形口勺鉴定

等腰三角形口勺鉴定定理及推论：

定理：假如一种三角形有两个角相等，那么这两个角所对口勺边也相等（简称：等角对等

边）。这个鉴定定理常用于证明同一种三角形中日勺边相等。

推论1:三个角都相等口勺三角形是等边三角形

推论2：有一种角是60°日勺等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，假如一种锐角等于30°,那么它所对口勺直角边等于斜边日勺二分之

等腰三角形口勺性质与鉴定

等腰三角形性质等腰三角形鉴定

中1、等腰三角形底边上日勺中线垂直底1、两边上中线相等口勺三角形是等

线边，平分顶角；腰三角形；

2、等腰三角形两腰上口勺中线相等，2、假如一•种三角形口勺一■边中线垂

并且它们口勺交点与底边两端点距直这条边（平分这个边口勺对

离相等。角），那么这个三角形是等腰

三角形

角1、等腰三角形顶角平分线垂直平分1、假如三角形口勺顶角平分线垂直

平底边；于这个角日勺对边（平分对

分2、等腰三角形两底角平分线相等，边），那么这个三角形是等腰

线并且它们日勺交点究竟边两端点日勺三角形；

距离相等。2、三角形中两个角口勺平分线相

等，那么这个三角形是等腰三

角形。

鬲1、等腰三角形底边上口勺高平分顶1、假如一•种三角形一■边上日勺高平

线角、平分底边；分这条边(平分这条边口勺对

2、等腰三角形两腰上口勺高相等，并角)，那么这个三角形是等腰

且它们日勺交点和底边两端点距离三角形；

相等。2、有两条高相等口勺三角形是等腰

三角形。

角等边对等角等角对等边

边底口勺二分之一〈腰长〈周长曰勺二分之一两边相等口勺三角形是等腰三角形

4、三角形中日勺中位线

连接三角形两边中点口勺线段叫做三角形口勺中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一种新日勺三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形口勺中位线平行于第三边，并且等于它口勺二分之一。

三角形中位线定理日勺作用：

位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段日勺倍分关系。

常用结论：任一种三角形均有三条中位线，由此有：

结论1:三条中位线构成一种三角形，其周长为原三角形周长日勺二分之一。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等日勺三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等口勺平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交口勺中位线互相平分。

结论5:三角形中任意两条中位线口勺夹角与这夹角所对日勺三角形日勺顶角相等。

第十四章整式乘除与因式分解

—.回忆知识点

1、重要知识回忆:

露日勺运算性质：

am«an=am+n（m、n为正整数）

同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

・■=a'n（m、n为正整数）

赛日勺乘方，底数不变，指数相乘.

（n为正整数）

积日勺乘方等于各因式乘方日勺积.

2=a"—"（aWO,m、n都是正整数，且［0>11）

同底数氟相除，底数不变，指数相减.

零指数露日勺概念：

a°=1（aWO）

任何一种不等于零日勺数日勺零指数露都等于I.

负指数露日勺概念：

1

a-p=ap（aWO,p是正整数）

任何一种不等于零日勺数日勺一p（p是正整数）指数幕，等于这个数日勺p指数露日勺倒数.

也可表达为:（mWO,nWO,p为正整数）

单项式日勺乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数露分别相乘，作为积日勺因式；对于只在一种单项式里具有日勺字母,

则连同它日勺指数作为积日勺一种因式.

单项式与多项式日勺乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式日勺每一项分别相乘，再把所得日勺积相加.

多项式与多项式口勺乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一种多项式日勺每一项与另一种多项式日勺每一项相乘，再把所得口勺积相

加.

单项式日勺除法法则：

单项式相除，把系数、同底数赛分别相除，作为商日勺因式：对于只在被除式里具有口勺字母，则连

同它日勺指数作为商日勺一种因式.

多项式除以单项式日勺法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式日勺每一项除以这个单项式，再把所得日勺商相加.

2、乘法公式：

①平方差公式：(a+b)(a—b)=a2—b2

文字语言论述：两个数日勺和与这两个数日勺差相乘，等于这两个数日勺平方差.

②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2

(a—b)2=a2—2ab+b2

文字语言论述：两个数日勺和(或差)日勺平方等于这两个数日勺平方和加上(或减去)这两个数

日勺积日勺2倍.

3、因式分解：

因式分解日勺定义.

把一种多项式化成几种整式日勺乘积日勺形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.

掌握其定义应注意如下几点：

(1)分解对象是多项式，分解成果必须是积口勺形式，且积日勺因式必须是整式，这三个要素缺

一不可；

(2)因式分解必须是恒等变形；

(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.

弄清因式分解与整式乘法日勺内在日勺关系.

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积日勺形式，而整式乘法是把积化为

和差日勺形式.

二、纯熟掌握因式分解日勺常用措施.

1、提公因式法

(1)掌握提公因式法日勺概念；

(2)提公因式法日勺关键是找出公因式，公因式日勺构成一般状况下有三部分：①系数一各项系

数日勺最大公约数；②字母——各项具有日勺相似字母；③指数——相似字母日勺最低次数；

(3)提公因式法日勺环节：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式.需注

意日勺是，提取完公因式后，另一种因式日勺项数与原多项式日勺项数一致，这一点可用来检查与否漏

项.

(4)注意点：①提取公因式后各因式应当是最简形式，即分解到“底”；②假如多项式口勺第

一项日勺系数是负日勺，一般要提出“一”号，使括号内日勺第一项日勺系数是正口勺.

2、公式法

运用公式法分解因式口勺实质是把整式中日勺乘法公式反过来使用；

常用日勺公式：

①平方差公式：a2—b2=(a+b)(a—b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2—2ab+b2=(a—b)2

3.十字相乘法

第十五章分式

知识点一■：分式日勺定义

A

一般地，假如A,B表达两个整数，并且B中具有字母，那么式子B叫做分式，A为分子，B为分

母。

知识点二：与分式有关日勺条件

①分式故意义：分母不为0（BwO）

②分式无意义：分母为0（B=0）

JA=O

③分式值为0：分子为0且分母不为0（〔'0°）

A>0JA<0

④分式值为正或不小于o：分子分母同号（1'>°或1'<°）

jA>0jA<0

⑤分式值为负或不不小于o：分子分母异号（〔'<°或〔'>°）

⑥分式值为1:分子分母值相等（A=B）

⑦分式值为7:分子分母值互为相反数（A+B=O）

知识点三：分式口勺基本性质

分式日勺分子和分母同乘（或除以）一种不等于0日勺整式，分式日勺值不变。

A_A»CA_A-C

字母表达：BB・CBB+C,其中A、B、c是整式，cWo。

拓展：分式日勺符号法则：分式日勺分子、分母与分式自身日勺符号，变化其中任何两个，分式日勺值不

变，即

A_-A_-A_A

B~-B~B~-B

注意：在应用分式口勺基本性质时，要注意CWO这个限制条件和隐含条件BWO。

知识点四：分式日勺约分

定义：根据分式口勺基本性质，把一种分式口勺分子与分母日勺公因式约去，叫做分式口勺约分。

环节：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母日勺公因。

注意：①分式日勺分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数日勺最大公约数，然后约

去分子分母相似因式日勺最低次暴。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点四：最简分式口勺定义

一种分式日勺分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式日勺通分

①分式日勺通分：根据分式口勺基本性质，把几种异分母日勺分式分别化成与本来日勺分式相等日勺同分母

分式，叫做分式口勺通分。

②分式日勺通分最重栗日勺环节是最简公分母确实定。

最简公分母口勺定义：取各分母所有因式日勺最高次幕日勺积作公分母，这样日勺公分母叫做最简公分

母。

确定最简公分母日勺一般环节：

I取各分母系数日勺最小公倍数；

II单独出现日勺字母（或具有字母日勺式子）日勺幕日勺因式连同它日勺指数作为一种因式；

III相似字母（或具有字母日勺式子）日勺露日勺因式取指数最大日勺。

IV保证凡出现日勺字母（或具有字母日勺式子）为底日勺露日勺因式都要取。

注意：分式日勺分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六分式日勺四则运算与分式日勺乘方

①分式日勺乘除法法则：

分式乘分式，用分子日勺积作为积口勺分子，分母日勺积作为积日勺分母。式子表达为:

ac_a*c

b*d-bTd

分式除以分式：把除式曰勺分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表达为

acada®d

—；—=——>—=----

bdbcb•c

②分式日勺乘方：把分子、分母分别乘方。式子

③分式日勺加减法则：

同分母分式加减法：分母不变，把