三角函数概念与诱导公式（九大题型）（讲义）（原卷版）-2025高考数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

第01讲三角函数概念与诱导公式

目录

01考情透视•目标导航............................................................2

02知识导图•思维引航............................................................3

03考点突破•题型探究............................................................4

知识点1：三角函数基本概念.....................................................4

知识点2：同角三角函数基本关系.................................................5

知识点3：三角函数诱导公式.....................................................6

解题方法总结...................................................................6

题型一：终边相同的角的集合的表示与区别.........................................6

题型二：等分角的象限问题.......................................................8

题型三：弧长与扇形面积公式的计算...............................................8

题型四：割圆术问题.............................................................10

题型五：三角函数的定义.........................................................11

题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值........................................12

题型七：弦切互化求值...........................................................13

题型八：诱导求值与变形........................................................14

题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用............................15

04真题练习•命题洞见...........................................................17

05课本典例高考素材...........................................................18

06易错分析答题模板...........................................................19

易错点：不能理解三角函数的定义................................................19

1/19

考点要求考题统计考情分析

高考对此也经常以不同的方式进行考

（1）三角函数基本概念

2023年甲卷第14题，5分查，将三角函数的定义、同角三角函数关

（2）任意角的三角函数

2022年浙江卷第13题，5分系式和诱导公式综合起来考查，且考查得

（3）同角三角函数的基本关

2021年甲卷第8题，5分较为灵活，需要深人理解概念、熟练运用

系

公式.

复习目标：

（1）了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.

（2）理解同角三角函数的基本关系式side+COS?,包吧=tana.

cosa

（3）掌握诱导公式，并会简单应用.

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㈤2

〃皿SM图•患嶂黑麻…

/'象限角：使角的顶点与原点量合，角的始边

/与X轴的非负半轴重合，那么，角的终边在

T第几象限，就说这个角是第几象限角；如果

\角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于浮动主题:

'、任何一个象限.

/第,象限角：(al"ir<a<2A-”+^#eZ})

象

限一)第二象限角：WXK+等a<2AF+M*WZ}］

®

£

集一［第三象限fh(al2tTr+*<a<2AF+争.*W讨

合

第四象限角：(E2AF+要<a<2*ir+2P4•函］

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老占空砧-瓢型熔宙、

知识点1:三角函数基本概念

1、角的概念

(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图

形；

②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角.

(2)所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是$={尸|尸=*36(r+a"€z}.

(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限,

就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

(4)象限角的集合表示方法：

第一象限角：［a\2k7r<a<2kTr+^-,kEZ)

/象

^

[限第二象限角：+

-角

的

m集第三象限角：{al2房+TT<a<2"+要,AGZ}

\合

第四象限角：{al2Lb+算<a<24F+2TTMeZ}

2、弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度.正角

的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

(2)角度制和弧度制的互化：180。=万rad,1°=—rad,lrad=幽.

1807i

(3)扇形的弧长公式：/=„,扇形的面积公式：S=^lr=^\a\-r2.

3、任意角的三角函数

(1)定义：任意角a的终边与单位圆交于点尸(x,»)时，贝Usina=y,cosa=x,tana=—(x0).

X

(2)推广：三角函数坐标法定义中，若取点y)是角a终边上异于顶点的任一点，设点尸到原

4/19

点O的距离为，，贝!Jsina=2,cosa=—,tana=—（x0）

rrx

三角函数的性质如下表：

第一象第二象限第三象第四象

三角函数定义域

限符号符号限符号限符号

sinaR++一一

coscrR+一一+

71

tana{aawATT+万，左£Z}+—+—

记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦.

4,三角函数线

如下图，设角a的终边与单位圆交于点P,过P作PMlx轴，垂足为过N（1,0）作单位圆的切线

与a的终边或终边的反向延长线相交于点T.

【诊断自测】在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于］的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限的

角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角.其中假命题的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

知识点2：同角三角函数基本关系

1、同角三角函数的基本关系

（1）平方关系：sin2a+cos2a=l.

（2）商数关系：9rla=tane（a为工+k兀）；

cosa2

【诊断自测】（2024・四川成都・模拟预测）在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与无轴的非

负半轴重合，终边经过点网3,4）,则sina+2cosj（）

cosa-sina

A.11B.-10C.10D.-11

5/19

知识点3：三角函数诱导公式

公式--二三四五六

7171

角2左〃+a(左eZ)7i+a-an-a-----a----FCt

22

正弦sina-sina-sinasinacosacosa

余弦cos。-cosacosa-cosasina-sina

正切tan(7tana一tana一tana

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限，说明：（1）先将诱导三角函数式中的角统-写作若±。;

（2）无论有多大，一律视为锐角，判断"•工土c所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；（3）

2

当"为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当〃为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可.

【诊断自测】（2024•河南信阳•模拟预测）若疝t+或=!，则cos[a+=]=（）

解题方法总结

1、利用sin?a+cos2a=1可以实现角。的正弦、余弦的互化，利用包吧=tanc可以实现角a的弦切

cosa

互化.

2、“sina+cosa,sinacosa,sina-cosa”方程思想知一求二.

(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a

(sina-cosa)1=sin2a+cos2a—2sinacosa=1—sin2a

(sina+cosa)2+(sina-cosaf=2

题型一：终边相同的角的集合的表示与区别

【典例1-1]集合4=物&=-2024。+上180。,让2｝中的最大负角1为（）v

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A.-2024°B.-224°C.-44°D.-24°

【典例1-2】（2024•湖北•模拟预测）若角a的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线

y=Cx上,则角a的取值集合是（）

A.=2fat+ezjB.|a|a=2,lat+^,kezj

C.1a|a=kji+^-,ke7^D.ja|a=kn+^,ke7^

【方法技巧】

（1）终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方法解决.

（2）注意正角、第一象限角和锐角的联系与区别，正角可以是任一象限角，也可以是坐标轴角；锐

角是正角，也是第一象限角，第一象限角不包含坐标轴角.

【变式1-1］如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角夕的集合是（）

-4-20^x246%

A.\^-+2kit<a<（2k+\）n,keB.^+kn<aW（左+1）兀，kEZI

C.--^+2kn<a<（2k-l）n,keZ|D.一：+2也<a<2kn,keZj

【变式1-2】用弧度制分别表示每个图中顶点在原点、始边重合于'轴的非负半轴、终边落在阴影部分内

（包括边界）的角的集合.

图1图2图3

【变式1-3】已知角a的集合为"={同&=30。+人90。水€2},回答下列问题:

（1）集合"中有几类终边不相同的角？

（2）集合M中大于一360。且小于360。的角是哪几个？

7/19

（3）求集合M中的第二象限角P.

题型二：等分角的象限问题

【典例2-1】已知a是第二象限角，则（）

.a_

A.评第一象限角B.sin—>0

2

C.sin2a<0D.2a是第三或第四象限角

2k冗7T

【典例2-2】（2024•高三•湖北黄冈•期中）若角a满足a=W+J（keZ）,则a的终边一定在（

)

36

A.第一象限或第二象限或第三象限

B.第一象限或第二象限或第四象限

C.第一象限或第二象限或x轴非正半轴上

D.第一象限或第二象限或y轴非正半轴上

【方法技巧】

先从戊的范围出发，利用不等式性质，具体有：（1）双向等差数列法；（2）区的象限分布图示.

n

zy

【变式2-1】已知sina>0,cosa<0,则§的终边在（）

A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限

C.第一、三、四象限D.第一、二、四象限

【变式2-2】若角a是第二象限角，则角2a的终边不可能在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D.第一、四象限

（

【变式2-3］（2024•全国•模拟预测）已知角。第二象限角，且cosC,f=coys,,则角n三是（）

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

题型三：弧长与扇形面积公式的计算

【典例3-1】（2024•内蒙古呼和浩特•一模）用一个圆心角为120。，面积为3%的扇形。血W（O为圆心）用

8/19

成一个圆锥(点恰好重合)，该圆锥顶点为P,底面圆的直径为则cos//尸8的值为

【典例3-2】若扇形的周长为18,则扇形面积取得最大值时，扇形圆心角的弧度数是—.

【方法技巧】

应用弧度制解决问题的方法

(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.

(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.

(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

【变式3-1]已知扇形的周长为20cm,则当扇形的圆心角。=一扇形面积最大.

【变式3-2](2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)下图是第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”，可将其视为一扇环

ABCD.已知病=2兀，40=3.且该扇环48CD的面积为9兀，若将该扇环作为侧面围成一圆台，则该圆

台的体积为—.

赛

19thAsianGames

Hangzhou202246

【变式3-3](2024•广东•二模)如图，在平面直角坐标系中放置着一个边长为1的等边三角形P/8,

且满足P8与x轴平行，点A在x轴上.现将三角形尸/B沿x轴在平面直角坐标系xQv内滚动，设顶点

尸(x,y)的轨迹方程是y=/(x),则/(x)的最小正周期为_；y=/(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴

所围区域的面积为一.

V

OAx

【变式3-4】建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，枝雕是我

国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖

雕，可视为扇形。CA截去同心扇形所得部分，已知/D=lm，弧=弧CO=竽m,则此扇

环形砖雕的面积为—m2.

9/19

题型四：割圆术问题

【典例4-1】（2024・贵州铜仁•模拟预测）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周

355

率允约等于诟，和兀相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知兀的近似值

7iV16-兀2

还可以表示成4sm52。，则二4……。一3的值约为（

cos43.5°+sin43.5°一一

4

A.-32C.32

【典例4・2】我国魏晋时期的数学家刘徽创造性的提出了“割圆术”，刘徽认为圆的内接正〃边形随着边数〃

的无限增大，圆的内接正〃边形的周长就无限接近圆的周长，并由此求得圆周率兀的近似值.如图当〃=6

时，圆内接正六边形的周长为6.，故兀即/。3.运用“割圆术”的思想，下列估算正确的是（）

A.〃=12时，n12sinl50B.〃=12时，兀f»6sinl5°

C.〃=12时，71212cos15°D.〃=12时，兀B24COS15°

【方法技巧】

割圆术是魏晋时期数学家刘徽首创的方法，用于计算圆周率。其核心思想是通过不断倍增圆内接正多

边形的边数，使正多边形的周长无限接近圆的周长，进而求得较为精确的圆周率。这一方法体现了极限思

想，为中国古代数学发展做出了重要贡献。具体操作为：从圆内接正六边形开始，逐步分割成正十二边形、

正二十四边形等，直至边数无法再增，此时正多边形的周长即接近圆周率与直径的乘积。

【变式4-1］（2024・四川成都・模拟预测）我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细,

所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”.刘徽从圆内接正六边形逐次分割，一直

分割到圆内接正3072边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正"边形与圆内接正

2〃边形分别计算出的圆周率的比值为（）

【变式4-2】在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥

少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以

视为将一个圆内接正力边形等分成〃个等腰三角形（如图所示），当"越大，等腰三角形的面积之和越近似

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等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin5。的近似值为(

题型五：三角函数的定义

【典例5-1】(2024•江西・二模)已知角7的终边经过点M(后,1),贝l]cosa=(

C.V2

【典例5-2](2024•北京房山•一模)已知角a的终边经过点(3,4),把角a的终边绕原点。逆时针旋转T得

到角，的终边，贝！|sin"=()

4433

A.——B.-C.--D.-

5555

【方法技巧】

(1)利用三角函数的定义，已知角a终边上一点P的坐标可求a的三角函数值；已知角a的三角函数值,

也可以求出角a终边的位置.

(2)判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符

号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.

【变式5-1](2024•北京通州•二模)在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非

4_3

负半轴重合，终边与单位圆交于点尸,贝|cos（7i：_2a）=

5，-5

9

25

【变式5-2】已知角1的终边经过点尸(l,2sina),贝ijsine的值不可能是(

【变式5-3]如图所示，在平面直角坐标系中，动点尸、。从点4(1,0)出发在单位圆上运动，点P按

TT117?

逆时针方向每秒钟转或弧度，点。按顺时针方向每秒钟转H弧度，则尸、。两点在第1804次相遇时，点

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P的坐标是（）

【变式5-4］（2024•山东济南•二模）质点尸和。在以坐标原点。为圆心，半径为1的圆。上逆时针作匀速

圆周运动，同时出发.P的角速度大小为2rad/s,起点为圆。与x轴正半轴的交点；。的角速度大小为

5rad/s,起点为圆。与射线＞=-百x（x20）的交点.则当。与P第2024次重合时，尸的坐标为（）

2兀.2兀1（5兀.5兀、（兀.兀、（71.71

A.cos——,sm——B.-cos一,-sin-C.cos—,-sm—D.-cos—,sm—

99）I99）（99）I99

题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值

【典例6-1】（2024•北京海淀•一模）在平面直角坐标系中，角a以。x为始边，终边在第三象限.则

（）

A.sina-cosa<tanaB.sina-cosa>tana

C.sina-cosa<tanaD.sina-cosa>tana

【典例6-2］若。是第二象限角,则（）

a八

A.cos（-cr）>0B.tan—>0

2

C.sin（兀+a）〉0D.cos（兀-a）<0

【方法技巧】

正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；.

余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；.

正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负.

【变式6-1】已知sin6•tan"0,且cosGsin。＜0,则一为（）

2

12/19

A.第一或二象限角B.第二或三象限角C.第一或三象限角D.第二或四

象限角

.aa…a

sin—2cos—3tan—

【变式6-21（多选题）若角。的终边在第三象限，则］~%+—看----看的值可能为（）

.CvCXCv

sin—cos—tan—

|2|22

A.0B.2C.4D.-4

【变式6-3］（2024・高三•海南•期末）已知a,£都是第二象限角，贝!|"sin（a-A）<O^"tana<taW^（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不

必要条件

题型七：弦切互化求值

【典例7-1】（2024•高三•福建泉州•期末）已知ee（0,7r）,sine=cos。，贝!!sin6cose=（）

A.-V2“B——2C—2D.V2

【典例7-2】已知sina+cosa=3cosatana,贝!Jcos?atana=()

3322

A.--B.-C.—D.-

5555

【方法技巧】

（1）若已知角的象限条件，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函

数值.

（2）若无象限条件，一般“弦化切”.

【变式7-1］若tan6=2,则sine（cos。-sin。）=.

sin6-2cosesin*+cos。

【变式7-2］（2024•浙江杭州•模拟预测）已知=2,则

sin。+cos。2sin0+cos30

【变式7-3］已知tana=2,则网3sina

4cosa-sina

【变式7-4］（多选题）已知sina-cosa=二，0<a<7i,则下列选项中正确的有（）

5

.2,375

A.sina-cosa=—BD.sma+cosa=-----

55

15J5

C.tana+=D.sina-——

tana35

【变式7-5］（多选题）已知戊£（0,兀），sina+cosa=孚，则下列结论中正确的是（）

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A.sin2a=-』B.„=①

55

C.cos2a=3

D.tana=-3

5

题型八：诱导求值与变形

【典例8-1】已知cos[a+D=1,贝ijsin[a+t)=()

433

A.B.

555

【典例8-2】(2024•浙江•模拟预测)已知sin

2V22V2I

A.c.D.

~T~~T~33

【方法技巧】

(1)诱导公式用于角的变换，凡遇到与工整数倍角的和差问题可用诱导公式，用诱导公式可以把任

2

意角的三角函数化成锐角三角函数.

(2)通过±2肛±肛士工等诱导变形把所给三角函数化成所需三角函数.

2

TT

(3)夕±/=±2肛±匹士1•等可利用诱导公式把％万的三角函数化

【变式8-1](2024・高三・广东深圳•期中)已知sin[a+g)=：,则cos(a-弓]=()

43-43

A.——B.--C.一D.

5555

【变式8-2]若sin]'兀11则cos(g+“等于(

A.一交B.旦1

C.——D.

3333

【变式8-3](2024•江西九江•三模)若2sin]a+g卜cos[a-J则tan]a-.

)

A.-4-V3B.-4+73C.4—6D.4+百

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题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

【典例9-1】己知〃0=

⑴化简/(a)；

(2)若/(a)=2,求siYa-Ssinacosa的值;

(3)若/[a+/)=3,求sin(a.)的值.

【典例9-2]已矢口cos(a+37i)+2sin(a+67i)=0.

(1)求tana的值；

⑵求si/a+5coscosa....

的值.

2+2cos2a

【方法技巧】

(1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使

用公式进行变形.

(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.

【变式9-1】已知角a的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点尸(3/),且tana=_：.

(1)求sina+cosa的值；

15/19

sin(兀-a)+2cos(兀+a)

(2)求.(3/3「的值.

sinU一兀一aJ-cosU—兀+aJ

兀

■,tan(7i+6Z)COS(2TI-cr)sin(—+a)

［变式9-2］已知/@)=2'

cos(兀-a)tan(-a)

(1)化简〃)a

(2)若ae(0,2兀)，且/⑻=_曰，求a的值.

(3)若a是第三象限角，且sinm+&)=(,求〃兀-a)的值.

【变式9-3]在单位圆中，锐角a的终边与单位圆相交于点尸m,彳,连接圆心。和P得到射线。尸，将

射线OP绕点。按逆时针方向旋转。后与单位圆相交于点B,其中ee(og；

4sin31«+—|+2sin2[包-a]-4cos(cr+7i)

⑴求I2)(2JI'的值;

2+2cos2(5兀+a)+cos(—a)

(2)记点8的横坐标为/⑻，若/求0"小0"*|的值.

【变式9-4]在平面直角坐标系中，锐角月均以以为始边，终边分别与单位圆交于点A,B,已知点

A的纵坐标为23,点3的横坐标为5土

513

16/19

(1)直接写出tana和sin。的值，并求tan(a-£)的值;

兀

2sin(兀-a)+sin(—+a)

(2)求一K----------------------的值;

cos(------a)-cos(3兀+a)

(3)将点A绕点。逆时针旋转;得到点C,求点C的坐标.

3

1.(2023年高考全国甲卷数学(理)真题)设甲：siMa+sit？〃=1,乙：sina+cos尸=0,贝I]()

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

2.(2022年高考全国甲卷数学(理)真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了

计算圆弧长度的“会圆术”，如图，筋是以。为圆心，CM为半径的圆弧，C