2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级上学期数学期末试题及答案

山东省济南市槐荫区九年级上学期数学期末试题及答案

本试题分试卷和答题卡两部分.第I卷满分为40分；第II卷满分为110分.本试题共8

页，满分为150分.考试时间为120分钟.

答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将

考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置.考试结束后，将试卷、答题卡一并交

回.本考试不允许使用计算器.

第I卷（选择题共40分）

注意事项：

第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.答案写在试卷上无效.

一、选择题（本大题共10个小题.每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.）

1.已知四条线段a,b,c,d是成比例线段，其中b=3cm，c=6cm,d=9cm,则线段

a的长度为（）

A.8cmB.2cmC.4cmD.1cm

【答案】B

【解析】

【分析】根据比例线段定义求解，注意线段顺序；

【详解】解：由题意，得f=£

ba

a=b--=3x—=2（cm）.

d9

故选：B

【点睛】本题考查成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义是解题的关键.

2.如图，点8,C,。在。上，若NfiCD=3O°,则/BOD的度数是（）

A.75°B.70°C.65°D.60°

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了圆周角定理；根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条

弧所对的圆心角的一半，即可求得答案.

【详解】解：NBCD=30°,

ZBOD=2ZBCD=2x30°=60°.

故选：D.

3.己知△ABCSADEF,且AB=3,DE=6,若，ABC的周长为20,则」)石户的周长

为()

A.5B.10C.40D.80

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查的是相似三角形的性质.根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可.

【详解】解：AABC^ADEF,

/.ABC的周长:△£＞即的周长=AB:DE=3:6=1:2,

ABC周长为20,

.工。石户的周长为40.

故选：C.

4.10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现

了在乒乓球领域强大的统治力.乒乓球比赛采用双循环制(每两队之间都进行两场比赛)，

比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为()

A.—1)=380B.x(x-l)=380

2

C.2%(x-l)=38OD.X=380

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是设参赛队伍有x支，根据参加乒

乓球比赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程.

【详解】解：设参赛队伍有x支，

由题意可得：x(x—1)=380,

故选B.

5.如图，矩形A3CD为一个正在倒水的水杯的截面图，A5=18cm,杯中水面与CD的交

点为E,当水杯底面5c与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（）cm

A.9B.15C.66D.9百

【答案】D

【解析】

【分析】过点B作防，A石于点F,如图，则环的长即为杯中水的最大深度，然后根据

含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.

【详解】解：过点B作班71.AE于点F,如图，则NAFB=90°,

•.•四边形A3CD是矩形，

/.ZABC=90°,

ZCBH=30°,

:.ZABF=ZCBH=30°,

AB=18cm,

AF——AB—9cm,

2

-1.BF=7AB2-AF2=9^/3cm）即杯中水的最大深度为9有cm；

故选：D.

【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质

和勾股定理等知识，正确理解题意、掌握解答的方法是关键.

6.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小

陶家有一个菱形中国结装饰，测得=12cm,AC=16cm,直线防，A5交两对边于

4896

A.8cmB.10cmC.—cmD.——cm

55

【答案】c

【解析】

【分析】根据菱形的性质与勾股定理可求出菱形的边长，再根据菱形的面积为对角线乘积的

一半，或底乘以高可求出高炉.

【详解】•••四边形A3CD是菱形

AC1BD

A（9=CO=1AC=-1xl6=8（cm）

30=DO=g3D=gx12=6（cm）

...在RtzXABO中，AB=siAO2+BO2=A/82+62=10（cm）

•S菱形ABC。--A。BD或S菱形A5c0=A3-EF

：.^ACBD=ABEF,即gxl6xl2=10EF

,s48

..EF=——cm

5

故选：C

【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键.

7.的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球

门，此时，足球距离地面的高度h与足球被踢出后经过的时间t之间的关系式为

h^-t2+bt.已知足球被踢出9s时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t为

()

A.3sB.3.5sC.4sD.4.5s

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意可得当f=9时，h=0,再代入，可得到该函数解析式为/z=—/+火，

然后化为顶点式，即可求解.

【详解】解：根据题意得：当/=9时，h=0,

：.0=-92+9b-

解得：b=9,

.,.该函数解析式为/?=一/+9/,

•・•人=一/+%=一«一4.5)2+20.25,

.•.足球到达距离地面最大高度时的时间t为4.5s.

故选：D

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象

经过的点必能满足解析式.

8.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻

花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形A3CD

中，IJ//KL,EF//GH,Zl=Z2=30°,N3的度数为（）.

D.60°

【答案】D

【解析】

【分析】由矩形的性质可得ND=NC=90°,进而可得NHGC=/〃£>=60。；再根据三

角形内角和定理可得NGM/=60。；然后再证四边形NMWV是平行四边形，由平行四边

形的性质可得ZVNU=Z.GMJ=60°，最后由对顶角相等即可解答.

【详解】解：如图：：矩形ABCD中，

：.ZD=ZC=90°

•/Zl=Z2=30°,

NHGC=N〃D=60°,

NGM/=60。，

'：IJ//KL,EF//GH,

...四边形NUMV是平行四边形,

/.ZVNU=ZGMJ^6Q0,

Z3=ZWVL/=60°.

故选D.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质

等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键.

9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志.如图是高铁线路在转向处所

设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A,曲线终点为B,过点A3的

两条切线相交于点C,列车在从A到8行驶的过程中转角&为60°.若圆曲线的半径

Q4=1.5km,则这段圆曲线的长为（）.

A.—kmB.一kmC.—kmD.

424

3兀、

——km

8

【答案】B

【解析】

【分析】由转角a为60°可得NACB=120°,由切线的性质可得NQ4C=NOBC=90°,

根据四边形的内角和定理可得ZAOB=360°-ZACB-ZOAC-ZOBC=60°,然后根据

弧长公式计算即可.

Zcr=60°,

ZACB=120°,

过点A,B的两条切线相交于点C,

/.ZOAC=ZOBC^90°,

：.ZAOB=3600-ZACB-ZOAC-ZOBC=60°,

60°x^-x2xl.5

360°

故选B.

【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得NAO3=60°

是解答本题的关键.

10.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”,如：4(1,3),

8(—2,—6),C(0,0)等都是“三倍点”.若二次函数y=—必―x+c的图像在—3<%<1的

范围内，至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是(

1,

A.-4<c<5B.-4<c<-3C.——<c<6D.

4

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与

一次函数的交点问题，由题意得，三倍点所在的直线为y=3x,根据二次函数

y=-/-x+c的图象上至少存在一个"三倍点"转化为y=---x+c和y=3尤至少有

一个交点，求A20,再根据x=-3和x=l时两个函数值大小即可求出答案.

【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为y=3x,

在—3<x<l的范围内，二次函数y=—/—x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，

即在一3<%<1的范围内，二次函数y=-必-x+c和y=3x至少有一个交点，

4-3%=-x2-x+c>整理得，%2+4x-c=0>

贝ID。？-4ac=16+4c?0，解得c»—4,

把x=-3代入y=-x2-x+c得y=-6+c,代入y=3x得y=-9,

\-9>-6+c,解得c<-3；

把x=］代入y=_》2_x+c得y=_2+c,代入y=3x得y=3,

\3>-2+c,解得：c<5,

综上，c的取值范围为：-4<c<5.

故选：A.

第n卷（非选择题共110分）

注意事项：

所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区

域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等.

不按以上要求作答，答案无效.

二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的横线上.）

11.已知关于x的一元二次方程炉―4x-a=O有两个不相等的实数根，则a的取值范围是

【答案】a>^##-4<a

【解析】

【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】解：：关于X的一元二次方程无2—4x—a=0有两个不相等的实数根,

A=Z?2-4ac=（T）2—4x1-（—a）>0,

*,*Q>—4,

故答案为：a>-4.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程

口?+反+c=o（aw。），若A=>2—4公>0,则方程有两个不相等的实数根，若

△=/—4ac=0,则方程有两个相等的实数根，若A=/_4ac<0,则方程没有实数根.

一3

12.如图，P是反比例函数y二—图象上一点，PA_Lx轴于点A,则

【解析】

【分析】根据反比例函数人的几何意义即可求解.

3

【详解】解：・・・p是反比例函数y二-图象上一点PA，x轴于点A,

X

•S-2

・•uPAO~~，

3

故答案为：一.

2

【点睛】本题考查了反比例函数人的几何意义，掌握反比例函数人的几何意义是解题的关键.

13.如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片,

则这个正六边形纸片的面积是.

【答案】6\/3cm2

【解析】

【分析】如图，连接。4、0B,则OA=O3,NAO3=60°,可得AOS是等边三角形，

作OCLAB于C,利用等边三角形的性质求出OC,进而求解.

【详解】如图，连接。4、OB,则0A=03,NA05=60°,

二一403是等边三角形，

作OC_LAB于C,

：A03是等边三角形，

ZOAB=6Q°,

：.ZAOC=30°,

OA=2cm,

AC=1cm,

,,oc=V22—I2=V3cm,

...这个正六边形纸片的面积是6X,><2XG=66cm2；

2

故答案为：6JGcm?.

\，点，【点睛】本题考查了正多边形和圆，本题中，求出oc是解题的关键.

A^rB

14.如图，在矩形ABCD中，点E为氏4延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF

长为半径的圆弧过A。与CE的交点G,连接BG.若A3=4,CE=10,则

AG=

【答案】3

【解析】

【分析】本题主要考查矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质和勾股定理，根据中点和矩

形的性质BG=5,利用勾股定理即可求得答案.

【详解】解：•••CE=10,F为CE的中点，

CF=FE=5,

•.•四边形ABC。是矩形，

ZABC=90°,

:.BG=FB=FC=5,

在处ABG中，AG=y/BG2-AB2=752-42=3-

故答案为：3.

15.只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小

组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,

B,C,D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为7cm,AB=6cm,C£)=8cm.请你帮忙计算

纸杯的直径为__________cm.

0

【答案】10

【解析】

【分析】设圆心为0,根据垂径定理可以得到CE=4,AF=3,再根据勾股定理构建方程

解题即可.

【详解】解：设圆心为0,所为纸条宽，连接OC,OA,

2222

设OE=x,则0F=7—x,

又•:OC=OA,

CE'+OE2^AF-+OF2,即42+/=32+（7-X）2,

解得：JT=3,

半径OC='42+32=5,

即直径为10cm,

故答案为：10.

【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键.

16.京剧是中国一门传统文化艺术.如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以

近似的看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G.点A,B,C,D

分别是图形G与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0,-3）,A3为半圆的直径，且A5=4,

半圆圆心M的坐标为（1,0）.关于图形G给出下列五个结论，其中正确的是（填序号）.

①图形G关于直线x=l对称；

②线段CD的长为3+G;

③图形G围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）;

④当—4WaW2时，直线丁=。与图形G有两个公共点；

⑤图形G的面积小于2兀+8.

【答案】①②

【解析】

【分析】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景、曲线的对称性、整点问题、构造直角

三角形、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键.

由题意很明显可以得到图形G的对称轴为、一1,故①正确；构造直角三角形、利用勾股定

理求得OC的长，进而求得CD的长，故②正确；从图中可以很直观的得到③错误；根据图

形可得当。=-4、a=2,直线丁=。与图形G有一个公共点，即不能得出结论④，故④错

误；如图：连接AE,BE,可求得S人防+S半圆=2万+8,从而判定⑤错误.

【详解】解：如图：由圆M可知4(—1,0),5(3,0),M(1,0)且点A,B在抛物线上，

图形G关于x=l对称，即①正确；

如图：连接

VOM=1,CM=2,

；.oc=&-f=5

又：W,-3),

OD-3,

:.CD=OC+OD=3+B故②正确;

根据题意得，由图形G围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的

点），故③错误；

由图形可得：当。=-4、a=2,直线丁=。与图形G有一个公共点，故④错误；

如图：连接AE,BE,S=gx4x4=8,S半圆=2%,

SABE+S半圆=8+2万＜SG,故⑤错误•

故答案为①②.

三、解答题（本大题共10个小题，共86分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17.计算：tan450+2sin300-cos245°+cos600.

【答案】2

【解析】

【分析】本题考查特殊锐角的三角函数值.利用特殊锐角的三角函数值计算即可.

【详解】解：tan450+2sin300-cos245°+cos60°

1

=l+2x--+—

22

=1+1--+-

22

=2.

18.在.ABC中，NC=90°,/A=30。且AB=20cm,求边AC的长度.

【答案】ioj§cm

【解析】

【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得5C=10cm,进而勾股定理即可求解.

【详解】ABC中，/C=90°,^A=30°,AB=20cm,

■.BC=^AB=10cm,

•.AC=7AB2-BC2=A/202-102=10A/3CM

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题

的关键.

19.如图，在一ABC中，D为A3上一点，ZACD=ZB,AC=6,AD=4.求A3的长.

【答案】A5的长为9.

【解析】

ADAC

【分析】根据已知条件证明△ACDS/VRC,得到——=——求出即可.

ACAB

【详解】解：VZACD=ZB,ZA=ZA,

AACDSA4BC

ADAC

AC-AB

AD4

故AB的长为9.

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求解.

20.如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点坐标为4(-1,2),6(-4,3),C(-3,l).

(1)以点B为位似中心，在点B的下方画出VA3G,使VA3G与，ABC位似，且位似

比为2:1；

(2)求四边形CGAA的面积.

【答案】(1)作图详见解析

2

【解析】

【分析】本题考查了位似的性质，平面直角坐标系内三角形面积的求法，

(1)根据相似比的以及点A5c的坐标即可求得VA5C］；

(2)根据位似的性质可得到的坐标，利用割补法即可求得四边形CG4A的面积.

【小问1详解】

VNA,BCX与位似，且位似比为2:1；

•1-SMBG=10・

S|3边形CG&A=_S&ABC=10_5=5

21.祖冲之发明的水碓(dui)是一种舂米机具(如图1),在我国古代科学家宋应星的著作

《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米.图2

是碓杆与支柱的示意图，支柱加高4尺且垂直于水平地面，碓杆A5长16尺，

OB=3OA.当点A最低时，ZAOM=6Q°,此时点B位于最高点；当点A位于最高点4

时，=108.2。，此时点B位于最低点3'.

B

图1图2

（1）求点A位于最低点时与地面的垂直距离；

（2）求最低点3’与地面的垂直距离.（参考数据：sinl8.2°®0.31,cosl8.2°«0.95,

tanl8.2°«0.33）

【答案】（1）点A距离地面2尺

（2）点H到地面之间的垂直距离约为0.28尺

【解析】

【分析】（1）分别过点0作直线跖，作H为垂足，分别过点B、H作

BCLEF.B'D^EF，垂足分别为C、D；根据30度角所对的边是斜边的一半，可得

OH=-OA=2,MH=OM-OH=2,即可求得；

2

3

（2）根据A3=16,OB=3AO,求得。B=-AB=12,根据三角函数的定义，可得

4

DB'=OB'•sin18.2°=12x0.31。3.72,即可求得.

【小问1详解】

分别过点0作直线即，。以，作暇，H为垂足，分别过点B、B'作BCLEF、

B'DLEF，垂足分别为C、D.

M

,：ZEOM=90°,ZAOM=60°

VOA=4

AOH=­OA=2,MH=OM-OH=2

2

...点A距离地面2尺；

【小问2详解】

'：AB=16,OB=3AO

33

/.OB=-AB=-xl6=12

44

£>6'=OB'sin18.2°=12x0.31。3.72

--.4-3.72=0.28

故点8'到地面之间的垂直距离约为0.28尺.

【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意,

灵活运用所学知识解决问题.

22.芯片目前是全球紧缺资源，市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产

业，发展新兴产业.某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个,

第三季度生产288万个.试回答下列问题：

(1)已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；

(2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产

线的最大产能将减少20万个/季度.现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增

加产能同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多，投入成本越大)，应该再增加几条生

产线？

【答案】(1)20%(2)4条

【解析】

【分析】(1)设求前三季度生产量的平均增长率为x,根据第一季度生产200万个，第三

季度生产288万个，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为(600-20m)万个/季度，利用总

产量=每条生产线的产量X生产线的数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出

m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m的值.

【小问1详解】

解：设求前三季度生产量的平均增长率为X,

依题意得：200(1+x)2=288,

解得：X]=02=20%,4=-2.2(不合题意，舍去).

答：前三季度生产量的平均增长率20%；

【小问2详解】

解：设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为(600-20m)万个/季度,

依题意得：(1+m)(600-20m)=2600,

整理得：m2-29/7z+100=0,

解得：机1=4,m2=25,

•••在增加产能同时又要节省投入,

答：应该再增加4条生产线

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二

次方程.

23.如图，A5为:。的直径，D、E是上两点，延长A5至C,连接CD,

ZBDC^ZA.

(1)求证：CD是。的切线；

3

(2)若tanE=—,AC=8,求＜。的半径.

4

【答案】(1)证明见解析

7

(2):。的半径为一

4

【解析】

【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角

定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；

(1)连接0£),由圆周角定理得出NADfi=90°,证出ODJ_CD,由切线的判定可得出

结论；

(2)证明△血由相似三角形的性质得出02=+=胆=9,由比例线

ACCDDA4

段求出CD和6c的长，可求出A3的长，则可得出答案.

【小问1详解】

证明：连接0£),

Hi

：AB为。。的直径，

ZADB=90°,

ZA+ZABD=90°,

,/OB=OD,

：.ZABD=ZODB,

•••ZBDC=ZA,

：.ZBDC+ZODB=90°,

：.NODC=90。,

/.ODVCD,

•••0。是LO的半径，

CD是O切线；

【小问2详解】

3

解：•••/WB=90°,tanZE=-,

AD-4

VZBDC=ZA,ZC=ZC,

ABDC^AZMC,

.CDBCBD3

ACCDAD4

VAC=8,

CD3

84

/.CD—6,

BC3

64

97

：.AB=AC-AB=8——=-.

22

7

。的半径为一.

4

24.【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动

变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值&=20亮度的实验(如图)，已

知串联电路中，电流与电阻R、7?L之间关系为/=通过实验得出如下数据：

LR+R,

(1)a=,b=；

I?

(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y=--(x>0),结合表格信息，探究函数

X+乙

17

的图象与性质.

12

①在平面直角坐标系中画出对应函数y=二一-(x>0)的图象；

XI乙

乂卜

—

7-----1---t——T-----------T------------R-----------R-------T------------T-------R

/||||IIIII

IlliIIIII

IlliIIIII

久------1--------------1---------4,----------4.--------------1------------1-----------4-----------4.-------J

U1111IIIII

AIlliIIIII

4---1---1---7---T---1---1---7---T---1

3

2

1

012345678x

②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是.

123

(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当xNO时，一^之一彳工+6的解集为

x+22

【答案】⑴2,1.5

(2)①见解析；②函数值y逐渐减小

(3)%之2或x=0

【解析】

【分析】(1)根据解析式求解即可；

(2)①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；

(3)求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论.

【小问1详解】

12

解：由题意，I=------,

R+2

12

当/=3时，由3=----得a=2,

a+2

当R=6时，b=I2=1.5,

6+2

故答案为：2,1.5；

【小问2详解】

12

解：①根据表格数据，描点、连线得到函数y=—的图象如图：

X+N

②由图象可知，随着自变量X的不断增大，函数值y逐渐减小,

故答案为：函数值y逐渐减小；

【小问3详解】

3

解：当％=2时，y=--x2+6=3,当％=0时，y=6,

193

函数y=--(%N0)与函数y=—彳工+6的图象交点坐标为(2,3),(0,6),

X十乙/

__3

在同一平面直角坐标系中画出函数y=-QX+6的图象，如图，

>

012345678x

123

由图知，当光之2或％=0时，-----—x+6,

x+22

123

即当无20时，----->——x+6的解集为或尤=0,

x+22

故答案为：xN2或x=0.

【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据

表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键.

25.如图1,已知二次函数图象与y轴交点为C(0,3),其顶点为。(1,2).

(1)求二次函数的表达式；

(2)直线CD与x轴交于M,现将线段上下移动，若线段CM与二次函数的图象有

交点，求CM向上和向下平移的最大距离；

(3)若将(1)中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕。点顺时针

旋转90。，得到抛物线G,如图2所示，直线y=-x+2与G交于A,8两点，p为G上

位于直线AB左侧一点，求AA3F面积最大值，及此时点尸的坐标.

【答案】(1)y=f—2X+3

(2)CM向下平移的最大距离为工，向上平移的最大距离为6.

【解析】

【分析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)①设直线CD向下平移最大距离为〃z,由△=1-4m=0,即可求解；②设直线CD向

上平移最大距离为九，同理可解；

⑶由入^=3尸。(力-%)，即可求解.

【小问1详解】

解：顶点。(1,2),

设二次函数的解析式为y=a(x-l)2+2,

把(。,3)代入得：3=。+2,

y—(x—I)2+2,

即y=Y-2x+3；

【小问2详解】

解：由点C、。的坐标得，直线CD解析式为y=-x+3,

.•.M(3,0),

①设直线CD向下平移最大距离为加，

平移后的直线解析式为y=-x+3-m,

此时直线与抛物线有一个交点,

把y=—x+3—根代入了=九2_2%+3,

得工2-2%+3=-％+3-加，

X2一%+根=0，

△=1—4m=0,

口1

即：m=—.

4

②设直线CD向上平移最大距离为n,

此时C,M对应点为C,M',

则”(3,㈤，

当恰在二次函数上时，

.".32—1-3+3=m>

:.m=6,

向上平移的最大距离为6.

综上，CM向下平移的最大距离为,，向上平移的最大距离为6；

4

【小问3详解】

解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为(0,0),

则函数的解析式为：y=x2,

设产(利,1)为丁=炉上一点,

尸绕。顺时针旋转90°后，对应点为尸',

则AFMg/xF'M'O,

则9=尸加=m，FN=0M=0M'=/，

F':{nr,-m),

若尸在y轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，

所以G:x=y2,

把y=-x+2代入J?,

y1——y+2,

解得：％=-2,y2=1；

则A(LD,8(4,-2),

设：P(m2,m),

过点P作尸。〃x轴交AB于点Q,

AB:y=-x+2,

Q(2-m,m),

/.PQ=2—m—m2,

-S^ABP二；PQ(%-%)

1

=—(2—m—m?2)-3

323：

二——m——m+3,

22

1?7

当根=一5时，S^BP有最大值，$2=

Zo

此时哈

【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的