2025高考数学专项复习：权方和不等式、柯西不等式

2025高考数学专项复习权方和不等

式、柯西不等式

权方和系学式、轲曲系等式

I2.考情探究•

本节内容为基本不等式的高阶拓展,熟练掌握后能快速解决基本不等式中的最值问题,常在高考及竞赛

中做到类型题的秒解！

IN.考点梳理•

知识讲解

1一、柯西不等式

1.二维形式的柯西不等式

（a2+62）（c2+d2）（ac+&d）2（a,6,c,dER,当且仅当ad=be时，等号成立.）

2.二维形式的柯西不等式的变式

22

（1）y/a+b•+\ac+bd\（ayb,CydER,当且仅当ad=bc时，等号成立.）

（2）Va2+62-Vc2+d2>\ac\+\bd\（a,b,c,dER,当且仅当ad=bc时，等号成立.）

（3）（a+6）（c+d）>（Vac+Vbd）2（a,b,c,d>0,当且仅当ad=bc时，等号成立.）

2

3.扩展：（Q；+Q；+Q：H-Fa，）（忧+b|+b：H---卜底）>（。也+a2b2+a3b3T---Fanbn）

2权方和不等式：

若a,b,x,y>Q则/+空刃I当且仅当乌=2时取等.

xyx-\-yxy

（注:熟练掌握这个足以应付高考中的这类型最值问题可以实现对一些问题的秒杀）

广义上更为一般的权方和不等式：

设电,叫，…应e…，y“eR+,

m+1

以+i,破+i,,需+i、（X1+X2+---+x^

若？TI>0或m<—1,则

V1纺Vn（仇+纺+…+%）

若一1<小<0,则丁…丁、（%+纺+•••+.•

上述两个不等式中的等号当且仅当—=—=—=•••=—时取等

V1纺禽Vn

注意观察这个不等式的结构特征，分子分母均为正数，且始终要求分子的次数比分母的次数多1,

出现定值是解题的关键，特别的，高考题中以m=l最为常见，此时这个不等式是大家熟悉的柯

西不等式.•M

考点一权方和不等式全解析

典例引领

四_£若正数，，夕满足上+工=1,则2+2夕的最小值为______

力y

吼2若①>°'夕>°,$+房=2,则60+5"的最小值为

如已知正数.满足《+£=]’则的最小值为

2X2-\-Xy2+y

]

网]4若a>l,b>0,a+b=2,则+y-的最小值为

a—1b----------

22

而15若a>l,b>l,则ab的最小值为

b—1a—1

词6已知正数力，y,z满足力+0+z=1,则的最小值为

y+2zz+2力x+^y

题7已知正数名，“2满足/+“+z=l,则工+叁+2的最小值为

■---xyz----------

•••

血］8已知正数,夕满足，+夕=1,则工+区的最小值为

Xy

/一

皿求器+高的最小值为

期110求"力)=5+8的最小值为

2sin2x+35cos2力+6

而11权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的.其具体内容为:设册＞0,图

m+lm+1m+1m+1（Qi+。2+Q3T----l-a）m+1当日仅当ai

n_电_

一,一…，、印嫄媛常（仇+62+63+…+勾厂仇戾

与)，当"+取得最小值时，，

善=...=鲁时，等号成立.根据权方和不等式，若，e（o,的值为

27COST

dbnsmx

()

A-2Lp_ZLO兀D・得

A，12B，6GT

皿已知正数”满足:+\=L则+二,的最小值为一

4

题13已知c+2夕+3z+4〃+5。=30,求疗+2靖+3z?+4u2+的最小值为

•M

网）14已知a>0,b>0,a+b=5,求Va+T+Vb+3的最大值为

(^115求/(力)=—3力+2+J2+3力一力2的最大值为

网116已知正数a,b,c满足a+b+c=1,求，3。+1+，36+1+V3c+1的最大值为

考点二

典例引领

血］1用柯西不等式求函数"=岳二五十斤多的最大值为()

A.V22B.3C.4D.5

网］2由柯西不等式，当c+2”+z=4时，求石+、历+V7的最大值为()

A.10B.4C.2D.V10

题◎已知eye(o,+8),若乃+3的〈孰//恒成立，利用柯西不等式可求得实数k的取值范围是

_______________________________________________________________________________________________________J

的4已知2力+3g+6z=12,求/+#/的最小值.（利用柯西不等式）

5已知正实数a,b,c,d满足a+b+c+d=l,则的最小值

a+b+cb+c+dc+d+ad+a+b

是.

吼色已知非负实数a、b、c、d满足ab+6c+cd+da=l,求证：/7+1三+鬲花

.

12.好题冲关

能力提升

一、单领

题目田（2024•山西临汾•三模）若OV，＜1,则工+--的最小值是（）

X1—X

A.1B.4C.2+2V2D.3+2V2

BS-2024.江苏扬州.模拟预测）已知C。,心。，且2f=1，则詈的最小值为（）

A.4B.4V2C.6D.2V2+3

题目区（2024・江苏南通二模）设。＞0,沙＞0,里+2g=2,则；r+上的最小值为（）

Xy

A.B.2A/2C.+vnD.3

•M

题目目（2024.四川成都.模拟预测）若a力是正实数，且/+丁1r=1,则a+6的最小值为（）

3a+o2a+46

42

A.多B.4C.1D.2

53

题目回（2024.河南.模拟预测）己知点P⑶n）在以原点。为圆心，半径r=/的圆上，则—+的

x+1y+1

最小值为（）

I题目回（2024.全国.模拟预测）设正实数a,6满足a+6=2,则白+小的最小值为（）

a+16+2

题目［7j（2021•浙江•模拟预测）已知c>0,9G儿且/+我一2+5y=30,则+j30—3g的最大值为

A.V3B.V6D.3V2

1目回（高三上•浙江宁波・期中）设a,b为正实数，且&+26+工+卷=学，则上+工的最大值和最小值

ab2ab

之和为（）

A.2B.yC.y-D.9

题目回（2024.辽宁.一模）已知小>2n>0,则+也的最小值为（）

m—2nn

A.3+2V2B.3-2V2C.2+3V2D.3V2-2

【题目I10〕（23-24高一上•甘肃兰州・期末）对任意实数x>l,y>^-,不等式/Q"）+］恒成

立,则实数a的最大值（）

A.2B.4C.D.2V2

二、填空题

题目彳口（2024•宁夏石嘴山.模拟预测）已知（0,+8）,+n=4,则m+❷的最小值为.

mn----------

题目亘（2024.内蒙古呼和浩特•一模）已知实数。>0,b>2,且-4T+鼻=春,则2。+b的最小值是

Q+1b—23

■亘（2。24.河南.三模）在中，角4BC的对边分别为若a+b+c=2,则是+十的最

小值为•

题目W（2024.广西河池.模拟预测）若实数a>1>6>0,且a?+26="+2a,则」彳+《的最小值为

a—1b

题目E（2。24.全国.模拟预测）已知2>1,"。,且‘+£=2,则」+"的最小值是一

题目正（2024•全国•模拟预测）已知2>V>0,—『+」一=!_,则2c—g的最小值为

x-\-yx—y----------

题目兀（21-22高三上•天津南开•期中）已知正实数a,6满足a+6=1,则十+爵的最小值为.

题目逗（2024.江西.一模）已知正数c,v满足，+夕=6,若不等式aW+-^―恒成立，则实数a的取