1.3 空间向量及其运算的坐标表示（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.3空间向量及其运算的坐标表示知识点一点坐标的书写【【解题思路】1.建立空间直角坐标系的原则（1）让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面．（2）充分利用几何图形的对称性．2.求某点M的坐标的方法作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z)．3.空间点对称问题的解题策略(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．【例1-1】（22-23高二·全国·课堂例题）已知是单位正交基底，分别写出下列空间向量的坐标：(1)；(2)；(3)；(4)．【例1-2】（22-23高二上·浙江台州·阶段练习）已知是空间向量的一组基底，是空间向量的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（

）A． B． C． D．【例1-3】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）如图，在长方体中，，以直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中不正确的是（

）A．点关于直线对称的点为 B．点关于点对称的点为C．点的坐标为 D．点关于平面对称的点为【例1-4】（22-23高二·全国·课堂例题）长方体的长、宽、高分别为，，．建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，，，，的坐标．【例1-5】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为边长为的正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是，且．请建立适当空间直角坐标系，并求点的坐标．【变式】1．（2024湖北）在正方体中，若点是侧面的中心，则在基底下的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2024上海）如图，正方体的棱长为a，E，F，G，H，I，J分别是棱，，，AB，BC，的中点，写出正六边形EFGHIJ各顶点的坐标．3．（22-23高二下·全国·课后作业）在平行六面体中，底面是矩形，，，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.

(1)；(2)；(3)；4．（23-24高二·江苏）如图，在三棱柱中，平面平面，，且，，请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．5．（23-24江西）如图，在三棱柱中，侧面，为棱上异于的一点，．已知，，．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标．知识点二空间向量的坐标【【解题思路】向量坐标的求法(1)点A的坐标和向量eq\o(OA,\s\up6(→))的坐标形式完全相同；(2)起点不是原点的向量的坐标可以通过向量的运算求得．【例2】（2024河北邯郸）（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（

）A． B．C． D．【变式】1．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）（多选）在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（

）A． B．C． D．2．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.

3．（22-23高二·甘肃天水·期中）已知正方体的棱长为2，E，F分别为棱，的中点，如图所示建立空间直角坐标系.写出向量，，的坐标.

知识点三空间向量的坐标运算【【解题思路】空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．【例3-1】（2024天津河西）若向量，向量，则（

）A． B．C． D．【例3-2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知点，向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【例3-3】（23-24高二上·江苏南京·期末）已知、，且与夹角为钝角，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3-4】（2023高二·全国·专题练习）已知，，，则“”是“构成空间的一个基底”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式】1．（23-24高二上·北京通州·期中）已知，，，则等于（

）A．-4 B．-6 C．-7 D．-82．（2024江苏无锡）已知，，，若，，三向量不能构成空间的一个基底，则实数的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24甘肃白银）已知空间向量,若,则（

）A．6 B． C．36 D．54．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）已知向量，，且与互相垂直，则k的值是（

）A．1 B． C． D．5．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知向量，，若，，则的值是（

）A．或1 B．3或 C． D．16．（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量的模为（

）A．3 B．3 C． D．7．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）设，，且，则（

）A． B．0 C．3 D．知识点四空间平行垂直问题【【解题思路】利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系．(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标．(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算．(4)转化：转化为平行与垂直问题．【例4-1】（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）如图所示，平面，底面是边长为1的正方形，，P是上一点，且．

(1)建立适当的坐标系并求点的坐标；(2)求证：．【变式】1.（23-24高二上·辽宁朝阳·阶段练习）在正方体中，为的中点，为的中点，为的中点．证明：(1)；(2)不与平行；(3)．2．（2024福建莆田·阶段练习）在正棱锥中，三条侧棱两两互相垂直，是的重心，，分别是，上的点，且.求证：（1）平面平面；（2），.知识点五夹角、距离【【解题思路】利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系．(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标．(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算．(4)转化：转化夹角与距离问题．【例5-1】（22-23高二·全国·随堂练习）如图，在长方体中，，，点M在上，，N为的中点，求M，N两点间的距离．

【例5-2】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，，分别在棱，上，，．

(1)求线段的长．(2)求与所成角的余弦值．【变式】1．（22-23高二·全国·课堂例题）如图所示，已知直三棱柱中，，且D，E分别是棱的中点．建立适当的空间直角坐标系，求与的长．2．（2024甘肃）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面，，，分别为，，的中点．若，．

(1)求；(2)求．3．（2024云南）如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1D，BD的中点，G在棱CD上，且．求．知识点六空间向量解决探索性问题【例6】（2024吉林）在直三棱柱中，，，，．(1)在上是否存在点，使得？(2)在上是否存在点，使得平面？【变式】1．（24-25高二下·全国·期末）在直三棱柱中，，分别为棱中点.(1)证明：平面；(2)若，且，则当为何值时，有？2．（23-24高二上·浙江·期末）如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，

(1)求证；(2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值．3．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，所有的棱长均为2，M是边的中点，则在棱上是否存在点N，使得与所成的夹角为？

【题组一点坐标的书写】1．（23-24高二下·四川·阶段练习）（多选）在空间直角坐标系O－xyz中，以下结论正确的是（

）A．点关于x轴对称的点的坐标为(－1，－3，4)B．点关于xOy平面对称的点的坐标为(－1，2，－3)C．点关于原点对称的点的坐标为(3，－1，－5)D．两点间的距离为32．（23-24高二下·江苏·课前预习）在如图所示的空间直角坐标系中，四边形是正方形，则PD的中点M的坐标为.

3．（23-24高二上·上海·期中）已知是空间不共面的一组向量，是空间不共面的另一组向量，若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标是．4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，在三棱柱中，平面为棱的中点，已知.试建立合适的空间直角坐标系，求出图中所有点的坐标.

5．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，，M为线段AD上一点，，N为PC的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标【题组二空间向量的坐标】1．（23-24高二·江苏·课后作业）如图，在长方体中，，，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出，C，，四点的坐标；(2)写出向量，，，的坐标．2．（22-23高二·全国·课后作业）如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，．求：(1)向量，，的坐标；(2)，的坐标．【题组三空间向量的坐标运算】1．（23-24高二上·河南信阳·阶段练习）（多选）已知向量,，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·广东江门·期中）已知向量，，若，则（

）A． B．2 C． D．14．（23-24高二上·安徽·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，则（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·江苏徐州·阶段练习）已知空间向量，，则下列结论正确的是（

）A． B．与夹角的余弦值为C． D．6．（23-24高二上·福建福州·期末）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为7．（23-24高二下·上海·期中）已知空间向量与夹角为钝角，则实数的取值范围为．【题组四空间平行垂直问题】1．（2024河北）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，|AP|＝|AB|＝2，|BC|＝，E，F分别是AD，PC的中点．求证：PC⊥BF，PC⊥EF．

2．（23-24黑龙江）如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，是的中点.(1)试建立适当的坐标系，并确定、、三点的坐标；(2)求证：.3．（22-23高二上·重庆江北·期末）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN⊥平面PCD；(2)求点C到平面MND的距离.4．（2024新疆）如图，，是圆柱底面的圆心，，，均为圆柱的母线，是底面直径，E为的中点．已知，．(1)证明：；(2)若，求该圆柱的体积．5．（23-24北京）如图，已知多面体ABC，，，均垂直于平面ABC，，，，.证明：平面.【题组五夹角、距离】1．（23-24高二上·海南海口·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点E，F分别是棱BC，的中点，若直线与平面AEF交于点M，则线段的长度为（

）

A． B．2 C． D．32．（23-24高二上·江西·期中）如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.

(1)证明：；(2)求.3．（2024·重庆巴南）如图所示，直三棱柱中，，，棱．、分别是、的中点．(1)求证：；(2)求直线与直线所成夹角的余弦值．4．（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，直三棱柱中，，，分别是棱的中点，是的中点，求的长度．

5．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，、分别为、的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决如下问题：(1)求的模；(2)求的值；(3)求证：平面.【题组六空间向量解决探索性问题】1．（2023·河北·三模）如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线交于点，且平面是的中点，是线段上一动点．

(1)当平面平面时，试确定点的位置，并说明理由；(2)在（1）的前提下，点在直线上，以为直径的球的表