3.2 双曲线（解析版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.2双曲线知识点一双曲线的定义【【解题思路】双曲线的定义的应用(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离．(2)双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．【例1-1】（2024·河北邢台）若点P是双曲线C：上一点，，分别为C的左、右焦点，则“”是“”的（

）A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．充分不必要条件【答案】D【解析】，当点在左支时，的最小值为，当点在右支时，的最小值为，因为，则点在双曲线的左支上，由双曲线的定义，解得；当，点在左支时，；在右支时，；推不出；故为充分不必要条件，故选：D.【例1-2】（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】由方程表示双曲线，可得，当时，可得，解得或；当时，可得，解得，综上可得，实数的取值范围为.故选：D.【变式】1．（23-24高二上·江苏常州·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则（

）A．13 B．10 C．1 D．13或1【答案】A【解析】由题意得焦距为，由双曲线定义可得，所以或，又因为在双曲线中，所以，故A正确.故选：A.2．（23-24高二上·广东河源·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是的左支上一点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据双曲线标准方程可知，由双曲线定义可得，又为左焦点，点是的左支上一点，所以，可得.故选：B3．（23-24高二上·广东深圳·期末）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线左支上的一点，且，则（

）A．1 B．13 C．1或13 D．3【答案】B【解析】是双曲线左支上的一点，所以，解得：，由双曲线定义可知，，所以13.故选：B.4．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．5或13【答案】B【解析】双曲线的，由双曲线的定义可得．因为，所以，得或17，若，则在右支上，应有，不成立；若，则在左支上，应有，成立．故选：B．5．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（

）A．9 B．9或1 C．1 D．6【答案】A【解析】因为，所以，所以，解得，根据双曲线定义可得，所以，解得或，当时，不合题意，故舍去，当时，，满足题意，综上，.故选：A6．（2024·河北石家庄·二模）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故充分性成立；当时曲线表示焦点在轴上的双曲线，故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不成立；所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件.故选：A7（23-24高一下·四川成都·开学考试）方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如果方程表示双曲线，则，解得：，则方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含．只有选项C满足题意．故选：．知识点二焦点三角形【例2-1】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（

）A．20 B．22 C．28 D．36【答案】C【解析】由题意知，，所以，又，所以，所以的周长为．故选：C．【例2-2】（23-24高二上·贵州贵阳·期末）双曲线的两个焦点为，为双曲线上一点，若，则的面积为.【答案】3【解析】双曲线，实轴长，焦距，由对称性不妨设，由，有，则，解得，.故答案为：3【变式】1．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，所以，故，由于，所以，故选：A2．（23-24湖南长沙·阶段练习）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（

）A．24 B．12 C． D．【答案】C【解析】由双曲线的，，，设圆与三角形三边相切于点,则，又，所以，因此轴，因此,，,,因此,故三角形的面积为．故选：C3．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，为右支上一点，且，则的面积为.【答案】6【解析】由，得，则，因为为右支上一点，所以，因为，所以，由余弦定理得，因为，所以，所以的面积为.故答案为：6知识点三双曲线中线段和或差值【例3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）已知，双曲线C：的左焦点为F，P是双曲线C的右支上的动点，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设C为双曲线右焦点，则，，而，仅当共线且A在之间时等号成立，所以，当共线且A在之间时等号成立．故选：D．【变式】1．（22-23高二上·福建福州·期末）已知，双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线左支上一点，则的最小值为（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由双曲线，则，即，且，由题意，，当且仅当共线时，等号成立.故选：C.2．（2023·河南郑州·一模）设，为双曲线C：的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由双曲线定义得,故如图示，当三点共线，即Q在M位置时，取最小值，，故方程为，联立，解得点Q的坐标为(Q为第一象限上的一点)，故故选：A3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知双曲线的左焦点为，点是双曲线右支上的一点，点是圆上的一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．7 D．8【答案】C【解析】记双曲线的右焦点为，所以，当且仅当点为线段与双曲线的交点时，取到最小值．故选：C．4．（2023·陕西西安·模拟预测）设点P是圆上的一动点，，，则的最小值为（

）．A． B． C．6 D．12【答案】B【解析】设，则点P的轨迹为以A，B为焦点，为实轴长的双曲线的上支，∴点P的轨迹方程为，依题意，双曲线与圆有公共点，将圆的方程代入双曲线方程得，即，判别式，解得，当时，，且，∴等号能成立．∴．故选：B知识点四双曲线的离心率与渐近线【【解题思路】求双曲线离心率的方法(1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝eq\f(c,a)得解．(2)解方程法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．【例4-1】（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】根据双曲线的几何性质可知，左焦点，其到渐近线的距离为，因为，所以.故选：C．【例4-2】（23-24高二下·云南玉溪·期末）设，是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，可得，由双曲线定义可知，所以，，，由勾股定理可得，可得，故，故选:B.【例4-3】（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据双曲线定义知：的周长为，而，所以，而的周长为，所以，即，所以，解得，双曲线离心率的取值范围是.故选：D【变式】1．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知双曲线，若双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意可知双曲线的渐近线为，从而，即，所以，所以的离心率.故选:B.2．（23-24高二下·山西长治·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线交的左支于两点，若，，成等差数列，且，则的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，成等差数列，所以，即，又因为，所以，所以，设，则，故，在中，由余弦定理得，，解得（舍去），所以，因为，所以，即，即，整理得，所以，即的离心率是.故选：A.3．（23-24高二下·河南·期末）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于两点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据题意得，圆心到的渐近线的距离为4．（2024·山西阳泉·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线的右支上有一点与双曲线的左支交于点，线段的中点为，且满足，若，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】因为是线段的中点，且，所以，又，所以是等边三角形，设的边长为，由双曲线的定义知，，，所以，又，所以，即，所以，在中，由余弦定理知，，所以即，所以离心率.故选：C5．（23-24高二下·甘肃·期末）过双曲线的左焦点作斜率为2的直线交于两点．若，则双曲线的离心率为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】设，由，得，设直线的方程为，由消去，得，由根与系数的关系，得，所以，所以，化简得，所以，得，所以，可得.故选：D知识点五双曲线的标准方程【【解题思路】1.求双曲线的标准方程(1)用待定系数法求双曲线的标准方程：若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．(2)当mn<0时，方程eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1表示双曲线．2.由双曲线的性质求双曲线的标准方程(1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式．(2)巧设双曲线方程的技巧渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．【例5】（2024江苏·课后作业）求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)一个焦点为，且经过点；(2)与双曲线有相同的焦点，且经过点；(3)经过和两点．（4）过点，离心率为；（5）与椭圆有公共焦点，且离心率；（6）与双曲线有共同渐近线，且过点.【答案】(1)；(2)；(3).（4）；（5）；（6）.【解析】（1）由题可设双曲线方程为，∵经过点，∴，即，又一个焦点为，∴，∴所求的双曲线方程为；（2）由题可设双曲线方程为，则，解得或（舍去）所以所求双曲线方程为；（3）设所求双曲线方程为，则，解得，∴所求双曲线方程为.（4）若双曲线的焦点在轴上，设其方程为，由题意可得，解得，所以双曲线的标准方程为；若双曲线的焦点在轴上时，设其方程为，由题意可得，此时无解，综上所述：双曲线的标准方程为；（5）由椭圆方程，知半焦距为，所以椭圆焦点是，，因此双曲线的焦点为，，设双曲线方程为，由题意可得，解得，所以所求双曲线的标准方程为；（6）设所求双曲线方程为，将点代入得，所以双曲线方程为，即双曲线的标准方程为.【变式】（23-24高二上·山东烟台·阶段练习）求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：(1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程；(2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程.(3)经过点，且；(4)经过点、．(5)与椭圆有公共焦点，且过点；(6)焦点在轴上，焦距为，渐近线斜率为；(7)离心率，且经过点；(8)经过点，且一条渐近线的方程为．（9）与双曲线有共同渐近线，且过点；（10）与双曲线有公共焦点，且过点【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)（9），（10）【解析】（1）因为顶点在轴上，设双曲线方程为，又两顶点间距离是8，即，所以，且，所以，又，所以双曲线方程为.（2）因为双曲线中，设椭圆方程为，则，解得，所以椭圆方程为.（3）因为，可知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为，代入，即，解得，所以双曲线的标准方程为.（4）设双曲线的标准方程为，代入点、可得，解得，所以双曲线的标准方程为.（5）椭圆的焦点，由题意设所求双曲线为，双曲线过点，，整理得，解得或（舍去），所求双曲线方程为．（6）设双曲线的标准方程为，则渐近线为，焦距为，渐近线斜率为，，，又，所以，，双曲线的标准方程为，（7）离心率，经过点，则，所以，所以双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，，解得，所以双曲线方程为，即.（8）因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，解得，所以双曲线方程为.（9）由题意设所求双曲线方程为，因为双曲线过点，所以，得，所以，即所以所求双曲线方程为，（10）由题意设所求双曲线方程为，因为双曲线过点，所以，得，，解得或，所以所求双曲线方程为知识点六直线与双曲线的位置关系【【解题思路】设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；Δ＝0⇒直线与双曲线有一个公共点；Δ<0⇒直线与双曲线有0个公共点．【例6】（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：(1)直线l与双曲线有两个公共点；(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线l与双曲线没有公共点．【答案】(1)或或；(2)或(3)或【解析】（1）联立，消整理得，（*）因为直线l与双曲线C有两个公共点，所以，整理得解得：或或.（2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．当时，因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，则，解得；综上，或.（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，所以，解得：或.【变式】1．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）如果直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】联立方程组，整理得，因为直线和双曲线没有公共点，所以，可得，解得或，所以实数的取值范围为.故选：C.2．（24-25高二上·全国·假期作业）过点的直线与双曲线的公共点只有1个，则满足条件的直线有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】C【解析】当直线的斜率不存在时，显然与双曲线没有公共点.当直线的斜率存在时，设方程为，与双曲线方程联立，若即，此时直线和双曲线的公共点只有1个.当时，；当时，.当时，，整理可得，因为，所以有两个不等的实数根，又不是的根，且此时直线和双曲线的公共点只有1个.综上可知，直线和双曲线的公共点只有1个时，对应直线有4条.故选：C.3．（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线经过点，且其渐近线方程为.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线与双曲线至少有一个交点，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）结合题意可得：点在渐近线的上方，双曲线要经过此点，则焦点在轴上，设双曲线方程为，则渐近线方程为，所以，因为双曲线经过点，所以，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）结合（1）问：联立，可得，当时，即，此时与渐近线平行，故只有一个交点，满足题意；当时，即，要使直线与双曲线至少有一个交点，则，解得或,且.综上所述:实数的取值范围为.知识点七弦长【【解题思路】弦长公式设直线y＝kx＋b与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2).【例7-1】（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．(1)求双曲线的方程；(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．【答案】(1)(2)6【解析】（1）双曲线与有相同的渐近线，则，为的右焦点，则，解得，，双曲线方程为；（2）直线的方程为，，即，，，，.【例7-2】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意得：，令，则，又焦点到渐近线的距离为，所以，所以，所以，所以双曲线的标准方程为；（2）设，，联立方程组，消去整理得，则，，，所以，又原点到直线的距离，所以．【变式】1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且的离心率为2，焦距为4．(1)求的方程；(2)直线过点且与交于两点，为坐标原点，若的面积为，求的方程．【答案】(1)(2)或．【解析】（1）由题意得，解得，所以，故的方程为．（2）由（1）知，显然直线的斜率不为0，设的方程为，

联立方程组，消去得，则．设，则．所以．由，化简得，解得（负值舍去），即，所以直线的方程为或．2．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.【答案】(1)(2).【解析】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，设双曲线的方程（，），由已知得，，所以，.所以双曲线方程为.（2）直线与双曲线C交于A，B两点，且，联立方程组，得，当时，设，，.所以令，解得.经检验符合题意，所以.知识点八双曲线有关的轨迹问题【【解题思路】和双曲线有关的轨迹(1)定义法．解决轨迹问题时利用双曲线的定义，判定动点的轨迹就是双曲线．(2)直接法．根据点满足条件直接代入计算【例8-1】（2024·福建莆田·三模）已知圆，，P是圆C上的动点，线段的垂直平分线与直线（点C是圆C的圆心）交于点M，则点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】C【解析】由题意可得圆心，半径.因为M是线段的垂直平分线，所以，则.因为，所以点M的轨迹是以A，C为焦点的双曲线.故选：C【变式】1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动圆P与圆M：，圆N：均外切，记圆心P的运动轨迹为曲线C，则C的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由圆M：，得圆心，半径，由圆N：，得圆心，半径．设圆P的半径为r，则有，．两式相减得，所以圆心P的运动轨迹为以、为焦点的双曲线的左支，又，所以C的方程为．故选：B．2．（24-25高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为，设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图，由圆O与圆C外切，得，又，，则，因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，，所以双曲线方程：．故选：C3．（23-24高二上·广东·期末）已知动圆与圆及圆都外切，那么动圆圆心轨迹方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】圆：，圆心，半径，圆：，圆心，半径，设动圆圆心，半径为，由动圆与圆，都外切，得，则，因此圆心的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线左支，即，半焦距，虚半轴长，所以动圆圆心的轨迹方程是.故选：B4．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，定圆的半径为定长，是圆外一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是（

）

A．射线 B．椭圆 C．双曲线 D．圆【答案】C【解析】连接、，如图所示：

因为为的垂直平分线，所以，所以为定值，又因为点在圆外，所以，根据双曲线定义，点的轨迹是以、为焦点，为实轴长的双曲线.故选：C.知识点九中点弦【例9-1】（23-24高二上·天津和平·期末）直线l与双曲线交于A，B两点，线段AB的中点为点，则直线l的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，，则直线l的斜率为代入，得，两式相减得：.又线段AB的中点为点，则.则.经检验满足题意.故选：D【例9-2】（23-24高三下·全国·阶段练习）设直线与双曲线分别交于两点，若线段的中点横坐标是，则该双曲线的离心率是（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由线段的中点横坐标是，得线段的中点纵坐标是，设，由消去x得，，因此，整理得，显然成立，所以该双曲线的离心率.故选：A【例9-3】（2023·陕西宝鸡·模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点.若的中点坐标为，则E的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，则，两式相减得，即，化简得，又，解得，所以双曲线的方程为：.故选：D.【变式】1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的斜率为(

)A．3 B．6 C．8 D．12【答案】B【解析】设，则有，化简得，即.故选：B2．（22-23高二上·广东佛山·期末）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设点，则有，两式做差后整理得，由已知，，又，，得故选：B3．（2022·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】设、，则，，两式相减可得，为线段的中点，，，，又，，，即，，故选：D.4．（2024·山东）过双曲线：（，）的焦点且斜率不为0的直线交于A，两点，为中点，若，则的离心率为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】不妨设过双曲线的焦点且斜率不为0的直线为，令由，整理得则，则，由，可得则有，即，则双曲线的离心率故选：D5．（2024陕西）已知双曲线C的中心在坐标原点，其中一个焦点为，过F的直线l与双曲线C交于A、B两点，且AB的中点为，则C的离心率为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由F、N两点的坐标得直线l的斜率．∵双曲线一个焦点为(-2，0)，∴c=2．设双曲线C的方程为，则．设，，则，，．由，得，即，∴，易得，，，∴双曲线C的离心率．故选：B．【题组一双曲线的定义】1．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（

）A．1或5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，可得，解得，又是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点,，，可得点在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，则.故答案为：C.2．（22-23高二下·安徽滁州·开学考试）若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】由双曲线标准方程得：，由双曲线定义得:即，解得（舍去）或，故选：A.3．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因为方程表示焦点在轴上的双曲线，所以，解得.故选：A.4（23-24高二下·湖南邵阳·期中）（多选）对于曲线，下面说法正确的是（

）A．若，曲线的长轴长为2B．若曲线是椭圆，则的取值范围是C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3【答案】CD【解析】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误；B选项，，解得或，B错误；C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确；D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，故，解得，又，解得，D正确.故选：CD5．（23-24高二上·广东中山·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（

）A．曲线可以表示圆B．当时，曲线为双曲线，渐近线为C．若表示双曲线，则或D．若表示椭圆，则【答案】AC【解析】若，即时，曲线表示圆，A正确；当时，表示双曲线，其渐近线方程为，B不正确；若表示双曲线，则有，即或，C正确；若表示椭圆，则，解得且，D不正确.故选：AC【题组二焦点三角形】1．（23-24高二下·上海·期末）设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为．【答案】【解析】由题意，，不妨设，则，由余弦定理，所以，，所以，.故答案为：.2．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是．【答案】/【解析】由可得：，如图，设则①，在中，由余弦定理，，即：②由①②联立，解得：.则三角形的面积为.故答案为：.3（2024湖北）已知为双曲线的左焦点，，为双曲线右支上的点，若的长等于虚轴长的2倍，点在线段上，则的周长为（

）A．28 B．36 C．44 D．48【答案】C【解析】如图所示：∵双曲线的左焦点为，∴点是双曲线的右焦点，又，∴虚轴长为2b＝8，∴．∵①，②，∴①+②得，∴的周长．故选：C4．（2023湖南）已知为双曲线的左焦点，为双曲线同一支上的两点．若，点在线段上，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，，所以，解得，所以双曲线的左焦点，所以点是双曲线的右焦点．作出双曲线，如图所示．由双曲线的定义，知①，②，由①②，得，又，所以的周长为．故选：C.5．（2024·福建）过双曲线的左焦点作一条直线交双曲线左支于，两点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是___________.【答案】24【解析】由双曲线定义知：，所以，，而，故，故的周长为.故答案为：24【题组三双曲线中线段和或差值】1．（2024·安徽蚌埠）已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，连接与双曲线的另一个焦点，如下所示：由双曲线的定义可知，，又双曲线方程为，故，又点坐标为，双曲线的渐近线为，故点到渐近线的距离为，故.故选：B.2．（2024湖南长沙·阶段练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（

）A．19 B．25 C．37 D．85【答案】B【解析】由题意，双曲线焦点坐标为，设，且，则，当且仅当即时等号成立，所以最小值为25，故选：B.3．（23-24高二下·上海静安·期末）已知点是双曲线右支上的一点，点分别是圆和圆上的点．则的最小值为（

）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】B【解析】由双曲线可知，且圆的圆心为，半径，的圆心为，半径，由圆的性质可知：，可得，可知，为双曲线的焦点，则，可得，所以的最小值为5.故选：B.4．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为，若动点P位于y轴右侧，且到两定点，的距离之差为定值4，则周长的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由动点P到两定点，的距离之差为定值4，结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，易得，，由得，则动点P的轨迹方程为，如图：又，则，且故的周长为:，当且仅当P，A，三点共线且点位于、之间时等号成立，故周长的最小值为．故选：D5．（23-24高三上·云南曲靖·阶段练习）已知F是双曲线的左焦点，，P是双曲线右支上的一动点，则的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为，由可知，，则，因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知：，所以，因为，当且仅当，，三点共线时，达到最小值，因为，，所以，即的最小值为．故选：C．6．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可设双曲线的方程为，则，即，得到，所以，由双曲线的定义可得，则，当三点共线时，取得等号，则的最大值为，故选：C．7．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（

）A．不存在 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】依题意，下焦点，设上焦点，双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，所以延长时，与双曲线没有交点，，设延长，交双曲线上支于，依题意，是双曲线上支上的动点，根据双曲线的定义可知，，当在点时等号成立，则，所以，所以，所以，所以的最大值不存在.故选：A【题组四双曲线的离心率与渐近线】1．（23-24高二下·湖南·期末）已知双曲线E：（）的右焦点F到其一条渐近线的距离为1，则E的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】由题意可知，双曲线焦点在轴，，右焦点到渐近线的距离，所以，，.故选：A2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线的一条渐近线与圆相切，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】双曲线的一条渐近线为，即，圆的圆心为，半径，由直线与圆相切可得：化简可得：，则，故选：C3．（23-24高二下·湖北·阶段练习）如图，已知双曲线的右焦点为，过原点的直线与交于两点，在第一象限，延长交于多一点，若且，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设的左焦点为，连接，则，因为，由双曲线的对称性知四边形为矩形.在中，由，得，化简得.在中，由，得，化简得，即离心率.故选：A.4．（23-24高二下·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则此双曲线的离心率为（）A．2 B． C．2或 D．或2【答案】A【解析】由题意，双曲线的焦点在轴上，且一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，又，所以，又，所以.故选：A5．（23-24高二下·内蒙古兴安盟·期中）已知双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】曲线的渐近线方程为，因为双曲线C的离心率为，所以.两边平方，即，又，所以.解得，则.故双曲线C的渐近线方程为．故选：C.6．（2024·天津河北·二模）函数被称为“对勾函数”，它可以由双曲线旋转得到，已知直线和直线是函数的渐近线，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为直线和直线的夹角为，由题意可得双曲线夹角为，而双曲线的渐近线方程为，所以，则，解得（负值舍去），所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.【题组五双曲线的标准方程】1．（2024高三上·全国·专题练习）与双曲线1共渐近线，且过点的双曲线的标准方程是（）A．1 B．1C．1 D．1【答案】D【解析】由题意知，要求双曲线与双曲线共渐近线，设要求的双曲线为.又该双曲线经过点，则，解得，则要求的双曲线的标准方程为.故选：D.2．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为，又点在双曲线上，所以，解得，则双曲线方程为.故选：B．3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线方程为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意设所求双曲线方程为，又双曲线过点，∴，即，∴双曲线方程为，即，故选：D．【题组六直线与双曲线的位置关系】1．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线没有公共点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】联立可得，由题意可知，关于x的方程无实数解，则，解得，故答案为：．2．（24-25高二上·上海）直线与双曲线有且只有一个交点，那么实数k的值是．【答案】或【解析】当直线与双曲线相切时：，则，则，解得；渐近线方程为，当直线与渐近线平行时，.综上所述：或.故答案为：，.3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为．【答案】或【解析】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为；由，消去整理得．当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于一点，符合题意；当即时，由，解得，此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的的所有取值为或，故答案为：或.4．（24-25高二上·上海·课后作业）若斜率为的直线l过双曲线的上焦点，与双曲线的上支交于两点，，则的值为．【答案】/【解析】因为双曲线：，所以，设直线方程为，代入双曲线方程消去得．设，因为，且，所以，．因为，所以，所以，，两式联立解得（负值舍去）．故答案为：.5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知双曲线方程为（），若直线与双曲线左右两支各交一点，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为双曲线方程为（），所以双曲线的渐近线方程为，因为直线与双曲线左右两支各交一点，所以，解得，即实数的取值范围为，故答案为：【题组七弦长】1．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长.【答案】【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为，联立，得，设，则，所以，解得，经检验符合题意；则，.弦长.故答案为：.2．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为．(1)求直线的方程；(2)求两点间距离．【答案】(1)(2)【解析】（1）设，因为的中点的坐标为，可得，即，又由，两式相减，可得，可得，即直线的斜率为，所以直线的方程为，即.联立方程组，整理得，则，即直线与双曲线相交，满足条件.所以直线的方程为.（2）由（1）知，直线的方程为，联立方程组，整理得，则，且，所以两点间的距离为：.3．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知双曲线的实轴比虚轴长2，且焦点到渐近线的距离为2.(1)求双曲线的方程；(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）设双曲线焦点为，一条渐近线方程为，所以该焦点到渐近线的距离为，又双曲线实轴比虚轴长2，故，即，故双曲线的方程为；（2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点，则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为，将代入，得，将代入，得，则，；当直线的斜率存在，设直线，且，联立，消去并整理得，因为动直线与双曲线恰有1个公共点，所以，得，设动直线与的交点为，与的交点为，联立，得，同理得，则，因为原点到直线的距离，所以，又因为，所以，即，故的面积为定值，且定值为.4．（23-24高二下·河南·开学考试）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以，故到渐近线的距离，所以，又，所以，故的方程为.（2）设点，因为是弦的中点，则由于，所以两式相减得，所以，即直线的斜率为，所以直线的方程为，即.联立消去并整理，得，所以，且，所以.点到直线的距离为，所以的面积为.

5．（23-24高二上·四川攀枝花·期末）已知中心在坐标原点，焦点在轴上的双曲线的焦距为4，且过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点的直线交双曲线的右支于，两点，连接并延长交双曲线的左支于点，求的面积的最小值.【答案】(1)(2)12【解析】（1）法一：设双曲线的标准方程为由题知：，故其左右焦点分别为，.由，解得.从而，双曲线的标准方程为.法二：设双曲线方程为，由题知：得到.又，得到.得到，解得（舍）或，双曲线的标准方程为.（2）由题意，设作出图形如图所示，

显然直线与轴不垂直，设，，联立故，.由于，均在双曲线右支上，故，即，解得.由双曲线的对称性知的中点为，故，代入韦达定理得令，则易知随的增大而减小，当时，.【题组八双曲线有关的轨迹问题】1．（2024高二上·全国·专题练习）设是椭圆与x轴的两个交点，是椭圆上垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】如图，设直线与的交点为，则∵共线，故①，又∵共线，故②.由①，②两式相乘得（*）,因在椭圆上，则，可得：将其代入（*）式，即得：，化简得：，即P的轨迹方程为.故选：C.2．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆，动圆与圆都外切，则动圆圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题可得圆圆心，半径为；圆圆心，半径为由图设动圆P与圆，圆外切切点分别为A，B.则共线，共线.则，注意到，则，又，则点P轨迹为以为焦点双曲线的右支