人教版九年级数学下册相似《相似三角形（第2课时）》示范教学课件

相似三角形（第2课时）人教版九年级数学下册

1．全等三角形与相似三角形有怎样的关系？全等三角形是相似比为1

的相似三角形，即全等三角形是特殊的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．

2．平行线分线段成比例的基本事实及推论分别是什么？推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

3．上节课学习了哪些判定三角形相似的方法？定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．利用平行线判定三角形相似：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定三角形全等的方法有哪些？

SSS，SAS，AAS，ASA，HL．类似于判定三角形全等的SSS

方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？问题任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的

k

倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？探究通过度量可知，两个三角形的对应角相等；又由题意可知，两个三角形的边对应成比例，所以这两个三角形相似．ABCA′B′C′ABCA′B′C′猜想：三边成比例的两个三角形相似．

你能证明这个猜想吗？如图，在△ABC

和△A′B′C′中，＝＝．求证△ABC∽△A′B′C′．DE

证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D＝AB，过点D

作DE∥B′C′，交A′C′于点E．ABCA′B′C′DE∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴＝＝．又＝＝，A′D＝AB，∴＝，＝．∴DE＝BC，A′E＝AC．∴△A′DE≌△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′．三边成比例的两个三角形相似．由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：ABCA′B′C′

符号表示：

∵在△ABC

和△A′B′C′中，＝＝．

∴△ABC∽△A′B′C′．类似于判定三角形全等的SSS

方法，我们证明了三边对应成比例的两个三角形相似．那么类似于判定三角形全等的SAS

方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？问题任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，＝＝k，量出BC

及B′C′的长，它们的比值等于k

吗？再量一量这两个三角形另外两组角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？探究通过度量可知，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以这两个三角形相似．通过度量、计算可知，＝＝＝k；ABCA′B′C′猜想：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．

你能证明这个猜想吗？如图，在△ABC

和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，＝．求证△ABC∽△A′B′C′．ABCA′B′C′

证明：在线段A′B′（或它的延长线）上截取A′D＝AB，过点D

作DE∥B′C′，交A′C′于点E．∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′．∴＝．又＝，A′D＝AB，∴A′E＝AC．又∠A′＝∠A，∴△A′DE≌△ABC，∴△ABC∽△A′B′C′．ABCA′B′C′DE两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．由此我们得到利用两边和夹角判定三角形相似的定理：

符号表示：

∵在△ABC

和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，＝．

∴△ABC∽△A′B′C′．ABCA′B′C′思考

对于△ABC

和△A′B′C′，如果＝，∠B＝∠B′，这两个三角形一定相似吗？A′ABCB′C′C′′

如图，△ABC

与△A′B′C′相似；△ABC

与△A′B′C′′不相似．

对于△ABC

和△A′B′C′，如果＝，∠B＝∠B′，这两个三角形不一定相似．

例1

根据下列条件，判断△ABC

和△A′B′C′

是否相似，并说明理由：

AB＝4

cm，BC＝6

cm，AC＝8

cm，

A′B′＝12

cm，B′C′＝18

cm，A′C′＝24

cm．

解：∵＝＝，＝＝，＝＝，∴＝＝．∴△ABC∽△A′B′C′．这两个三角形的相似比是．归纳利用三边成比例判定三角形相似的步骤第1

步：排序，即将三角形的边按大小顺序排列；第2

步：计算，即分别计算三边的比值；第3

步：判断，即看比值是否相等来判断两个三角形是否相似．

例2

根据下列条件，判断△ABC

和△A′B′C′

是否相似，并说明理由：

∠A＝120°，AB＝7

cm，AC＝14

cm，

∠A′＝120°，A′B′＝3

cm

，A′C′＝6

cm．

解：∵＝，＝＝，∴＝．又∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′．这两个三角形的相似比是．归纳利用两边和夹角判定三角形相