人教版九年级数学下册相似《相似三角形（第1课时）》示范教学课件

相似三角形（第1课时）人教版九年级数学下册

1．相似多边形：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形的对应角相等，对应边成比例．

2．相似多边形的性质：

3．相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比．在相似多边形中，最简单的是____________．相似三角形你能说出相似三角形的定义吗？问题如图，在△ABC

和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k，即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC

与△A′B′C′相似，相似比为

k．

思考：△A′B′C′与△ABC

的相似比是什么？

相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”．ABCA′B′C′如图，在△ABC

和△A′B′C′中，如果∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k，即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC

与△A′B′C′相似，相似比为

k．△A′B′C′与△ABC

的相似比为．相似比具有顺序性．

相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”．ABCA′B′C′

特别提醒：用符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大写字母写在对应的位置上．△ABC∽△A′B′C′

表示顶点A与A′，B与B′，C与C′

分别对应；如果仅说“△ABC与△A′B′C′相似”，没有用“∽”连接，则需要分类讨论它们之间的对应关系．ABCA′B′C′如果k＝1，这两个三角形有怎样的关系？当＝＝＝k＝1时，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，故△ABC≌△A′B′C′（SSS），即当k＝1时，这两个三角形全等．全等三角形是相似比为1

的相似三角形，即全等三角形是特殊的相似三角形，而相似三角形不一定是全等三角形．思考ABCA′B′C′根据相似三角形的定义你能得到相似三角形的性质吗？相似三角形的定义可以看作是性质，即相似三角形的三个角分别相等，三条边成比例．

符号表示：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝．思考ABCA′B′C′如何判定两个三角形相似？相似三角形的定义也可以看作是判定，即三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．思考

符号表示：∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，＝＝＝k，

∴△ABC∽△A′B′C′．ABCA′B′C′判定两个三角形全等时，除了可以验证它们所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？我们先来探究下面的问题．问题问题如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2

都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5

在l1

上截得的两条线段AB，BC

和在l2

上截得的两条线段DE，EF

的长度，与相等吗？l1

l2

l3

l4

l5

ADBECF问题任意平移l5，与还相等吗？直线l3，l4，l5在直线l1，l2上截得的线段有什么关系？l1

l2

l3

l4

ADBE可以发现：＝，

＝，＝，＝等．CFl5

l5

CF平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．（2）所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关．（3）对应线段的比相等是指同一直线上的两条线段的比等于另一条直线上与它们对应的线段的比．

注意：（1）截线是一组平行线，被截直线不一定平行．l1

l2

l3

l4

l5

ADBECF把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现两种情况，如图所示．l1

l2

l3

l4

l5

ADEBC图①l1

l2

l3

l4

l5

ADEBC图②在图①中，把l4看成是平行于△ABC

的边BC

的直线；在图②中，把

l3看成是平行于△ABC

的边BC

的直线，那么我们可以得到结论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．l1

l2

l3

l4

l5

ADEBC图①l1

l2

l3

l4

l5

ADEBC图②问题

如图，在△ABC

中，DE∥BC，且DE

分别交AB，AC

于点D，E，△ADE

与△ABC

有什么关系？ABCDE猜想：△ADE∽△ABC．

你能证明你的猜想吗？问题

如图，在△ABC

中，DE∥BC，且DE

分别交AB，AC

于点D，E，△ADE

与△ABC

有什么关系？ABCDE猜想：△ADE∽△ABC．

分析：利用相似的定义证明，即证明∠A＝∠A，∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，＝＝．ABCDE由前面的结论可得，＝．F而

中的DE

不在△ABC

的边BC

上，不能直接利用前面的结论．但从要证的＝可以看出，除DE

外，AE，AC，BC都在△ABC

的边上，因此只需将DE

平移到BC

边上去，使得BF＝DE，再证明＝就可以了．如图，只要过点

E

作EF∥AB，交BC

于点F，BF

就是平移DE

所得的线段．ABCDEF

证明：如图，过点E

作EF∥AB，交BC

于点

F．在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A．∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C．∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE

为平行四边形，

＝

，

＝

．∴＝＝．∴DE＝BF．ABCDEF∴△ADE∽△ABC．∴＝．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．因此，我们有如下判定三角形相似的定理：

符号表示：

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC．ABCDE

例1

如图，DE∥BC，AB＝5，AC＝6，AD＝2，求AE的长．ABCDE

解：∵DE∥BC

，∴＝．

∵AB＝5，AC＝6，AD＝2，∴＝．∴AE＝

．

例2

如图，在△ABC

中，DE∥BC，＝，BC＝12，求DE

的长．ABCDE

解：∵DE∥BC

，

∴△ADE∽△ABC．∴＝＝．

∵

＝，BC＝12，∴DE＝BC＝4．