人教版九年级数学下册锐角三角函数《解直角三角形及其应用（第3课时）》示范教学课件

解直角三角形及其应用（第3课时）人教版九年级数学下册解直角三角形的依据有哪些？（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2（勾股定理）．（2）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°．（3）边角之间的关系：，，．ACBabc如图所示，某探险者某天到达点A

处时，所在地的海拔为0

m，他准备估算出自己与海拔为3

500

m

的山峰顶点B

处之间的水平距离．他能想出一个可行的办法吗？ABC如图，BC＝3

500

m，如果测量出此时他看向点B

的视线AB

与水平线AC的夹角（∠A）的度数，根据即可求出他与山峰顶点B

处之间的水平距离AC．观察物体时，我们的视线相对于水平线来说有几种情况？眼睛视线水平线视线三种：重叠、向上和向下．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角．仰角俯角例1

2012

年6

月18

日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接．“神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343

km

的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P

点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与

P

点的距离是多少？（地球半径约为6

400

km，π

取3.142，结果取整数．）求的长，要先求α

的度数FQ

是☉O

的切线，∠FQO

为直角分析：最远点解此题时，需要综合利用圆和解直角三角形的知识．解：设∠POQ＝α，在图中，FQ是☉O

的切线，△FOQ

是直角三角形．∵，∴α≈18.36°．∴的长为（km）．由此可知，当组合体在P

点正上方时，从中观测地球表面时的最远点距离

P

点约2

051

km．利用解直角三角形解决实际问题的一般步骤（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据问题中的条件，选用合适的锐角三角函数解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．例2热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120

m，这栋楼有多高（结果取整数）？分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在图中，α＝30°，β＝60°．

在Rt△ABD中，α＝30°，AD＝120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．解：如图，α＝30°，β＝60°，AD＝120．∵

，

．∴BD＝AD·tanα＝120×tan

30°＝120×＝，CD＝AD·tanβ＝120×tan

60°＝120×＝

．∴BC＝BD＋CD＝＋

＝≈277（m）．因此，这栋楼高约为277

m．求解有关仰角与俯角的问题，关键是根据仰角、俯角的定义画出水平线，找准视角，建立数学模型后构造直角三角形，并结合图形利用锐角三角函数解直角三角形．例3如图（示意图），小明想测量塔AB

的高度．他在D

处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50

m

至C

处，测得仰角为60°，已知小明的身高为1.5

m，那么该塔有多高（结果取整数）？解：如图，∠AD′B′＝30°，∠AC′B′＝60°，CD＝50

m，∴∠D′AB′＝60°，∠C′AB′＝30°，C′D′＝50

m．设AB′＝x

m，∵tan∠D′AB′＝

，tan∠C′AB′＝

．D′AB′BDC′C∴D′B′＝x·tan

60°，C′B′＝x·tan

30°，又∵D′B′－C′B′＝D′C′，∴x·tan

60°－x·tan

30°＝50，∴，即AB′＝43.3

m．由题意知，DD′＝BB′＝1.5

m，∴AB＝AB′＋BB′＝43.3＋1.5＝44.8≈