人教版九年级数学下册《锐角三角函数（第1课时）》示范教学课件

锐角三角函数（第1课时）人教版九年级数学下册如图，在Rt△ABC

中，两个锐角之间有什么关系？三边之间有什么关系？角边角边∠A＋∠B＝90°？a2＋b2＝c2？ACBacb问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡的坡角（∠A）为30°，为使出水口的高度为35

m，需要准备多长的水管？你能用数学语言来表述这个实际问题吗？如何解决这个问题？这个问题可以归结为：如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35

m，求

AB．根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即＝＝，可得AB＝2BC＝70（m）．也就是说，需要准备70

m

长的水管．ABCABC在上面的问题中，如果出水口的高度为50

m，那么需要准备多长的水管？思考B′C′如图，根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即＝＝，可得AB′＝2B′C′＝100（m）．也就是说，如果出水口的高度为50

m，那么需要准备100

m

长的水管．对于有一个锐角为30°的任意直角三角形，30°角的对边与斜边的比是多少？思考在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．问题ABC如图，任意画一个

Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A

的对边与斜边的比．由此你能得出什么结论？在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，∵∠A＝45°，∴Rt△ABC

是等腰直角三角形．由勾股定理得

AB2＝AC2＋BC2＝2BC2，

∴AB＝

BC，∴

＝

＝

＝

．问题ABC如图，任意画一个

Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A

的对边与斜边的比．由此你能得出什么结论？结论：在一个直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于．问题猜想：在

Rt△ABC

中，当锐角

A

的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A

的对边与斜边的比都是一个固定值．由上述两个结论可知，在

Rt△ABC

中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于

，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A

的对边与斜边的比都等于

，也是一个固定值．由此你能猜想出什么一般的结论呢？探究如图，任意画Rt△ABC

和Rt△A′B′C′，使得∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，那么与有什么关系？你能解释一下吗？

＝

．理由如下：∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．∴

＝

，即

＝

．ABCB′C′A′这就是说，在

Rt△ABC

中，当锐角

A

的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A

的对边与斜边的比都是一个固定值．在Rt△ABC

中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A

的正弦，记作sinA，即sinA＝＝．ACB斜边a对边cb例如，当∠A＝30°时，我们有sin

A＝sin

30°＝；当∠A＝45°时，我们有sin

A＝sin

45°＝．∠A

的正弦sin

A

随着∠A

的变化而变化．正弦是一个比值，是两条线段长度的比，是没有单位的数值，只与角的大小有关，与三角形的大小无关．ACB斜边a对边cb提醒（1）正弦是在直角三角形中相对于锐角定义的，反映了直角三角形边与角的关系，不能在非直角三角形中套用．（2）sin

A

是一个整体符号，不能写成乘积的形式，即sin·A

的写法是错误的．（3）若角是用一个大写字母或一个小写希腊字母表示的，则正弦的写法中可省略“∠”，如sin

α；若角是用三个大写字母或数字表示的，则不能省略“∠”，如sin∠ABC．

例1

如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，求sin

A

和sin

B

的值．ABC43（1）BAC513（2）

分析：求sin

A

就是要确定∠A

的对边与斜边的比；求sin

B

就是要确定∠B

的对边与斜边的比．

例1

如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，求sin

A

和sin

B

的值．ABC43（1）BAC513（2）

解：如图（1），在Rt△ABC

中，由勾股定理得

AB＝＝＝5．∴sinA＝＝，

sinB＝＝．

例1

如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，求sin

A

和sin

B

的值．ABC43（1）BAC513（2）

解：如图（2），在Rt△ABC

中，由勾股定理得

AC＝＝＝12．∴sinA＝＝，

sinB＝＝．归纳在直角三角形中，求锐角的正弦值时，如果没有给出锐角的对边长或斜边长，那么应先根据勾股定理求出所需的边长，再根据锐角的正弦的定义求解．

例2

如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，sin

A＝．（1）若AB＝10，求AC

和BC；ACBD

解：（1）∵在Rt△ABC

中，sinA＝＝，AB＝10，

∴BC＝6，∴由勾股定理得

AC＝＝＝8．

例2

如图，在Rt△ABC

中，∠C＝90°，sin

A＝．（2）若AC＝8，求AB

及AB

边上的高CD．

解：（2）∵在Rt△ABC

中，sinA＝＝，

AC＝8，

∴设BC＝3x(x＞0)，则AB＝5x．

由勾股定理得

AC＝＝＝4x＝8，解得x＝2，∴BC＝3x＝6，AB＝5x＝10．

∵在Rt△ACD

中，sinA＝＝，

AC＝8，

∴CD＝4.8．ACBD归纳用正弦值求直角三角形边长的两种方法（1）在直角三角形中，若已知锐角的正弦值及该角的对边长或斜边长，则先直接根据正弦