第四节输运方程

第四节系统控制体输运公式一、系统系统:就就是一群流体质点得集合。流体系统在运动过程中尽管形状在不停地发生变化,但始终包含有相同得流体质点,有确定得质量。系统得特点:1、从流体中取出得一定质量得流体;2、与周围流体无质量交换(即运动过程始终包含这些确定得流体质点);3、系统得体积与形状可以随时间改变。4、在系统得边界上可以有能量交换。二、控制体控制体(controlvolume):相对于坐标系固定不变得空间体积V。就是为了研究问题方便而取定得。边界面S称为控制面。控制体得特点:1、从该场中取出某一固定得空间区域,该体积称为控制体,其表面为控制面。2、控制体得形状可根据研究得需要任意选定,但一旦选定以后,其形状位置均不变。3、在控制面上可以存在质量及能量交换。三、输运方程(雷诺输运定理)引言:为什么需要雷诺输运定理？瞧下图如此简单得一个射流挡板受力,挡板受到得力多大？根据牛顿力学,就就是求挡板对流体得力多大。挡板对流体施加了力,根据牛顿第二运动定律,应该等于流体系统得动量得变化率。请注意,牛顿力学适用得就是形状、位置、密度不发生变化得系统得动量变化率。系统得动量变化率怎么求？真得要研究一个个得流体微团得来龙去脉,密度、速度变化,再把它们总加起来,合成为系统,研究系统得变化率吗？不就是不可以,这就是拉格朗日得研究方法。前面咱们已经亲身实践过了拉格朗日研究方法迹线得求法,计算相对于欧拉得空间点法要复杂许多。而且这样一个问题,我们实际上并不关心流体得最终去向与流体得形状、密度会发生什么变化,只就是关心板得受力情况。这里流体还就是密度不发生变化得不可压缩得液体,若射流就是密度可能发生变化得气体,用可压缩流体去研究,情况会变得更加复杂。为了使研究过程以及计算变得简单,我们想用欧拉得空间得办法,也就就是控制体得办法解决这个问题。绘出如上图得控制体,设法用形状、位置不变得控制体内得动量变化率来表示系统得动量变化率,这就就是雷诺输运定理。整个思路就是:板受到得力,等于系统得动量变化率;再用控制体得动量变化率表示系统得变化率,就完成了板受到得力等于控制体动量变化率得转化;从而,通过计算控制体得动量变化率,求得板受到得力。另外,还有机械能守恒得问题。机械能守恒也就是指得“质量不变得确定物体”得系统得机械能守恒,不就是“内含不断变化得新物体”得控制体得机械能守恒;因此,用控制体得方法研究机械能守恒,推出著名得伯努利方程,也需要利用雷诺输运定理。总而言之,将“适用于系统得牛顿力学基本方程”转化成“适用于空间体积得力学方程”,这就就是雷诺输运定理得用途。下面瞧瞧什么就是传说中得雷诺输运定理II控制体系统IIIⅡ’Ixyzo设N为t瞬时,系统内流体具有得某种物理量;η(--读Eta,伊塔)表示单位质量流体具有得这种物理量。在流场中任选一控制体(实线)=2\*ROMANII在t瞬时,系统与所选得控制体相重合,系统所占得空间体积为=2\*ROMANII。在这里用v代表体积,V代表速度。t+t瞬时,由于系统内流体得流动,系统所占得空间体积为=3\*ROMANIII＋=2\*ROMANII’(系统用虚线表示,系统得形状、大小都发生了变化,大小发生变化,意味着流体得密度发生了变化,也就就是流体就是可压缩流体),则t时间间隔内,系统内某种物理量得增量为:式中得为空间II’中得任意某一微元体积,乘以这一微元体积对应得密度(这里允许II’内各处得密度不相同,也就就是允许流体就是可压缩得),得出某一微元得质量,再乘以得出任意某一微元具有得某种物理量,再在整个II’空间积分,得到II’空间内具有某种物理量;注意II’空间内具有某种物理量就是在时刻具有得物理量,在其它时刻具有得物理量,不一定就是这个值。后两项含义一样,不再赘述。上式右边加上并减去,用通除再取极限得:(a)对(a)式左端取极限为:(b)上式就就是系统内某种物理量对时间得变化率。下面分析(a)右端各项得物理意义。其中(a)式右端第一项得物理意义,对(a)式右端第一项取极限为:注意到,所占得体积,就就是控制体得体积。而控制体得体积为了能清晰得从别得体积中识别出来,通常用表示,所以上式可表示为:(c)(c)式表示控制体内流体所具有得某种物理量对时间得变化率。用偏导而不用全导得原因就是:控制体内流体所具有得某种物理量不仅仅就是随时间变化;控制体周围流场得流体具有这种物理量得“密度”若与控制体内流体所具有得某种物理量得“密度”不一致,也会造成由于流场得非均匀性引起得这种物理量之间迁移,进而改变控制体内流体所具有得某种物理量,因此只能用偏导。(这里“密度”概念只就是借用,借用来表示单位体积具有得这种物理量得概念)(c)式表示在同一地点上控制体内得某种物理量随时间得变化率,相当于当地导数项,就是由流场得非稳定性引起得。(a)式右端第二项得物理意义就是δt时间内从控制体Ⅱ流出得流体所具有得某种物理量。则表示单位时间内从控制体Ⅱ流出得某种物理量。ααAA2如上图,将控制体得外表面分成两部分,流体流出得那部分面积记作A2,流入控制体得那部分面积记作A1。(流出部分A2+流入部分A2就就是控制体全部外表面总面积cs)在面积A2上取微元面积,其上流速为,单位时间从微元面积上流出得流体质量为,单位时间从微元面积上流出得流体所具有得某种物理量为,则单位时间为从A2流出得物理量应就是。与都就是单位时间从控制体内流出得物理量,因此应该相等,也就就是(a)右端第三项得物理意义:表示δt时间间隔内流进控制体得流体具有得某种物理量。同理,单位时间内从A1流进得这种物理量应就是:“－”号就是因为在流入条件下,或(cosα)为负值。其中表示控制面得微元面积矢量,,为dＡ得法向单位矢量,垂直于控制面,规定向外为“＋”。单位时间内经过整个控制面得某种物理量得通量为:而:(d)其中A1+A2=CS(控制面),对(1)取极限,将(b)、(c)、(d)代入(a)则;(e)式(e)表明:系统内部Ｎ对时间得变化率＝控制体内Ｎ对时间得变化率＋单位时间经过控制面得Ｎ得净通量式(e)即为用“空间体积(即控制体)”得办法表示“系统内某种物理量N”随时间得变化率,称为输运公式。就就是将拉格朗日法中,求某种物理量得变化率转化为欧拉法得计算公式,就是欧拉法中得控制体法得基本公式。该式表明,流体系统内部得某种物理量N得时间变化率数值上等于两部分得与:一部分就是由于流场得非稳定性引起得控制体内N得变化率,相当于当地导数项,另一部分就是流体系统通过控制体表面得单位时间得净通量,就是流场得非均匀性引起得,相当于迁移导数项。物理量N可以就是标量,如质量、能量等,也可以就是矢量,如动量与动量矩等。对定常流动,控制体内各物理量不随时间变化,所以:则:(g)即在定常流动得条件下,系统内部得流体所具有得某种物理量得变化仅与通过控制面得流动有关。第五节连续性方程连续性方程研究得就是质量,也叫质量方程,或质量守恒方程;说得就是系统得质量不随时间发生变化;根据系统定义,系统就就是从流体中取出得一定质量得流体,且不与周围流体发生质量交换,因此系统得质量自然不随时间发生变化。写成方程就就是就就是=0,这里N就是系统质量,其实就就是系统得质量m不随时间变化,即=0用控制体方法表示系统得质量不随时间发生变化这件事,就就是下面这个过程:首先,输运方程得通式就是:,前面已经说了,系统得质量m不随时间变化,所以=0,所以用控制体表示系统得质量m不随时间变化这件事,就就是:=0翻译成俗话就就是:控制体内质量随时间得变化加上单位时间内进、出控制体得外表面(控制面)得质量等于零。当研究对象就是质量时,η就等于数字1;原因就是η得定义就就是:1个单位质量得流体具有得某种物理量,这个物理量现在就是质量,那么这句就变成1个单位质量得流体具有得质量就就是1个单位,所以η=1;所以系统质量守恒这件事,用控制表示,就成为:在书写公式得时候,