平面向量的概念及线性运算（六大题型）（讲义）（原卷版）-2025高考数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

第01讲平面向量的概念及线性运算

目录

01考情透视目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03考点突破题型探究............................................................4

知识点1：向量的有关概念........................................................4

知识点2：向量的线性运算........................................................4

知识点3：平面向量基本定理和性质................................................5

知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算..........................................7

解题方法总结...................................................................7

题型一：平面向量的基本概念.....................................................8

题型二：平面向量的线性运算及求参数问题.........................................9

题型三：共线定理及其应用.......................................................10

题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用...................................12

题型五：平面向量的直角坐标运算.................................................15

题型六：向量共线的坐标表示.....................................................16

04真题练习•命题洞见...........................................................16

05课本典例高考素材...........................................................17

06易错分析答题模板...........................................................19

易错点：忽视平面向量基本定理的使用条件.........................................19

答题模板：用基底表示向量.......................................................19

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考点要求考题统计考情分析

(1)向量的有关概念

2024年I卷第3题，5分

(2)向量的线性运算和

2024年甲卷(理)第9题，5分通过对近5年高考试题分析可知，高考在

向量共线定理

2023年北京卷第3题，5分本节以考查基础题为主，考查形式也较稳定，

(3)平面向量基本定理

2022年I卷第3题，5分考查内容一般为平面向量基本定理与坐标运

和性质

2021年乙卷(文)第13题，5分算，预计后面几年的高考也不会有大的变化.

(4)平面向量的坐标表

2022年乙卷(文)第3题，5分

示及坐标运算

复习目标：

(1)理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.

(2)掌握向量的加法'减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.

(3)了解平面向量基本定理及其意义

(4)会用坐标表示平面向量的加法'减法与数乘运算

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㈤2

〃皿SM图•里维己［肮

共线向量［如果1=超0£/),则1〃不反之,一

平面向量的概念及线性运算基本定理'如果3〃引|_后6,则一定存在唯一的实数入，使£=入尻

如果4和.是同一个平面内的两个不共线向量，

那么对丁该平面内的任一向量入都存在唯一的一对实数%,

平面向里

使得公=入£+入£,我们把不共线向量百，4叫做

基本定理

表示这一平面内所有向址的一组基底，记为｛£0｝,

入£+入工叫做向量法丁基底｛£司的分解式.

平面向量基本定理和性质

在△中，若点是边上的点，W£D=IDC

线段定比分点ABCDBC(Z*-l),

则向皿空空

的向量表达式

平面内三点d,B,C共线的充要条件是：

三点共线定理

存在实数1小，使亦=九丽+|1彷，其中1+p=l,。为平面内一点.

在ZVLBC中，若点。是边5c的中点，则中线向量近

平面向量的坐标表示及坐标运算

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考占室硒・题刊摩宓」

知识J

知识点1:向量的有关概念

(1)定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).

(2)向量的模：向量次的大小，也就是向量方的长度，记作|在

(3)特殊向量：

①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.

②单位向量：长度等于1个单位的向量.

③平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0与任一向量平行.

④相等向量：长度相等且方向相同的向量.

⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量.

【诊断自测】下列命题中，正确的是()

A.若同=恸，贝£=BB.若向〉恸，贝日.

C.若"=B，则D.若［〃润//",则Z//Z

知识点2：向量的线性运算

(1)向量的线性运算

运算定义法则(或几何意义)运算律

.①交换律

求两个向量和的ka+b=ba

加法

运算■②结合律

三角形法则平行四边形法则(a+b)+c=a+(b+c)

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求4与B的相反A/X*

向量的和的

减法Z._____a-b=g+(-B)

运算叫做&与3.

的差三角形法则

(1)|25\=\A\\a\

求实数彳与向量(2)当4>0时，25与5的方向相同；当

数乘(Z+pi)a=Aa+jua

a的积的运算2<0时，4G与&的方向相同；

2(万+B)=Aa+Ab

当4=0时,2a=0

【注意】

(1)向量表达式中的零向量写成0,而不能写成o.

(2)两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或

重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系.

(3)要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须

重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首

尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件.

(4)向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：OA-OB=~BA,AM-AN=NM,

OA=OB+CA^OA-OB=CAt^BA-CA=BA+AC=BC.

【诊断自测】MP+PQ-MN=()

A.QNB.NQC.PMD.MP

知识点3：平面向量基本定理和性质

1、共线向量基本定理

如果)=焉(彳€五)，则,/区；反之，如果3/区且很看0,则一定存在唯一的实数X,使。=".(口

诀：数乘即得平行，平行必有数乘).

2、平面向量基本定理

如果1和易是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量方，都存在唯一的一对

实数4,4,使得m我们把不共线向量［,1叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记

为勺｝,\e叫做向量日关于基底的分解式.

｛0x+/l2e2｛00｝

注意：由平面向量基本定理可知：只要向量［与最不共线，平面内的任一向量1都可以分解成形如

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商+的形式，并且这样的分解是唯一的.+叫做I，1的一个线性组合.平面向量基本

定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.

推论1：若/=4G+,则4=4,4=4.

推论2：^5=A1e1+22e2=61则4=4=0.

3、线段定比分点的向量表达式

如图所示，在4ABC中，若点。是边BC上的点，且丽=WC(2^-1),贝!I向量

-=AB+AAC^在向量线性表示(运算)有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神

1+A

奇”之功效，建议熟练掌握.

4、三点共线定理

平面内三点/,B,C夬线的充要条件是：存在实数尢〃，使反=4况+〃砺，其中2+〃=1，。为

平面内一点.此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握.

A,B、C三点共线

o存在唯一的实数X,使得％=2次；

O存在唯一的实数X,^OC=OA+AAB；

O存在唯一的实数;I,使得玩=(1-2)a+2砺；

=存在2+〃=1,使得反二疝+必砺.

5,中线向量定理

如图所示，在△/BC中，若点D溟边BC的中点，则中线向量，5=:(次+/)，反之亦正确.

【诊断自测】在。中，已知。是8C边上靠近点3的三等分点，E是/C的中点，且无=2万+〃次,

则；I+4=()

11

A.—B.—1C.-D.1

22

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知识点4：平面向量的坐标表示及坐标运算

(1)平面向量的坐标表示.

在平面直角坐标中，分别取与％轴，》轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面

向量基本定理可知，对于平面内的一个向量有且只有一对实数使5=行+行，我们把有序实数对

(X,y)叫做向量值的坐标,记作万=(x,y).

(2)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有

向量(X/)向量E、•―点A(x,y).

(3)设：=(再,%),刃=(%,%),则a+B=(X]+%,必+为)，a-b=(xx-x2,yx-y2)>即两个向量的和

与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.

若及=(x,y),X为实数，则须=(&"»),即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相

应坐标.

(4)设/(X],%),B(x2,y2),则48=03-0/=(X[-%，%-%)，即一个向量的坐标等于该向量的有

向线段的终点的坐标减去始点坐标.

(5)平面向量的直角坐标运算

①已知点N(X]，M),8(%，%)，则=-%，%-%)，IAB|=^(x2-xlY+(y2-y^

②已知N=(再,%)，b-(x2,y2),贝!=(再±x?,弘土％),Aa=,

a-b=XjX2+yxy2.

a//boxxy2-x2yt=0,5±K<=>x1x2+yxy2=0

【诊断自测】已知点42,3),3(1,4),且N=_2两，则点尸的坐标是—.

解题方法总结

(1)向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称

为多边形法则.一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向

量.

即立+不;+…+：CS=N-

(2)\\a\-\b\\<\a±b\<\a\+\b\,当且仅当凡B至少有一个为6时，向量不等式的等号成立.

(3)特别地：恒|-向国]±3|或国即+向当且仅当扇】至少有一个为。时或者两向量共线时，

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向量不等式的等号成立.

（4）减法公式：AB-AC=CB,常用于向量式的化简.

（5）A>P、B三点共线o9=（1-。厉+f赤«eR）,这是直线的向量式方程.

题型一：平面向量的基本概念

【典例1-1】（2024・高三•福建厦门•开学考试）下列命题不正确的是（）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.零向量的长度等于0

ab-

c.若石都为非零向量，则使口+付=°成立的条件是々与B反向共线

D.若£=b=c，贝Ua=1

【典例1-2】给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小,

但它们的模能比较大小；③若苏=0u为实数），贝！U必为零；④己知九〃为实数，若苏=痴，则£与3

共线.其中错误命题的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

【方法技巧】

准确理解平面向量的基本概念是解决向量题目的关键.共线向量即为平行向量，非零向量平行具有传

递性，两个向量方向相同或相反就是共线向量，与向量长度无关，两个向量方向相同且长度相等，就是相

等向量.共线向量或相等向量均与向量起点无关.

【变式1-1］下列说法中，正确的是（）

A.若［.|>由，则

B.若向=|浦,贝。

C.若a=石,则a〃6

D.若£中讥贝上与B不是共线向量

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【变式1-2】设Z是非零向量，4是非零实数，下列结论中正确的是()

A.Z与的方向相反B.々与万£的方向相同

C.|-2a|>|a|D.|-Aa|>|2|a

题型二：平面向量的线性运算及求参数问题

【典例2-1】若丽=7,困卜4,贝1蜀的取值范围是()

A.[3,7]B.(3,7)C.[3,11]D.(3,11)

【典例2-2】在平行四边形48co中，E为8。的中点，尸为8C上一点，则方+N万-2m=()

A.2FEB.2EFC.FED.2CF

【方法技巧】

(1)两向量共线问题用向量的加法和减法运算转化为需要选择的目标向量即可，而此类问题又以“爪

子型”为几何背景命题居多，故熟练掌握“爪子型”公式更有利于快速解题.

(2)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或

首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解.

(3)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似

三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.

【变式2-1]如图，在平行四边形/BCD中，下=£,而=否，点E满足及=；就，则诙=().

【变式2-2](2024•宁夏吴忠・模拟预测)如图所示，平行四边形/BCD的对角线相交于点。，E为/O的

中点，若法=/L^+〃/b(/L,〃eR)，则〃等于().

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1

D.——

2

【变式2-3］已知矩形的对角线交于点O,£为4。的中点^DE=AAB+juAD（2,〃为实数）,

则22一ju1）

7C3-2。D.9

AB.-

-49■-2-2

【变式2-4］（2024・高三•安徽•开学考试）古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus）利用如图所示的直角三角

形来构造无理数.已知工8=8。=。。=1，48,5。,/。，。,幺（7与8。交于点。，若丽=入刀+"就，贝I］

%+〃=（）

A.V2-1B.1-72C.V2+1D--41-1

题型三：共线定理及其应用

【典例3-1】已知平面向量Z，B不共线,AB=4a+6b，BC=-a+3^>CD=a+3b>贝U（）

A.A,B,。三点共线B.A,B,。三点共线

C.B,C,。三点共线D.A,C,。三点共线

+；衣，则实数用的值

【典例3-2］如图，在A/LSC中，就=3酢,尸是BN上的一点，若不=

为（）

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A

N

上1

5

1221

AC

9-9-3-D.3-

【方法技巧】

要证明aB,。三点共线，只需证明通与瑟共线，即证刀=4元(2G7?).若已知4,B,。三

点共线，则必有益与前共线，从而存在实数4,使得割=4前.

___2―►

【变式3-1］如图，/5。中，点M是5c的中点，点N满足=4"与CN交于点。，

AD=AAM,则2=()

5

D.

6

【变式3-2］(2024・重庆•模拟预测)已知点G是“5C的重心，点M是线段4c的中点，若

GM=XAB+/LLAC,则九+〃=()

【变式3-3】已知q,%是两个不共线的单位向量，方=9-与石=-2。+左色，若方与3共线，则左=___.

【变式3-4】已知28C的重心为G,经过点G的直线交48于。，交AC于E,若为=%%，AE=^iAC,

e11

则丁丁

【变式3-5］如图，点G为A4BC的重心，过点G的直线分别交直线45,4c点D,E两点,

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AB=3mAD(m>0),AC=3nAE(n>0),贝+；若〃>%>0,则'+二一的最小值为

mn-m

【变式3-6］如图，在。8C中，工5==g/,CD与BE交于点P,AB=2,AC=3,AP-BC=1,

则关•关的值为;过点P的直线/分别交4民4C于点M,N,设AM=mAB,~AN=nAC（m>0,w>0）,

则加+2〃的最小值为.

题型四：平面向量基本定理、交叉分解定理及应用

【典例4-1】（2024•上海浦东新•三模）给定平面上的一组向量M、则以下四组向量中不能构成平面向

量的基底的是（）

A.2,+4和,一4B.ex+3e2和e2+3e1

C.3,和四一69D.,和,+02

【典例4-2］如图，在A45C中，点。,D,£分别为5c和84的三等分点，点。靠近点5,AD交CE于

点尸，设数=5，BA=b^贝1丽=（)

1一4-24-

A.--a+-bB.—a+—bC.-a+-bD.-a+-b

77777777

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【方法技巧】

应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或

数乘运算，基本方法有两种：

(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止.

(2)将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.

(3)三点共线定理：A,B,尸三点共线的充要条件是：存在实数九〃，使赤=2厉+〃砺，其中

2+〃=1,0为4B外一点、.

AD

【变式4-1](2024•全国•模拟预测)在“3C中，点。在边48上且满足==2,E为3c的中点，直线

DB

交4C的延长线于点尸，则丽=()

A.BA+2BCB.-BA+2BCC.2BA-JCD.-2BA+JC

【变式4-2](2024•山西吕梁•三模)已知等边“5C的边长为1,点分别为力民5。的中点，若

丽=3而，则万二（）

1—►5—►1—►3―►

A.-AB+-ACB.-AB+-AC

2624

1―►—►1ULDT3UUUT

C.-AB+ACD.-AB+-AC

222

【变式4-3】在力BC中，，5=2,/C=3,BC=4,/为的内心，若万=兀屈+质,贝|3%+6〃的值

为()

A.1B.2C.3D.4

【变式4-4](2024•江苏扬州•模拟预测)在中，丈=2而，M为线段4。的中点，过M的直线分别

.2—»__>__.

与线段力氏ZC交于尸、0,&AP=-AB,AQ=AAC,则2=()

A—6B-3C—2D.-3

【变式4-5]如图，平面内有三个向量方，OB，OC，其中班历=120。，OA,OC=30°f且

|。/卜卜1,何。|=2>/J,若OC=mOA+nOB，则加+〃=___.

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【变式4-6］（2024•福建漳州•模拟预测）在力3C中，。是边3C上一点，且&）=2QC,E是力。的中点，记

AC=m,AD=n,则砺=（）

A.-n-3nlB.-n-3mC.-m-3n-m-3n

22

【变式4-7］（2024•河北衡水•模拟预测）在中，。是BC的中点，直线/分别与交于点

M,E,N,且加=g万7,AE=2ED,AC=AAN,则2=(

72

42

【变式4-8］（2024•河南•模拟预测）在“3C中，点£为NC的中点，万^2丽，与CF交于点P,且

满足丽=彳而，则2的值为（）

1123

A.§B.了C.§D-4

【变式4-9］在“8C中，BE=^EC,BF=^（BA+BC）,点尸为/E与BF的交点，AP=AAB+^iAC,则

.

【变式4-10］（2024・高三•河南•期中）已知“3C为等边三角形，分别以C4C5为边作正六边形，如图

所示，则（）

BH

___9__►__►―►7—►―►

EF=-AD+4GHB.EF=—AD+3GH

22

EF=5AD+4GH

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题型五：平面向量的直角坐标运算

【典例5-1】已知。为“3C的外心，若N(0,0),8(2,0),/C=l,ZB/C=120。，且而=2益+〃就，则

4+4=()

213

A.-B.2C.1D.—

36

T1f

【典例5-2】。为坐标原点，46,3),若点尸在直线上，且。尸=]尸4,尸是08的中点，则点B的坐

标为—.

【方法技巧】

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标,

则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.

【变式5-1】已知点0(0,0),向量方=0,3),砺=(-3,5),点尸满足点5=2而，则点P的坐标为.

【变式5-2】已知梯形/BCD中，AB/ICD,AB=2CD,三个顶点/(4,2),8(2,4),C(l,2).则顶点。的坐

标.

【变式5-3](2024•全国•模拟预测)在平行四边形/BCD中，点/(0,0),5(-4,4),D(2,6).若/C与

的交点为“，则DM的中点E的坐标为,

【变式5-4】如图所示，在四边形/BCD中，已知/(2,6),5(6,4),C(5,0),£>(1,0),则直线/C与

BD交点P的坐标为.

/、UUU

【变式5-5](2024・高三・上海普陀・期末)在平面直角坐标系xOy中，片(1,0),把向量。々顺时针旋转定角

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。得到西，。关于了轴的对称点记为i=o,i，…/o,则用的坐标为

题型六：向量共线的坐标表示

【典例6-1］已知）=（4,一2）,t=（6,y）,且t/区,贝”=—.

【典例6-2】已知向量存=（2,3）,就=（2~5）,丽=（3,-1）,若4瓦。三点共线，则机=

【方法技巧】

（1）两平面向量共线的充要条件有两种形式：①若1=（匹,“），b=（x2,y2）,则的充要条件是

xty2—x2yt—0；②若）〃/0）,则止=焉.

（2）向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，

也可以利用坐标对应成比例来求解.

【变式6-1】已知向量3=（3,4）石=（-1,5）忑=（2,3）,若1与历+B共线，则实数/=.

【变式6-2】已知向量。==若a〃（a+3）,贝ij机=

【变式6-3］在平面直角坐标系xQy中，已知点4T2）,C（-3,l）.则N3的中点坐标为；当

实数加=时，（加工+OB）//AB.

1.（2023年北京高考数学真题）已知向量瓦［满足日+耳=（2,3）,3_［=（一2,1）,则|歼-标『=（）

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A.-2B.-1C.0D.1

2.（2022年新高考全国I卷数学真题）在小BC中，点。在边ZB上，BD=2DA.记而面=亢,则

CB=（）

A.3m—2nB.—2m+3nC.3玩+2为D.2m+3H

3.（2020年新高考全国卷n数学试题（海南卷））在。8c中，。是4g边上的中点，则而=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

4.（2024年上海秋季高考数学真题）已知上eR肖