2025年高考数学总复习专项训练：随机抽样与用样本估计总体

专练55随机抽样与用样本估计总体

[基础强化]

一、选择题

1.某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的

数据分别为36,36,37,37,40,43,43,44,44,若用样本估计总体，年龄在(7—s,T+s)内的人

数占公司人数的百分比是(其中7是平均数，s为标准差，结果精确到1%)()

A.14%B.25%C.56%D.67%

答案：C

解析：因为x=

36+36+37+37+40+43+43+44+44

--------------------------9--------------------------=40,

s2=g(16+16+9+9+0+9+9+16+16)=-^-,即s=3~,年龄在(x—s,x+s)即(3，g)内

的人数为5,所以所求百分比为卷—0.56=56%,故选C.

2.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中

自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为“7.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].

根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()

频率

A.56B.60C.120D.140

答案：D

解析：由频率分布直方图知，200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1—(0.02+0.10)X2.5

=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200X0.7=140.

3.[2024•九省联考]样本数据16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位数为()

A.14B.16C.18D.20

答案：B

解析：将这些数据从小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,则其中位数为16.故选

B.

4.[2024•新课标H卷]某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的

亩产量(单位：依)并整理得下表：

[900,[950,[1000,[1050,[1100,[1150,

亩产量

950)1000)1050)1100)1150)1200)

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050依

8.100块稻田中亩产量低于1100的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

答案：C

解析：A选项，因为6+12+18=36<50,36+30=66>50,所以100块稻田亩产量的中位数不小于1050

像,A错误；B选项，因为100块稻田中亩产量低于1100做的稻田有66块，所占比例为66%<80%,所以8

错误；C选项，100块稻田亩产量的极差的最大值小于1200—900=300,最小值大于1150—950=200,所

以极差介于200饭至3004之间，C正确；。选项，同一组中的数据都用左端点值来估计，则这100块稻

田亩产量的平均值的最小值为+X（6X900+12X950+18Xl000+30X1050+24X1100+10X1150）=

1042>1000,所以平均值不介于900依至1000口之间，。错误.故选C

5.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村

的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例

则下面结论中不正确的是（）

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

答案：A

解析：设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可得下表:

种植收入第三产业收入其他收入养殖收入

建设前

0.6a0.06a0.04a0.3a

经济收入

建设后

0.74a0.56a0.1a0.6a

经济收入

根据上表可知8、C、。均正确，A不正确，故选A.

6.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，

让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正

确率如下图：

100%

95%

90%

洲85%

看80%*讲座前

闺75%•讲座后

70%

65%

60%

2345678910

居民编号

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

答案：B

解析：由统计图可知，讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率分别为65%,60%,70%,60%,65%,

75%,90%,85%,80%,95%.对于A项，将这10个数据从小到大排列为60%,60%,65%,65%,70%,

75%,80%,85%,90%,95%,因此这10个数据的中位数是第5个与第6个数的平均数，为—罔一°=

72.5%>70%,A错误.对于8项，由统计图可知，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率分别为90%,

85%,80%,90%,85%,85%,95%,100%,85%,100%,所以讲座后这10位社区居民问卷答题的正确

率的平均数为七X(90%+85%+80%+90%+85%+85%+95%+100%+85%+100%)=89.5%>85%,B正

确.对于C项，讲座后这10位社区居民问卷答题的正确率的方差靠=击X[(90%-89.5%)2+(85%-89.5%)2

4225

+…+(85%—89.5%)2+(100%—89.5%)2]=再而，所以标准差s后=6.5%.讲座前这10位社区居民问卷答

题的正确率的平均数为七X(60%+60%+65%+65%+70%+75%+80%+85%+90%+95%)=74.5%,所

以讲座前这10位社区居民问卷答题的正确率的方差为s#=吉X[(60%-74.5%)2+(60%-74.5%)2H---F

14225

(90%—74.5%>+(95%—74.5%)打="而,所以标准差s前心11.93%.所以s前卜后，C错误.对于。项，讲

座前问卷答题的正确率的极差为95%—60%=35%,讲座后问卷答题的正确率的极差为100%—80%=20%,

。错误.故选A

7.(多选)有一组样本数据XI，X2,…，Xn，由这组数据得到新样本数据yi，y2,…，yn，其中y,=Xj+

c(z=l,2,…，n),C为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

答案：CD

解析：A：E(y)=E(x+c)=E(x)+c且c*0,故平均数不相同，错误;

B-.若第一组中位数为X"则第二组的中位数为y,=Xj+c,显然不相同，错误；

C：D(y)=D(x)+D(c)=D(x),故方差相同，正确.

D：由极差的定义知：若第一组的极差为Xmax-Xmi”,则第二组的极差为9加一加=3"@:+C)—(X,”加+

C)—XgaxX”,加，故极差相同，正确.

故选CD.

8.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，贝式)

皿口口…__.ZXIII1,1,,IJ,.

45678910环数0345678910环数

乙

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

答案：C

解析：甲的平均数是4/5+；+7+8=6,中位数是6,极差是4,

、7„(-2)2+(-1)2+02+12+22

方差是--------------5----------------------=2;

乙的平均数是5+5+；+6+9=6,中位数是5,极差是4,

22222

方差是八(一-1)+(-1)+(―-1)+0+3=1y2,比较可得:

9.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表所示：

广告费用x(万元)

销售额y(万元)

AA

根据上表可得经验回归方程为y=6.3x+a,下列说法正确的是()

AA

A.回归直线y=6.3x+a必经过样本点(2,19),(6,44)

——AA

B.这组数据的样本点中心(x,y)未必在回归直线y=6.3x+a上

C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元

D.据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元

答案：D

解析：由表格中的数据可得3=2+3+；+5+6=生

-19+25+34+38+44

丫=5=32,

————A

将点(x,y)的坐标代入经验回归方程得6.3X4+a=32,

A

解得a=6.8,

A

所以回归方程为y=6.3x+6.8.

对于A选项，当x=2时，y=6.3X2+6.8=19.4,A选项错误；

————AA

对于5选项，这组数据的样本点中心(x,y)必在回归直线y=6.3x+a上，5选项错误；

对于C选项，回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额约增加6.3万元，。选项错误；

A

对于。选项，当x=7时，y=6.3X7+6.8=50.9,

所以据此模型预报广告费用为7万元时销售额约为50.9万元，。选项正确.故选D

二、填空题

10.已知一组数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4,则a的值是.

答案：2

解析：由平均数公式可得4+2a+(3；a)+5+6=%解得a=2.

11.某电子商务公司对10000名网络购物者2021年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万

元)都在区间［0.3,0.9］内，其频率分布直方图如图所示.

频率/组距

2.5

2.0

1.5

0.30.40.50.60.70.80.9金额/万元

(1)直方图中的a=；

(2)在这些购物者中，消费金额在区间［0.5,0.9］内的购物者的人数为.

答案：(1)3(2)6000

解析：(l)0.rX(0.2+0.8+1.5+2.0+2.5+a)=l,解得a=3.

(2)消费金额在区间［0.5,0.9］内的购物者的频率为0.1X(3.0+2.0+0.8+0.2)=0.6,所以所求购物者的人

数为0.6X10000=6000.

12.在一容量为5的样本中，数据均为整数，已测出其平均数为10,但墨水污损了两个数据，其中一

个数据的十位数字1未被污损，即9,10,11,1・，■,那么这组数据的方差s2可能的最大值是.

答案：32.8

解析：设这组数据的最后两个数据为10+x,y(xGN,xW9)

：9+10+11+10+尤+y=10X5=50,

.,.x+y=10,.,.y=10一尤.

；.S2=5［l+0+l+/+(y—10)2］=g(2+2f).

;尤W9,.,.当尤=9时，S2取得最大值328

［能力提升］

13.［2024.重庆南开中学月考］今年入夏以来，我市天气反复，降雨频繁.如图统计了上个月前15天的

气温，以及相对去年同期的气温差(今年气温一去年气温，单位：摄氏度)，以下判断错误的是()

40

30

20

10

T0123456789101112131415

-20------------------------------------------------------------------

―今年气温-■■相对去年温差

A.今年每天气温都比去年同期的气温高

B.今年的气温的平均值比去年同期的气温的平均值低

C.去年8〜11号气温持续上升

D.今年8号气温最低

答案：A

解析：由图可知，1号温差为负值，所以今年1号气温低于去年同期的气温，故选项A不正确；除6,

7号，今年气温略高于去年同期的气温外，其他日子，今年气温都低于去年同期的气温，所以今年的气温的

平均值比去年同期的气温的平均值低，选项B正确；今年8〜11号气温上升，但是气温差逐渐下降，说明

去年8〜11号气温持续上升，选项C正确；由图可知，今年8号气温最低，选项D正确.故选A.

14.侈选）［2023・新课标I卷］有一组样本数据尤1，物…，检，其中的是最小值，尤6是最大值，则（）

A.xi,X3，尤4，X5的平均数等于尤1，尤2，…，尤6的平均数

B.尤2，X3，%4，尤5的中位数等于X1，%2，…，X6的中位数

C.尤2，尤3，尤5的标准差不小于芍，彳2，…，/6的标准差

D.Xl,X3,尤4，%5的极差不大于无1，尤2，…，尤6的极差

答案：BD

解析：取尤1=1,无2=刖=工4=无5=2,无6=9,则尤2,X3,尤4,X5的平均数等于2,标准差为0,Xl,%2,…，

X6的平均数等于3,标准差