广西名校联盟2024-2025学年高二上学期入学检测数学试题

2024年秋季学期高二入学检测卷数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章1.1—1.2.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若是空间的一个基底，则下列向量不共面的为（）A.B.C.D.3.已知一组数据为，则该组数据的方差为（）A.B.C.6D.74.已知的三个顶点分别为，且，则（）A.2B.3C.4D.55.在正四棱柱中，，设，则（）A.2B.C.4D.86.在中，角的对边分别为，若，则（）A.6B.4C.3D.27.已知向量的夹角为，且，则在方向上的投影向量为（）A.B.C.D.8.现有7张分别标有的卡片，甲一次性从中随机抽取5张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的2张卡片数字之和为，则的概率为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若空间几何体A的顶点数和空间几何体B的顶点数之和为12，则A和B可能分别是（）A.三棱锥和四棱柱B.四棱锥和三棱柱C.四棱锥和四棱柱D.五棱锥和三棱柱10.已知复数，则（）A.B.C.的虚部为3D.11.抛掷质地均匀的骰子两次，事件“第一次出现偶数点”，事件“第二次出现奇数点”，事件“两次都出现偶数点”，则（）A.包含B.与相互独立C.与互为对立事件D.与互斥但不对立三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若复数为纯虚数，则实数__________.13.《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为__________.14.在四棱锥中，底面为菱形，，点到的距离均为2，则四棱锥的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）某校为了增强学生的身体素质，积极开展体育锻炼，并给学生的锻炼情况进行测评打分.现从中随机选出100名学生的成绩（满分为100分），按分数分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并求这100名学生成绩的中位数（保留一位小数）；（2）若认定评分在内的学生为“运动爱好者”，评分在内的学生为“运动达人”，现采用分层抽样的方式从不低于80分的学生中随机抽取6名学生参加运动交流会，大会上需要从这6名学生中随机抽取2名学生进行经验交流发言，求抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率.16.（15分）在棱长为2的正方体中，为的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求三棱锥的体积.17.（15分）在中，角的对边分别是，已知.（1）证明：.（2）若的面积为1，求.18.（17分）已知不透明的盒子中装有标号为1，2，3的小球各2个（小球除颜色､标号外均相同）.（1）若一次取出3个小球，求取出的3个小球上标号均不相同的概率；（2）若有放回地先后取出2个小球，求取出的2个小球上标号不相同的概率.19.（17分）如图，圆台的上底面直径，下底面直径，母线.（1）求圆台的表面积与体积；（2）若圆台内放入一个圆锥和一个球，其中在圆台下底面内，当圆锥的体积最大时，求球体积的最大值.2024年秋季学期高二入学检测卷数学参考答案1.A因为，所以其对应的点位于第一象限.2.B因为，所以共面；是空间的一个基底，假设共面，则存在不全为零的实数，使得，即，则，无解，故不共面；因为，所以共面；因为，所以共面.3.A因为平均数为，所以方差为.4.D因为，所以，解得.5.C.6.B因为，所以，由余弦定理可得，即，故.7.B因为与的夹角为，所以-10，故在方向上的投影向量为.8.D由题意得，即，由，得.设事件“”，则样本空间可记为，，共包含21个样本点，其中，共包含9个样本点，所以.9.AD三棱锥和四棱柱､五棱锥和三棱柱的顶点数之和均为12，四棱锥和三棱柱的顶点数之和为11，四棱锥和四棱柱的顶点数之和为13.10.BCD因为，所以，的虚部为.11.ABD由题意得包含，A正确.因为，所以与相互独立，B正确.因为与不可能同时发生，且不是必然事件，所以与互斥但不对立，C错误，D正确.12.1由得.13.乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，共有6种排法，其中乾､坤相邻的排法有4种，故乾､坤相邻的概率为.14.如图，因为且底面为菱形，所以为等边三角形.过点作底面的垂线，与底面交于点，作分别垂直于.因为，所以.又，所以平面，则，即，.故四棱锥的体积为.15.解：（1）由直方图知（，则.因为分数在内的频率分别为，所以这100名学生的成绩的中位数为分.（2）因为分数在内的频率分别为，所以用分层抽样方法抽取的6名学生中“运动爱好者”有5人，“运动达人”有1人.设抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人为事件，记这5名“运动爱好者”分别为名“运动达人”为，则从这6名学生中抽取2名学生进行经验交流发言有，，共15个基本事件，而事件包含了5个基本事件，所以，故抽取的2名发言者中恰好“运动爱好者”和“运动达人”各1人的概率为16.解：（1）连接，则.连接，记，则为的中点.连接，取的中点，连接，则是的中位线，所以，所以为所求的角.连接，在中，，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.（2）因为平面，所以，因为正方体的棱长为2，所以，所以.法二：因为，，，且，所以.17.（1）证明：因为，所以，即.根据，得，所以，由正弦定理得，所以，从而.（2）解：由（1）可得.因为的面积为1，所以，解得.又，所以由余弦定理得.18.解：（1）一次取出3个小球，取出小球的编号为的有2种，的有2种，的有2种，的有2种，的有2种，的有2种，的有8种，共20种，而3个小球上标号均不相同的情况为，共8种，所以取出的3个小球上标号均不相同的概率为.（2）记6个小球的标号分别为，则有放回地先后取出2个小球的情况有，，，，，共36种，而2个小球上标号相同的情况有，，共12种，所以取出的2个小球上标号不相同的概率为.19.解：（1）因为圆台上底面半径，下底面半径，母线，所以圆台上底面面积，下底面面积.因为圆台的侧面积所以圆台的表