2025高考数学专项复习：立体几何小题拔高练（解析版）

2025高考数学专项复习立体几何小题拔高练

（解析版）

立体几何小题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）

一、单选题

1.（2023•湖南岳阳•统考二模）已知直线/，加和平面d若月且£口£=/,

则“/_L加”是“/，夕”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023•浙江•永嘉中学校联考模拟预测）已知正方体48co-4用GA的棱长为1,P

是线段用口上的动点，则三棱锥P-45。的体积为（）

1111

A.—B.—C.—D.—

8654

3.（2023•广东广州•统考一模）已知三棱锥尸-4BC的四个顶点都在球。的球面上，

PB=PC=25AB=AC=4,PA=BC=2,则球。的表面积为（）

316匕79—158-79

A.JiB.—7iC.兀D.—兀

151555

-----1—■

4.（2023•江苏连云港•统考模拟预测）已知正四面体力-BCD,AM=QMC,前N为线

段3C的中点，则直线与平面BCD所成角的正切值是（）

A25/14口3V14„4旧「5V14

7777

5.（2023•山东•沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，直三棱柱中，

NACB=],NC=M=1,BC=2,点M是BC的中点，点尸是线段42上一动点，

点。在平面上移动，则P,。两点之间距离的最小值为（）

A.2B.gC.1D.1

323

6.（2023•湖南•校联考模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底

面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马尸-48CD（如图），尸工,平面

ABCD,PA=1,AB=2,AD=3,点E,b分别在力民3。上，当空间四边形尸EFD的周长

A.9兀B.11兀C.12兀D.16兀

7.（2023・湖南长沙糊南师大附中校考一模）如图，已知正四棱台中，

AB=6,4月=4,84=2,点MN分别为/百，的中点，则下列平面中与8月垂

直的平面是（）

A.平面4aoB.平面加WC.平面/GVMD.平面

8.（2023•江苏苏州•苏州中学校考模拟预测）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形

状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通

过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上

下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部，其高度为圆锥高度

的;（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下0.0201?的沙，则该沙漏的一个沙时

9.（2023•广东湛江•统考一模）元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节,

很多地区家家户户都挂花灯.下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六

棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm,

正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm,则该花灯的体积为（）

A.46000^3cm3B.480005/3cm3

C.5000073cm3D.52000百cm，

10.（2023•浙江•模拟预测）在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三

棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖席为四个面都为直角三角形

的三棱锥，如图，在堑堵NBC-44G中，ACLBC,AA,=2,鳖席耳-4。出的外接球

的体积为®1兀，则阳马5-/CCW体积的最大值为（）

3

248

A.-B.—C.—D.4

333

二、多选题

11.（2023•浙江金华・浙江金华第一中学校考模拟预测）如图，在正方体A5CD-4片GA

中，/5=1,点尸在侧面3CG4及其边界上运动，并且总是保持8口，则下列结论

正确的是（）

B.点P在线段4c上

c.町J.平面4Go

D.直线/P与侧面BCG4所成角的正弦值的范围为^-,1

.7

12.（2023•江苏南通・校联考模拟预测）在正方体力BCD-44GA中，点尸满足

率=2西（0V2V1）,贝!］（）

JT1

A.若4=1,则/尸与8。所成角为7B.若AP工BD,贝!M=5

C.平面3CQD.AC1AP

13.（2023•江苏连云港•统考模拟预测）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”

谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是

运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇

形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3,且/N8C=120。，则该圆

C.体积为四1

D.上底面积、下底面积和侧面积之比为

81

1:9:24

14.（2023・江苏•统考一模）正方体48（力-44。14的棱长为3,E,尸分别是棱4G，

G2上的动点，满足2尸=。声，贝I］（）

A.3尸与DE■垂直

B.B尸与。E一定是异面直线

C.存在点E,F,使得三棱锥尸-4BE的体积为二

D.当E,尸分别是耳G,G2的中点时，平面/所截正方体所得截面的周长为3屈+^^

15.（2023•江苏•二模）已知/-BCD是棱长均为1的三棱锥，则（）

A.直线48与CD所成的角90°

B.直线3C与平面ZCD所成的角为60。

c.点c到平面力勖的距离为好

3

D.能容纳三棱锥/-BCD的最小的球的半径为如

4

16.（2023•湖北•校联考模拟预测）如图，正方体ABCD-A^D,棱长为2,P是直线4。

上的一个动点，则下列结论中正确的是（）

B.PA+PC的最小值为2-尬

C.三棱锥片-/CP的体积不变

D.以点5为球心，0为半径的球面与面的交线长辿兀

3

17.（2023・湖北•统考模拟预测）如图，在棱长为4的正方体中，E,F,

G分别为棱NO,AB,8c的中点，点尸为线段2尸上的动点，则（）

A.两条异面直线2c和2G所成的角为45。

B.存在点尸，使得GG〃平面跳才

C.对任意点尸，平面尸CG，平面BE尸

D.点可到直线的距离为4

18.（2023•湖北武汉•华中师大一附中校联考模拟预测）如图，在已知直四棱柱

4BCD-4B£R中,四边形/BCD为平行四边形，E,M,N,尸分别是3C,BB{,AtD,

的中点，以下说法正确的是（）

A.若5c=1,他=也,则。尸「BCX

B.MN//CD

C.MN〃平面

D.若AB=BC,则平面//CC，平面45D

19.（2023・湖南•模拟预测）已知正四棱锥的所有棱长均为2及，E,尸分别

是PC,的中点，M为棱尸3上异于P,B的一动点，则以下结论正确的是（）

JT

A.异面直线斯、尸。所成角的大小为g

B.直线所与平面力5s所成角的正弦值为"

6

C.A£〃F周长的最小值为痛+2血

D.存在点M使得可，平面〃跖

20.（2023•湖南•湖南师大附中校联考模拟预测）如图，正方体/BCD-Z'B'C'D'的棱长

为3,点河是侧面上的一个动点（含边界），点尸在棱CC上，且忸C[=l,则

下列结论正确的有（）

A.沿正方体的表面从点A到点P的最短路程为2而

B.保持尸M与8。垂直时，点M的运动轨迹长度为2夜

C.若保持1PMi=屈，则点M的运动轨迹长度为：兀

99

D.当M在。，点时，三棱锥3'-M4尸的外接球表面积为下兀

21.（2023•广东佛山•统考一模）如图，在正方体MCD-43GA中，点M是棱。2上

A.过点M有且仅有一条直线与Bg都垂直

B.有且仅有一个点M到/瓦Eg的距离相等

C.过点M有且仅有一条直线与NG，8耳都相交

D.有且仅有一个点M满足平面腿4G，平面

22.（2023•广东湛江•统考一模）在棱长为2的正方体"CD-44G。中，点£,尸分

别为棱3C与2G的中点，则下列选项正确的有（）

A./网/平面/EG

B.E尸与8G所成的角为30°

C.平面8/C

D.平面/EG截正方体的截面面积为2面

23.（2023・广东•统考一模）在四棱锥S-/&CD中，SD_L平面/BCD,四边形Z8CL•是

正方形，若SD=4D,贝1］（）

A.ACVSD

B.4c与SB所成角为60°

C.AD与平面SCO所成角为45°

D.8。与平面SZ8所成角的正切值为立

3

24.（2023•浙江•校联考模拟预测）如图,在直三棱柱ABC-44G中，AB=BB、=BC=2,

E,F,N分别为/C,CG和2C的中点，。为棱44上的一动点，且8尸，44，则

下列说法正确的是（）

A.BFLDE

B.三棱锥b-。EN的体积为定值

C.苗瑟=3

D.异面直线4c与4N所成角的余弦值为巫

5

25.（2023•浙江•模拟预测）如图，正方体48co-4用GA，若点"在线段BQ上运动,

B.直线。M与平面BCC4所成角的最大值为g

c.AM1A{D

D.点M到平面⑪与到平面/CD的距离之和为定值

26.（2023•浙江嘉兴•统考模拟预测）已知正方体的棱长为2,M,N

分别为48,CG的中点，且儿W与正方体的内切球。（O为球心）交于E,尸两点，

则下列说法正确的是（）

A.线段E尸的长为g

B.过O,M,N三点的平面截正方体4G所得的截面面积为3百

C.三棱锥。-。所的体积为3

6

7T

D.设P为球。上任意一点，则力尸与4。所成角的范围是0,-

三、填空题

27.（2023•浙江•校联考三模）将两个形状完全相同的正三棱锥底面重合得到一个六面

体，若六面体存在外接球，且正三棱锥的体积为1,则六面体外接球的体积为

28.（2023,江苏南通,二模）已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m,下边长为1m,

且下边距地面1m.若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为

矩形，其面积为L5m2,则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为n?.

29.（2023・湖北•校联考模拟预测）已知正三棱锥的各顶点都在表面积为64%球面上，正

三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.

30.（2023・湖南郴州•统考三模）已知三棱锥尸-/3C的棱长均为4,先在三棱锥尸-48C

内放入一个内切球0,然后再放入一个球使得球。2与球。।及三棱锥尸-"8C的

三个侧面都相切，则球5的表面积为

立体几何小题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）

一、单选题

1.（2023•湖南岳阳•统考二模）已知直线/，加和平面d若月且£口£=/,

则“/J■加”是“八力”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由面面垂直的性质、线面垂直的定义结合充分必要条件的定义判断即可.

【详解】当机时，由且aC6=俏，得”;

当/1£时，因为=机，所以加u〃，所以/_L/M.

即“小加”是“八夕”的充要条件.

故选：C

2.（2023•浙江•永嘉中学校联考模拟预测）已知正方体48co-44GA的棱长为1,p

是线段瓦A上的动点，则三棱锥2-/不。的体积为（）

1111

A.—B.—C.—D.一

8654

【答案】B

【分析】先由线面平行的判定定理证得片2〃面49，从而得到

[BD=—BD=七一4g，再结合锥体的体积公式即可得解.

【详解】因为在正方体ABCD-45c夕1中，BBJ/DD,,BBX=DD,,

所以四边形劭是平行四边形，故BQJIBD,

又2.江面450,BDu面4BD,所以为D"/面4即，

因为尸是线段4。上的动点，所以P到面ABD的距离与2到面A.BD的距离相等，

所以％4加=&3。=%4皿=gx；xlxlxl=：

故选：B.

3.（2023•广东广州•统考一模）已知三棱锥尸-4BC的四个顶点都在球O的球面上，

PB=PC=25AB=AC=4,PA=BC=2,则球。的表面积为（）

31679-158-79

A.------71B.—71C.71D.—71

151555

【答案】A

【分析】根据给定条件，证明尸平面再确定球心。的位置，求出球半径作答.

【详解】在三棱锥P-ABC中，如图，N"+pAi=20=PB-，则R4，NB,同理尸/，/C,

而48ClNC=/,48,/Cu平面ABC,因此尸N_L平面ABC,

在等腰中，AB=AC=4,BC=2,贝U_5_],

CO////11.,——

AB4

sinZABC=dl-cos1NABC=—

A

令“BC的外接圆圆心为a,则。平面NBC,°I=YsinZABC~^15

有。。"/尸N,取P4中点D,连接OD,则有OD_LP4,又。/u平面ABC,即O,A1PA,

从而O///OD,四边形为平行四边形，OQ=NO=1,又00403,

因此球。的半径R2=。/=。/2+GO?=4后）2+12=—

所以球。的表面积S=4兀甯=二7九

故选：A

——►1——►

4.（2。23•江苏连云港•统考模拟预测）已知正四面体“-3。,/.二女,点N为线

段BC的中点，则直线MN与平面BCD所成角的正切值是（）

口3V14「4旧「5幅

A,现

7777

【答案】C

【分析】作出图形，找出直线九W与平面BCD所成角的平面角，在三角形内即可求解.

【详解】如图，过点A向底面作垂线，垂足为O,连接AN,ON,OC,MN,

过点M作MG_LOC于G,连接NG,

2

由题意可知：MGI/AO且MG=—AO,

3

因为20_L平面BCD,所以MG_L平面BCD,

则NMNG即为直线与平面BCD所成角的平面角，

设正四面体的棱长为2,则NN=6，ON=-xy/3=—,

33

所以AOZAN?-ON?二位,贝I]MG=2ZO=短，

339

在AACVC中，由余弦定理可得：MN-yjNC2+MC2-2NC-MCcos60°=—,

3

22

在RtATWG中，NG=yjMN-MG=AI—--=—,

\9279

4V|

所以tanNMVG=妁=-^=勺好，

GN叵7

~9~

所以直线MN与平面58所成角的正切值是生但，

7

故选：C.

5.（2023•山东•沂水县第一中学校联考模拟预测）如图，直三棱柱4G中，

2CB=3,/C=/4=l,8c=2,点河是BC的中点，点尸是线段4B上一动点,

点。在平面/MG上移动，则P，。两点之间距离的最小值为（）

A.-B.|C.|D.1

323

【答案】A

【分析】根据题意可证：48〃平面NMG，可得P,。两点之间距离的最小值为d,

利用等体积法求d,即可得结果.

【详解】连接4c交/。于点。，连接0W,

•1,O,M分别为4C8C的中点，则OMIIA\B,

且（Wu平面/"G，/出《平面/可。］，

：.4B〃平面/MG，

则点P到平面/"G的距离相等，设为"，贝！］p,。两点之间距离的最小值为d,

即点4到平面/"G的距离为，，

：4C的中点。在上，则点C到平面AMC.的距离为d,

由题意可得为AC=CM=C1M=1,4cl=AM=MC、=4i,

1

由^C-AMCX=Vc「ACM，贝J’xdxLx拒xV^x、xlxLlxl，解得

322323

故尸，。两点之间距离的最小值为d=@.

3

故选：A.

6.（2023•湖南•校联考模拟预测）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底

面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马尸-/BCD（如图），尸/，平面

ABCD,PA=1,AB=2,AD=3,点E,b分别在力民上，当空间四边形尸成办的周长

最小时，三棱锥尸-4。尸外接球的表面积为（）

A.9兀B.11兀C.12KD.16K

【答案】B

【分析】把/尸，尸3剪开，使得AP/3与矩形/5CD在同一个平面内.延长DC到使

得CM=DC,则四点P,E,F,M在同一条直线上时，PE+EF+FD取得最小值，即空

间四边形PEFD的周长取得最小值.可得CF=；PD=2,：.BF=\.：.点、E为AB的中点.

AF

设△“阳的外心为。「外接圆的半径为，，则”诉，利用勾股定理进而得出结

论.

【详解】如图所示，把/P,可剪开，使得AP/8与矩形/BCD在同一个平面内.

延长。C到〃，使得CM=DC,则四点P,E,F,M在同一条直线上时，PE+EF+FD

取得最小值，即空间四边形尸EED的周长取得最小值.可得B尸。=2,，台尸=1..♦.点

E为N8的中点.

如图所示，设△语的外心为。「外接圆的半径为，，则”许AF二血I—.

设三棱锥尸-疝力'外接球的半径为七球心为。，连接。。1,则。。1=3尸4=g,

则R2=2・•・三棱锥尸-/世外接球的表面积=4兀旌

故选：B.

7.（2023•湖南长沙•湖南师大附中校考一模）如图，已知正四棱台N3CD-4片G。中,

AB=6,44=4,24=2,点分别为44，4G的中点，则下列平面中与2片垂

直的平面是（）

A.平面4cB.平面加WC.平面NCNMD.平面

【答案】C

【分析】延长四,3片,。弓，">1交于一点尸，取尸8中点。，连接/©C。，根据三角形

相似及长度关系可得为等边三角形，即可得“0，尸B,CQYPB,由长度关系及

平行可证明△。耳工QB、N~AQBC,即可证明M在/。上，N在C0上，

再根据线面垂直的判定定理即可得出结果.

【详解】解：延长河,34，CG，DA交于一点尸，取心中点。，连接工。<0,如图所

因为正四棱台/BCD-43c夕1，所以P-/由GQ为正四棱锥，

因为48=6,4片=4,BBi=2,且△尸4瓦~△尸48,

所以察=能即2赢，解得股=牝

所以PB=PA=AB=6,即△PAB为等边三角形，

因为。为心中点，所以心，且3=3,同理可得C0,依,

因为84=2,所以。与=1,即碧=：,

因为监N为4昂中点，所以4=2,

QBXJ_zQB空△/

“又MB[2-AB，NB12-CB'

因为ZQB\M=ZQBA,ZQB、N=AQBC,

所以AQB\M~^QBA,丛QB\N~AQBC,

所以ZQMB、=ZQAB,ZQNB,=ZQCB,

因为NB.//CB,

所以M在/。上，N在C。上，

因为CQLPB,所以/M_LPB,CN1PB,

即CN1BB},因为/Mu平面4WCN,CNu平面ZMCN,

AM^CN^Q,所以A81，平面NMCN.

故选：C

8.（2023•江苏苏州•苏州中学校考模拟预测）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形

状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通

过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上

下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部，其高度为圆锥高度

的9（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下O.OZcn?的沙，则该沙漏的一个沙时

【答案】C

【分析】由圆锥的体积公式计算细沙体积和沙堆体积，根据细沙体积不变即可求解.

【详解】沙漏中的细沙对应的圆锥底面半径为gx4=g,高为?，

333

所以细沙体积为，XTTX(学］x”■=1°247r(crtr

3⑴3811

1024

所以该沙漏的一个沙时为'F万1985秒'

0.02

故选：C

9.（2023•广东湛江•统考一模）元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节,

很多地区家家户户都挂花灯.下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六

棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm,

正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm,则该花灯的体积为（）

A.46000^3cm3B.480005/3cm3

C.5000073cm3D.52000百cm，

【答案】C

【分析】根据给定的几何体，求出正六棱台两底面积，再利用台体、柱体的体积公式计

算作答.

【详解】依题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，

正六棱台的两个底面积分别为d=6x中X202=600x/3(cm2),

v=6x—x402=2400^(cm2),

4

所以花灯的体积

,

r=60S1+1xl0x(S1++(S2)=60X600A/3+|X10X(60073+,600君x2400g+240073)

=5000073(cm3).

故选：C

10.(2023・浙江•模拟预测)在《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三

棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖腌为四个面都为直角三角形

的三棱锥，如图，在堑堵NBC-N4G中，ACVBC,AAX=2,鳖的外接球

【答案】B

【分析】设/C=x,BC=y，4-4G8的外接球半径为「，根据鳖麝4-4。避的外接球的

体积即可求得r,再根据的外接球的半径与三棱柱NBC-44G的外接球的半

径相同可得到x,y的关系式，再根据四棱锥的体积公式结合基本不等式即可求解.

【详解】设/C=x,BC=y,耳-4GB的外接球半径为r,

则B「AgB的外接球的体积为如/=迤£/=0.

33

,.1x2+y2+4=（2r）2=8,.,.x2+y2=4.

又阳马8-/CG4的体积为/TCC/=JxSnACC,A,X5C=gX2X孙Wg（一+y2）=,

4

所以阳马8-/eq4体积的最大值为§.

故选：B.

二、多选题

11.（2023•浙江金华・浙江金华第一中学校考模拟预测）如图，在正方体A5CD-4片GA

中，/5=1,点尸在侧面3CG片及其边界上运动，并且总是保持8口，则下列结论

正确的是（）

A.Pp-A^D=§

B.点P在线段4c上

c.ADJ平面4Go

D.直线/P与侧面BCG4所成角的正弦值的范围为学』

【答案】BC

【分析】对A,由面面平行说明"4D-CD；

对B,以。为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，由向量法说明与，C,P三点共

线；

对C,由向量法证南，西，西，西，再由线线垂直证8〃，平面

对D,由向量法求线面角，进而讨论范围.

【详解】对于A,点尸在平面BCC\B、内，平面BCCE//平面44Q,所以点尸到平面AAXD

的距离即为点C到平面44。的距离，即正方体的棱长，

所以七一.0=；1443-CO=；x；xlxlxl=1,A错误；

3326

对于B,以。为坐标原点可建立如图的空间直角坐标系，

则/(1,0,0),尸(x,l,z),5(1,1,0),^(0,0,1),g(1,1,1),C(0,l,0),且OVxWl,OVzVl,

所以后](x-西二(f-U),^C=(-l,0,-l).

因为4P_L8D],所以/PBD]=l-x-l+z=0,所以X=z,即尸,所以CP=(x,0,x),

所以而=-x而，即4，C,尸三点共线，故点P在线段4c上，B正确；

对于c,4(1,0,1),G(0,1,1),瓯=(1,0,1),%=(0,1,1),西=(一1,一1,1),

由函・函=0,西—西=0=丽_1西,西_1西，

因为。4CZ）G=。，DA-0Gu平面4G。，所以BD]_L平面MG。，c正确;

对于D,万=（x-l,l,尤），04x41,平面BCG片的一个法向量为丽=（0,1,0）.

设后与平面8CCe的夹角为。，。为锐角，

.n\m-AP\111

2

其正弦值为一同网一卮产41Jrn+3-

由OVxVl,得YlvsinSV近，D错误.

23

故选：BC.

12.(2023•江苏南通・校联考模拟预测)在正方体力BCD-44中，点尸满足

率=2丽(0V2V1),贝I]()

7T

A.若4=1,则/尸与8。所成角为二B.若AP工BD,贝!|彳=—

42

C.4P〃平面8CQD.AtC1AP

【答案】BCD

【分析】NQ与3。所成角为与3a所成角，为60。,A错误，建系得到

AP-DB=-A+l-A=O>B正确，故面/口片〃面G?。，C正确，4C-AP=0,D正确,

得到答案.

【详解】对选项A：%=1时P与2重合，42与8。所成角为与8a所成角，/BQI

为等边三角形，则/尸与8。所成角为60。，错误；

对选项B：如图建立空间直角坐标系，令40=1,率=2瓦耳，P(l-2,1-A,l),

ZP=(-A,1-2,1),DS=(1,1,0),2P-Z)5=-A+1-A=O-2=g,正确；

对选项C：D\B"BD,A4a平面BOu平面ADG，故。4〃平面8£>G，

同理可得gH平面CXBD,AD{cBR=j,故面ADR"面CXBD,/Pu平面ADXBX,

/P〃平面C/Z),正确;

对选项D：4C=(-1,1,-1),4C-Zp=A+l-/t-l-0,4C±AP,正确.

故选：BCD

13.（2023•江苏连云港•统考模拟预测）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”

谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是

运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇

形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3,且“BC=120。，则该圆

台（）

图1图2

高为迪

A.B.表面积为34等71

3

C.体积为至1

7tD.上底面积、下底面积和侧面积之比为

81

1:9:24

【答案】BCD

【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断

A；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B,C；进而求得上底面

积、下底面积和侧面积之比，判断D.

【详解】对于A,设圆台的上底面半径为厂，下底面半径为R,则

2兀/=--27T-1,2TIR=--271-3,

33

解得/-/，尺力,所以圆台的母线长为3-1=2,高为〃=F_（T=警,选项A错

误；

11O

对于B,圆台的上底面积为,兀，下底面积为兀，侧面积为兀x（§+l）x2=］兀，

所以圆台的表面积为S=*兀+兀+：兀=等兀，选项B正确；

对于C,圆台的体积为匕=,兀.[dy+\i+P）.逑=2叵，选项C正确；

333381

1Q

对于D,圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为§兀：兀:写兀=1:9:24,选项D正确，

故选：BCD.

14.（2023・江苏•统考一模）正方体的棱长为3,E,尸分别是棱4G，

G2上的动点，满足。/=GE,贝。（）

A.B尸与DE•垂直

B.8尸与。£一定是异面直线

C.存在点E,F,使得三棱锥尸-48E的体积为二

4

D.当E,尸分别是耳G,G2的中点时，平面力.截正方体所得截面的周长为g血

【答案】ACD

【分析】设GE=A尸=ae[0,3],利用坐标法可判断A,利用特值法可判断B,根据体积

公式表示出三棱锥尸-43E的体积可判断C,作出截面结合条件可得周长判断D.

【详解】如图建立空间直角坐标系，设。田=2尸=“«0,3],

则。（0,0,0）,8（3,3,0）,£（a,3,3）,尸（0,a,3）,

A：由题可得而=（-3,0-3,3）,瓦=（见3,3）,所以丽・瓦=—3a+3（a—3）+3x3=0,

所以旃_L方后，即3尸_LDE，故A正确；

B：当E,尸为中点时，DB=（3,3,O）,FE=（J,^,ojDB,所以E尸//BD,B,D,F,

E四点共面，此时8尸与DE不是异面直线，故B错误；

C：由GE=*=ae[0,3],可得知即=9音-由泸-咚©=+9）,

则%W=嚷的=；x3x；（"-3a+9）=；（a-j]+已„,由于&，故C正

jzZ）o|_oZJ-L°

确；

D：直线E尸与4综42分别交于G,〃，连接/G,/〃分别交8月，于点M,N,

则五边形ANFEM为平面AEF截正方体所得的截面，

因为E,尸分别是4G，CQ］的中点，

7T13

所以易得NQEF=NHFR=',故可得=用后=，尸=5/8=§,

因为所以刍丝=型=!，

BMBA2

可得用=同理可得2N=gND=l,所以五边形4VFW的周长为

219+4+$+［）+/1+：=,故D正确.

故选：ACD.

15.（2023•江苏•二模）已知/-BCD是棱长均为1的三棱锥，则（）

A.直线48与CD所成的角90°

B.直线3C与平面/CD所成的角为60。

C.点C到平面N5Q的距离为逅

3

D.能容纳三棱锥/-BCD的最小的球的半径为如

4

【答案】ACD

【分析】根据正四面体的结构特征、线面垂直判定及性质、线面角定义逐一计算或判断

各项正误即可.

【详解】A：若E为C。中点，连接由题设知：各侧面均为等边三角形，

DEC

所以_LC£»,BE_LC£>,AEIBE=E,4E,BEu面4BE,则0）_1_面/班，

又48u面/BE,故48_LCZ）,正确；

B：若万为面/CD中心，连接3尸，则5尸，面/CD,CFu面/CD,

所以直线BC与平面NCD所成的角为4CF,且AFLCF,而c尸=工1、1=",

323

故cos/5c尸=”=",显然/3CF不为60°,错误；

BC3

C：由B分析8尸=J3。2-CO?=",即该正棱锥的体高为Y6,故C到平面N9的距

33

离为渔，正确；

3

D：显然正棱锥的外接球半径最小，令其外接球半径为R,贝1]上=（，一尺>+（g）2,

所以夫=巫，正确.

4

故选：ACD

16.（2023•湖北•校联考模拟预测）如图，正方体9CD-44GA棱长为2,尸是直线4。

上的一个动点，则下列结论中正确的是（）

4

A

A.8尸的最小值为血

B.PA+PC的最小值为2,2-尬

C.三棱锥瓦-/CP的体积不变

D.以点5为球心，0为半径的球面与面48。的交线长辿兀

3

【答案】ACD

【分析】根据BP的最小值为等边三角形的高，可求得A正确；将△/同。与矩

形44CZ）沿4。翻折到一个平面内，可知所求最小值为/C,利用余弦定理可求得B

错误；利用体积桥腺TW=匕叫w可求得三棱锥用-/CP的体积为定值，知C正确；利

用体积桥可求得点B到平面的距离，根据交线为圆可求得交线长，知D正确.

【详解】对于A,在AB/Q中，AxB=BD=AxD=2y[2,即AB/Q是边长为2啦的等边

三角形,

B

.•.2P的最小值为的高，，瓦益=次=1=6，A正确；

对于B,将△44。与矩形4片。沿4。翻折到一个平面内，如图所示,

则尸/+PC的最小值为/C；

TT7T

又AD=CD=2,ZADA=-,ZA.DC=~,

42

.•.在A/CQ中，由余弦定理得：/。2=4+4一8cos型=8+4行，

4

AC=272+72-即(P/+PC)1nhi=212+0，B错误；

对于c,•.,同片，平面,/Au平面；

v四边形为正方形，，

又44门4。=4，/百,4。u平面44。。，.平面4与co；

：•七.ACP=VA-B[CP=[S△Bgp,g4D1=；S口AB\CD,g4D1=：x2义26义亚=:,

J乙Vz乙VzJ

即三棱锥用-/CP的体积不变，C正确;

对于D,设点3到平面的距离为d,

*—B-ABiC=VB「ABC,~S"B]C'~^^ABC-BB{,即工x2亚x23='x2x2x2,解

33222

彳日“26

pf:d_---,

3

•••以点5为球心，V2为半径的球面与平面48。的交线是以，2-屋=Y6为半径的圆,