5.3对数函数（第1课时对数函数的概念图象和性质）课件高一上学期数学北师大版

3对数函数第1课时对数函数的概念、图象和性质第四章对数运算与对数函数北师大版

数学

必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标课程标准1.通过具体实例,理解对数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出对数函数的图象,探索并理解对数函数的单调性与特殊点.3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).基础落实·必备知识一遍过知识点1

对数函数1.对数函数的概念一般地,函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作对数函数,其中a称为

,由定义可知,对数函数具有以下基本性质:①定义域是

;②图象过定点

.

2.两种特殊的对数函数特别地,我们称以

为底的对数函数为常用对数函数,记作y=lgx;称以

为底的对数函数为自然对数函数,记作y=lnx.

底数

(0,+∞)(1,0)10无理数e3.反函数指数函数y=2x和对数函数x=log2y刻画的是同一对变量x,y之间的关系,所不同的是:在指数函数y=2x中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;而在对数函数x=log2y中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).我们称对数函数x=log2y是指数函数y=2x的反函数,同时,也称指数函数y=2x是对数函数x=log2y的反函数.名师点睛1.判断一个函数是对数函数的依据:(1)形式满足y=logax;(2)底数a满足a>0,且a≠1;(3)真数为x,而不是x的函数.2.根据指数式与对数式的关系知,y=logax可化为ay=x,由指数函数的性质,可知在对数函数中,有a>0,且a≠1,x>0,y∈R.思考辨析1.函数y=2x与函数x=log2y的图象有什么关系?2.函数y=2x的图象与函数y=log2x的图象有什么关系?提示

重合.提示

关于直线y=x对称.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=log2(x+5)是对数函数.(

)(2)对数函数y=log2x的定义域为R.(

)(3)函数y=log2x与y=x2互为反函数.(

)×××2.[人教A版教材例题]求下列函数的定义域:(1)y=log3x2;(2)y=loga(4-x)(a>0,且a≠1).解

(1)因为x2>0,即x≠0,所以函数y=log3x2的定义域是{x|x≠0}.(2)因为4-x>0,即x<4,所以函数y=loga(4-x)的定义域是{x|x<4}.3.[人教B版教材例题]判断f(x)=2x+2的反函数是否存在,如果不存在,说明理由;如果存在,写出反函数f-1(x)的解析式,并在同一平面直角坐标系中作出f(x)与f-1(x)的函数图象.解

因为f(x)=2x+2是增函数,因此任意给定值域中的一个值,只有唯一的x与之对应,所以f(x)存在反函数.令y=2x+2,对调其中的x和y得x=2y+2,解得y=x-1,因此f-1(x)=x-1.f(x)与f-1(x)的函数图象如图所示.知识点2

对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象和性质

图象和性质a>10<a<1图象

性质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R(3)过定点(1,0),即x=1时,y=0(4)当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0(4)当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0(5)在定义域(0,+∞)上是增函数当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于正无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于负无穷大(5)在定义域(0,+∞)上是减函数当x值趋近于正无穷大时,函数值趋近于负无穷大;当x值趋近于0时,函数值趋近于正无穷大名师点睛1.对数函数的图象都在y轴的右侧,x的取值越接近于0,图象越接近y轴.2.对数函数函数值的符号常受到底数和真数的范围的制约,注意对底数a的分类讨论.3.两个底数都大于1的对数函数,图象在第一象限内越接近x轴,底数越大;两个底数都大于0小于1的对数函数,图象在第四象限内越接近x轴,底数越小.思考辨析请探求f(x)=|lgx|与g(x)=lg|x|在区间[1,+∞)上的单调性.提示

f(x)=|lg

x|与g(x)=lg|x|在[1,+∞)上均为增函数.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)函数y=log5(x+1)的定义域是(0,+∞).(

)(2)函数y=log2x2在R上单调递增.(

)(3)函数f(x)=的值域是[-2,+∞).(

)(4)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象一定在y轴的右侧.(

)(5)log20.35>log20.3.(

)×××√√2.(多选题)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是(

)AB3.[人教B版教材例题]比较下列各题中两个值的大小:(1)log0.33与log0.35;(2)ln3与ln3.001;(3)log70.5与0.解

(1)因为0<0.3<1,所以y=log0.3x是减函数,又因为3<5,所以log0.33>log0.35.(2)因为e>1,所以y=ln

x是增函数,又因为3<3.001,所以ln

3<ln

3.001.(3)因为7>1,所以y=log7x是增函数,又因为log71=0,而且0.5<1,所以log70.5<log71=0.4.[人教B版教材例题]已知log0.7(2m)<log0.7(m-1),求m的取值范围.重难探究·能力素养速提升探究点一对数函数的概念【例1】

(1)已知函数f(x)=(m2-3m+3)logmx是对数函数,则m=

.

2解析

由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.(2)已知对数函数f(x)的图象过点①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.规律方法

1.对数函数是一个形式定义:2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只需一个条件即可.变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=

.

4(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=

.

探究点二指数函数与对数函数关系的应用【例2】

已知函数f(x)=log2x,若函数g(x)是f(x)的反函数,则f(g(2))=(

)A.1 B.2 C.3 D.4A解析

∵g(x)是f(x)的反函数,∴g(x)=2x.∴g(2)=22=4,∴f(g(2))=f(4)=log24=2.规律方法

涉及指数函数和对数函数互为反函数的问题,一定注意前提是“同底数”,且它们的图象关于直线y=x对称;反之,两个函数图象关于直线y=x对称,则这两个函数互为反函数.变式训练2已知函数g(x)=f(x)+x2是奇函数,当x>0时,函数f(x)的图象与函数y=log2x的图象关于直线y=x对称,则g(-1)+g(-2)=(

)A.-7 B.-9C.-11 D.-13C解析

由题意知f(x)=2x,故当x>0时,g(x)=2x+x2.∵g(x)为奇函数,∴g(-1)=-g(1)=-3,g(-2)=-g(2)=-(22+22)=-8.∴g(-1)+g(-2)=-11.探究点三与对数函数有关的定义域、值域问题【例3】

(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为(

)A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1)D.[0,1]A解析

由题意得x2-x>0,解得x>1或x<0,故函数f(x)的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.(2)已知函数

的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是

.

变式探究本例(1)中的函数变为,结论又如何?规律方法

定义域问题注意事项(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.探究点四对数函数的图象【例4】

函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示.(1)指出三个函数分别对应于哪个图象.(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出

的图象.(3)从(2)的图中你发现了什么?解

(1)①对应函数y=lg

x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.规律方法

对数函数图象的变化规律

(1)对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即各函数的底数,如图所示.(2)牢记特殊点:对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点(1,0),(a,1),变式训练3作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解

先作出函数y=lg

x的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).图①

图②

最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).图③

由图易知函数的定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),函数在区间(1,2]上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增.探究点五利用对数函数的性质比较大小【例5】

比较下列各组中两个值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a>0,且a≠1).解

(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.9<2,所以f(1.9)<f(2),即log31.9<log32.(2)(中间量法)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32.(3)当a>1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπ>loga3.141;当0<a<1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有logaπ<loga3.141.综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.141;当0<a<1时,logaπ<loga3.141.规律方法

比较两个对数式大小的常用方法

对于含有参数的两个对数值的大小比较,要注意对底数是否大于1进行分类讨论,不过对于这一类的大小比较问题,并不是底数为参数时,就一定要讨论,而应遵循的原则是尽量回避或推迟讨论.变式训练4(1)下列不等式成立的是(其中a>0且a≠1)(

)A.loga5.1<loga5.9C.log1.1(a+1)<log1.1aD.log32.9<log0.52.2B解析

对于选项A,因为a和1大小的关系不确定,无法确定对数函数的单调性,故A不成立;对于选项B,因为以

为底的对数函数是减函数,故B成立;对于选项C,因为以1.1为底的对数函数是增函数,故C不成立;对于选项D,log32.9>0,log0.52.2<0,故D不成立.故选B.★(2)设a=log32,b=log53,c=,则(

)

A.a<c<b B.a<b<c

C.b<c<a D.c<a<bA本节要点归纳1.知识清单:(1)对数函数的概念;(2)反函数;(3)对数函数的图象与性质及应用.2.方法归纳:待定系数法、分类讨论法、数形结合法.3.常见误区:对数函数中隐含的条件,真数大于0,底数大于0且不等于1容易忽视,求与对数函数有关的定义域时,易漏掉真数大于零的情况.学以致用·随堂检测促达标123451.函数

+lg(x+1)的定义域为(

)A.[-1,3) B.(-1,3)C.(-1,3] D.[-1,3]6C123452.函数

在区间[1,2]上的值域是(

)A.[-1,0] B.[0,1]C.[1,+∞) D.(-∞,-1]6A123453.设a与b均为实数,a>0,且a≠1,已知函数y=loga(x+b)的图象如图所示,则a+2b的值为(

)A.6 B.8

C.10