江西省某中学2023-2024学年高一年级下册6月期末考试数学试题（含答案解析）

江西省丰城中学2023-2024学年高一下学期6月期末考试数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.i5z=（2+i）2-（l+2i）2,贝“z+8i|=（）

A.10B.9C.475D.3a

2.已知冬片6,AGR,。=弓+鸡，~b=2ex,则£与各共线的条件为（）

A.4=0B.

C.ej/e2D.,〃电或/1=0

3.已知向量Z=（2,4）1=（3,T）,贝心力=也''是"（）+石），,一的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列函数中，周期为兀且在上单调递增的是（）

A.j^=tan|x|B.y=sin|x|

C.y=|sinx|D.y=|cosx|

5.已知+=；，则cos（a—充）的值为（

）

1717

A.—B.-C.—D.——

3838

6.已知函数/（x）=/sin（（yx+?）+b［/>0,。>0,则<三）的部分图象如图所示，给出下列结

论：

①振幅为1,最小正周期为2兀；

②振幅为2,最小正周期为兀；

③点［与,-1］为/'（x）图象的一个对称中心；

④/（X）在卜三,-五］上单调递减.

其中所有正确结论的序号是（）.

试卷第1页，共4页

C.③④D.②④

7.已知见"为三角形的两个内角,C0S6Z=—,sin(a+J3)=,贝()

7v714

A.30°B.60°C.120°D.150°

8.已知角A,B,。满足4+5+。=兀，且354+以)55+以)5。=1,则

(1-cos^4)(1-cos5)(1-cosC)=()

A.0B.1

C.V2D.V3

二、多选题

9.下列命题中，正确的是（）

A.sinl5°sin3O°sin750--；

8

B.在V48c中，N>8是sin/>sinB的充要条件；

C.在V48c中，若acos/=6cosB,则V48C必是等腰直角三角形；

D.在锐角V45。中，不等式sirU>cosH恒成立.

71

10.在V/2C中，角42,c的对边分别为。，"c,若。=2,A=~,则下列结论正确的是（）

6

A.若6=3,贝!IVN8C有两解

B.若8=45。，贝1]0=亚+&

C.V4BC的周长有最大值6

D.V/8C的面积有最大值2+G

11.对于非零向量方=（x,y）,定义变换尸3）=（x+y,x-y）,得到一个新的向量，则关于该

变换，下列说法正确的是（）

A.若4为任意实数，则"篙）=4尸面B.若）//石，则尸（万）//尸⑸

试卷第2页，共4页

c.若,则尸伍），尸（B）D.存在凡3使得

一一1

cos(77(3),F(Z?))=cos(a,b)+—

三、填空题

12.已知角6的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴.若尸（加,2）是角夕终边上一点，

且cos0=-3^"^，贝！］m—.

10

13.已知复数z满足|z-1-i|=2,i为虚数单位，z在复平面上对应的点为Z,定点

M（-l,0）,。为坐标原点，则3.两的最小值为.

14.已知函数〃x）=2sin（ox-B（。＞0）在［0,2兀］上的图象有且仅有3个最高点.下面

四个结论：

①/（x）在（0,2兀）上的图象有且仅有3个最低点；

②/（x）在（0,2兀）至多有7个零点；

③/⑺在（0,曰单调递增；

-

④口的取值范围是一19，一27、；

则正确的结论是.（填写序号）

四、解答题

15.化简求值:

8

i_•20221-i4

⑴计算：(2-3i).彳「++

1—1i+7

37c

16.如图，在平面四边形48CD中，ZABC=~,BC=2也,ABACADAC,CD=2AB=4.

试卷第3页，共4页

(1)求线段/C的长度；

⑵求sin/4DC的值.

17.已知函数/(X)uncos'x+&sinxcosx-5sin4x+〃?的最大值为5.

(1)求常数/的值，并求函数/卜)取最大值时相应x的集合；

(2)求函数f(%)的单调递增区间和对称中心.

18.在V45C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知S为V/8C的面积且

4Gs+3仍一叫=3/.

(1)若b=2,求V/BC外接圆的半径R；

(2)若V/8C为锐角三角形，求”的取值范围.

C

19.对于集合4=｛配&…,»｝和常数为,定义：

〃=cos，4-%)+cos2(2-4)+…+COS?氏一%)为集合A相对4的“余弦方差

n

⑴若集合工=4=0,求集合A相对4的“余弦方差”；

⑵求证：集合N=兀｝,相对任何常数4的“余弦方差”是一个与4无关的定值，并求

此定值；

⑶若集合/=［，a，〃，ae［0,兀)，£e［兀，2兀)，相对任何常数％的“余弦方差”是一个与4无

关的定值，求出a、B.

试卷第4页，共4页

参考答案:

题号12345678910

答案ADACDDBAABDABD

题号11

答案ABC

1.A

【分析】根据复数运算化简求得z=6,然后由复数的模的公式可得.

［详解］因为z=（2+i）2_（l+2i）2=（3+3i）（l_i）=3（l+i）（l—i）=3（l_i2）=6,

所以|z+8i|=|6+8i|=&2+8?=10.

故选：A.

2.D

【分析】对耳、耳是否共线进行分类讨论，结合平面向量共线的基本定理可得出结果.

【详解】当小何时，因为则存在实数左，使得W=版，

贝lj。=q+4让=（1+%左）,=---b,此时aHb；

当q、W不共线时，因为：//'，则存在实数乙使得£=正，即1+4易=》1，

J2/=1

所以,

［A=0'

因此,［与B共线的条件为华〃?2或4=0.

故选:D.

3.A

【分析】先计算（3+届），布）时人的取值，再根据必要与充分条件的定义判断即可.

【详解】因为1=（2,4）,^=（3,-1）,

所以。+归=（2+34,4-左），a-kb=［2-3k,4+,

当（3+附_L（,一时时，

（a+kb）-（a-kb）=0,即（2+3后）（2—3左）+（4—左）（4+左）=0

解得上=±血

答案第1页，共13页

所以“人=逝”是（a+砌“a-防）的充分不必要条件.

故选：A.

4.C

【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换规则一一判断即可.

【详解】对于A：>=ta中|的图象是将y=tanx在y轴右侧的图象关于y轴对称过去，y轴

及N轴右侧部分不变，

函数图象如下所示：

所以y=ta中|不具有周期性，故A错误；

对于B：>=sinM的图象是将了=sinx在V轴右侧的图象关于>轴对称过去，y轴及>轴右

侧部分不变，

函数图象如下所示：

所以y=sin忖不具有周期性，故B错误；

对于C：，=卜,讨的图象是将y=sinx在x轴下方部分关于无轴对称上去，x轴及x轴上方部

分保持不变，

函数图象如下所示：

又了=sinx的最小正周期为2兀，所以>=binx|的最小正周期为兀,

答案第2页，共13页

又了=5出》在上单调递增且函数值为正，所以了=|sinx|在上单调递增，故C正

确；

对于D：y=|cosx|的图象是将了=cosx在x轴下方部分关于尤轴对称上去，尤轴及无轴上方

部分保持不变，

函数图象如下所示：

又y=cosx的最小正周期为2兀，所以y=|cosx|的最小正周期为兀,

又了=3尤在口热上单调递减且函数值为正，所以尸|cosx|在上单调递减，故D错

误；

故选：C

5.D

【分析】利用换元法，结合三角函数的诱导公式与倍角公式即可得解.

【详解】因为sin佟+卷］=］令/=§+则c=2”?，sinf=：,

所以cos(c=cos［2f-=COSpf-7T)=-cos2

=-(1-2sin?f)=2sin21-1=2x］；j-1=.

故选：D.

6.D

4+6=17兀兀

【分析】根据函数图象得到7+人一3'即可求出人、人再由1二/五求出0,最后

三』求出。，即可得到函数解析式，最后根据正弦函数的性质判断即可.

由函数过点

A+b=lb=-lT_TI兀—兀

【详解】由图可知X==

-A+b=-V解得A=2'73~124

所以？=兀=」2兀，解得。=2,

co

答案第3页，共13页

所以/(x)=2sin(2x+0)-l,又函数过点所以/gRsinCxST-Ul,

(Tt\TETT7T

即sin2x—+9=1,所以—+0=一+2/c7i,keZ,解得(p=—+2左兀,keZ,

V12J623

又陷＜w,所以e=g,

所以/3=2$也,+9]-1,所以/(x)的振幅为2,最小正周期为兀，故①错误，②正确;

+|Vl=-2siny-l=-V3-1,

所以点[彳,-lJ不是/(X)图象的对称中心，故③错误;

23兀17K।八兀7兀5兀

当xe时2x+一£----

~\2~~V232T

因为"sinx在一q，-号上单调递减，所以上)在一曾，一黄上单调递减，故④正确•

故选：D

7.B

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到sina、cos(a+0),再用凑角求解.

【详解】为三角形的两个内角，且cos"；＜，

・兀兀/----------2-4、/3

..a>—,sina=-cosa=-----,

237

丁sin(a+/?)=’出.<,cc+/3>a>^-,

I牛1423

:.R>a+B>,cos(a+/)=_Jl—sin(a+尸)——,

sin尸=sin[(a+夕)-a]=sin(a+/?)coscr-cos(cr+〃)sina=+—x^—=,

兀.c兀

\*a>—,a+po<TI,・・£=一.

33

故选：B

8.A

【分析】结合诱导公式与和差化积公式进行求值.

【详尚毕】因为力+3+。=兀=。=兀一(/+3)=COSC=COS[TI—(4+5)]=—COS(4+B).

由和差化积公式得:

A-\-BA—B

cosA+cosB+cosC=1n2cos-------cos----c-o--s--(4+5)=1=>

22

答案第4页，共13页

cA+BA-B1(AT\\C24+B

2cos-------cos--------=l+cos(/+5)=2cos---

22

A+BA-BA+BC.B.AA或或

所以COScos---------cos-------=Un=>sin——sin——sin——=0=>sin—=0sin0=0

22222222

sin—=0.

2

AA

若sin,=0ncosA=l-2sin2y=1,贝[](1-cos^4)(1-cos5)(1-cosC)=0；

同理，当sing=0或sing=0时，都有(l-cos⑷(l-cos5)(l-cosC)=0.

故选：A

9.ABD

【分析】由诱导公式和二倍角的正弦公式可得A正确；由正弦定理结合充要条件的定义可

得B正确；由正弦定理和二倍角正弦公式可得C错误；由诱导公式及正弦函数单调性可得

D正确.

【详解】A：sinI50sin300sin75°=sinl50sin30°cosl5°=—sin30°xsin30°=—x—x—=—,故A

22228

正确；

B：在VN8C中，由正弦定理可得'==—",

sinAsinB

所以sin4〉sin>604〉3,

所以是sinZ>sin8的充要条件，故B正确；

C：在V/BC中，若acosZ=bcosB,

由正弦定理可得sinZcosZ=sinBcosB,所以sin2力=sin28,

TT

所以2N=2B或2/+23=兀，即/=3或/+8=—，

2

所以V/3c是等腰或直角三角形，故C错误；

D：在锐角V/BC中，S.A+B>~,所以色>”>二一8>0,

I2)222

所以sinN>sin]|—“=cos8,故D正确；

故选：ABD.

10.ABD

【分析】综合运用正弦定理，面积公式及周长可得选项.

【详解】对于A,因为。=2,A=y,由正弦定理可得sin8=姐上4=：,

6a4

答案第5页，共13页

31

又sinB=T〉一=sin4,所以V/BC有两解，A正确；

42

对于B,由8=45°,4=30°可得C=105°,sinl05°=sin（60°+45°）=近^^,

由正弦定理可得，=竺吧=卡+行，B正确；

sin4

对于C,由余弦定理/=/+02一力ccosZ=©+C丫一（2+或bc,

伍+4-44（2+班）色R，当且仅当6=c时，取到等号，解得6+c44j2+G，C不正

确；

对于D,由余弦定理/=b2+c2-2bccosA＞（2-百）b。,

即A4/6=4（2+百），当且仅当6=c时，取到等号，

所以V48C的面积SuLbcsin442+6,D正确.

2

故选：ABD

11.ABC

【分析】由定义变换的新向量，结合数乘运算定义判断选项A,结合向量平行的条件验证选

项B,结合向量垂直的条件验证选项C,由向量夹角的坐标运算验证选项D.

【详解】对于选项A,因为Z=（x,y）,所以XI=（Ax,打）,

所以网然）=（Xx+彳%Xx-力）=彳（x+%x-y）=AF（a）,故A正确；

对于选项B,a=(x,y),设B=(m,〃)，若)//彼，则加y=0,

F(a)^(x+y,x-y),F(b)=(m+n,m-n),

所以卜+力(加-〃)-(尤7)(加+")=2叩-2次=0,即尸⑷//尸而，故B正确；

对于选项C,若日J_B，贝！］加x+〃y=o,

F(a)F(b)=(x+y)(m+n)+^c-y)侬-n)=2mx+2ny=0

所以尸3)，/G),故c正确；

对于选项D,

3〈尸(初尸⑹〉=尸⑷/0尸,2必+产_

但⑷忻(6)|/x+j)2+(x-y^^(m+n^+(m-nJJi+\J/+石

答案第6页，共13页

/一ra-bmx+ny__

c°s"/x=丽=，所以cos〈/0),bS)〉二cos〈万/〉'故D错误.

故选：ABC.

12.-6

【分析】根据三角函数定义式列方程，解方程即可.

m3M

【详解】由题设知cos6=

J加2+410

即10加2=9(〃，+4),且/<0,

即疗=36，且加<0,

解得m=-6,

故答案为：-6.

13.-3

【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义，结合向量数量积的运算律及定义法求出向

量的数量积求解即得.

【详解】依题意，点Z的轨迹是复平面上以点0(1,1)为圆心，2为半径的圆，

OZOM=(OQ+QZ)-OM=OQ-OM+QZ-OM,而丽・丽=,

QZOM^QZ\\OM|cos<0Z,OM)-2cos<0Z,OM}>-2,当且仅当囱，两方向相反时取等

号，

所以夜.曲的最小值为-3.

故答案为：-3

14.②③④

【分析】根据第3个正最大值点在区间［0,2可内，第4个正最大值点不在［0,2可内列不等式

可得。的范围，可判断④；求出第3个正最小值点，结合。的范围求出其范围即可判断①;

答案第7页，共13页

根据。的范围,求出第7、8个正零点的范围，可判断②；由-£4妙-£<£得-FwF，

2424a）4®

结合口的范围求出芋3兀的范围可判断③.

4。

【详解】对于④，由。x-：=5+2E#eZ得/（x）的最大值点为》=缁+千,万€2,

因为/'（x）在［0,2可上的图象有且仅有3个最高点,

3兀4?1

——+——<271

4①3皿日19/27

所以角牛得④正确;

3兀6兀八OO

——+——>2兀

AcoCD

对于①，由®x-^=-|+2htJeZ得/（x）的最小值点为x=上上左eZ,

1927所以《<口得

因为

OO27co19

23兀

因为第3个正最小值点为黄,所以

274。19

所以第3个正最小值点空不一定在（0,2兀）内，故①错误;

4G

对于②，由GX—工=左兀，左£Z得x=4％兀+兀，左GZ,

44G

0八十兀29兀

第7、8个正零点为好工

50K25兀/507158兀29兀,58兀

因为---<-——<-------<-——<---

274G19274。19

所以第7个正零点有可能在（0,2兀）内，第8个正零点不在（0,2兀）内,

所以/'（X）在（0,2兀）至多有7个零点，②正确;

-»L-r*।7T兀/兀/口7T3兀

对于③，由————W—得----<%<——，

2424G4a）

因为=<=<：«黑，所以/'（X）在单调递增，③正确•

1294G19I12）

故答案为：②③④

【点睛】关键点睛：本题关键在于利用。的范围，求出关键零点、最值点、端点的范围，然

后即可得解.

15.(l)7-i

(2)1

【分析】（1）根据复数的概念、复数的乘法除法运算化简计算即可.

答案第8页，共13页

（2）化切为弦，运用和差公式和诱导公式化简计算即可.

(2-3i)(ll)ri-2i-l\fl+2i-lV

【详解】（）原式=++

11-iU+2i-lJl-J

_(4-6i)(l+i)

=d-i)(l+i)+l+l=5-i+2=7-i

/l、(、阳ini。。、cos40°(cosl0°+A/^sinlO01

(2)cos40。l+6tanlO。=cos40。1+SmU=----------------------------------

'7coslO°coslO0

2cos40°sin(30o+10°)_2cos40°sin40°_sin80°_coslO0

cos10°coslO0coslO0cos10°

16.(1)275;

1

⑵5

【分析】（i）利用余弦定理求解即可；

（2）在中，利用正弦定理求出sinNR4C=，L再利用=

5

在A/CD中根据正弦定理即可求解.

【详解】(1)在V/BC中，由余弦定理可得：

222

AC=AB+BC-2-ABBC-cosZABC=4+S-2-7.-2^(r与=20,

AC=2A/5.

故线段4c的长度2VL

(2)由(1)知BC=2亚,AC=245,

在VNBC中，由正弦定理可得：.BC「

sinABACsin/ABC

2V2=2^5r-

即sin/A4C.3兀，得sinNR4C=—，

sm—5

4

又/BAC=/DAC,所以sin/£MC=sin/B/C=J,

5

AC

在△ZC。中，由正弦定理可得：,

smADACsinZADC

4二2下]

即&sinB/Z）C，sin^ADC=—.

----L

5

所以sin/ADC的值为上

2

答案第9页，共13页

1<x\x=kit,A:GZ

17.II6

（2）单调递增区间为kTt--,kn+—（左eZ）,对称中心为（工-3三

左eZ

36V2122

【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，结合正弦函数的性质求出加及/'（X）

取最大值时相应x的集合;

（2）由⑴可得〃x）=sin]2x+微卜g,根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）因为/（尤）=—1cos4x+V/3Ts•inxcosx——1si•n4x+m

22

—(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)+-^-sin2x+m

1(7•2\3

—cosx-sinxH------sin2x+m

2V)2

=—cos2xd-----sin2x+m

22

=sin^2x+—J+m.

当sin[2x+?]=l时，函数/'(x)取到最大值

-31

所以1+加=—,即冽=—,

22

7TJTJT

令2%H—=2左兀H—,左£Z,角犁得x—kuH—,左£Z,

626

所以当函数/（%）取到最大值时X的集合为卜卜=析+己,左£2

(2)由(1)得/(X)=sin12x+2]+彳,

,7^

令2左兀—<2x+—<2kn+—,keZ,

262

jrjr

解得kit——<x<kn+—,keZ,

所以函数/（x）的单调递增区间为阮-土府+己C,

।_7L,/口左兀兀,_

由2xH——kit,左£Z,解传x----------,左£Z,

6212

所以函数/（x）的对称中心为■-丘左£Z.

答案第10页，共13页

⑵(1,7)

【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理465+3伊_/）=3/化简可得

百sinB=3cos5,计算可求8,进而利用正弦定理求得V/BC外接圆的半径五；

（2）由设/，由题意可求2<C<W，利用正切函数的性质可求tanC>@,

可得o<—<V3，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求之£=当2++1,

tanCc222

0</<百,进而可求之4^的取值范围.

C

【详解】（1）・・・S为V45C的面积且4VJs+3（〃—。2）=302,s=^acsinB,

：.2Rsin5.兀，解得：R=^^~.

sin—Q

33

TT

(2)由(1)可知，B=~,

—sinC-\-----cosC

a1+b2sin2A+sin2B

.2z-i

sinC4sin?。

4sin2C+26sinCcosC+6cos2C

—4sin2C

।G131

2tanC2tan2C

•••V/3C为锐角三角形，B=g,：.y<C<^,AtanO—,.-.0<—1—<73,

3623tanC

•••0〈”仆时，J^e（l,7）

5

以（然

⑵证明见解析，!

答案第11页，共13页

723、1119

(3)a=——兀，0=—兀或a=——兀，B=——兀

v712121212

【分析】（1）根据余弦方差的定义代入即可求解，

（2）根据余弦差定义可得化简分子，根据和差角公式以及同角平方关系即可求解，

（3）根据余弦差定义列出关系式，利用和差角公式以及二倍角公式化简，根据题意可得

cos2a+cos2,=0

,即可结合三角函数的性质求解.

1+sin2a+sin2/?=0

/兀7L|।2兀27r।