2023年大学全册高等数学知识点

大学高等数学知识点整顿

公式，使用方法合集

极限与持续

一.数列函数：

1.类型：

⑴数列：*an=f(n)；*a〃+i=/(«„)

(2)初等函数：

(3)分段函数：*E(x)=/；*~》)=/(乃「，*；*

f2(x)x>x0[ax=x0

(4)复合(含f)函数：y=f(u),u=e(x)

(5)隐式(方程)：F(x,y)=O

[x=x(t)

(6)参式(数一，二)：1

。=丁。)

(7)变限积分函数:F(x)=\Xf(x,t)dt

Ja

oo

(8)级数和函数(数一，三)：5(尤)=^。”无"，》eQ

n=0

2.特性(几何)：

⑴单调性与有界性(鉴别);(/(%)单调n(x-/)(/(》)一/(%))定号)

(2)奇偶性与周期性(应用).

3.反函数与直接函数：y=/(x)ox=f-\y)ny=f-\x)

二.极限性质：

1.类型：*lima“；*lim/(x)(含x-±ao);*lim/(x)(含x->/士)

n—>oox—>ooX^>XQ

2.无穷小与无穷大(注:无穷量):

3.未定型：,l00,00-00,0-OO,0°,00°

000

4.性质：*有界性，*保号性，*归并性

三.常用结论:

n

a

-1,a〃(a>0)f1,(o〃+b"+c")〃-max(a,瓦c),--(a>0)—0

n

,(九—0)-oo,limxx=1,x

lim—=0,

%f+oo/

x%f0+x—>4-00x

0xf-oo

limxlnnx=0,ex-^<

xf0++oo%—+00

四.必备公式:

1.等价无穷小：当”（%）f0时,

12

sin”(%)”(%);tanw(x)w(x);1-cosw(x)—u(%);

euM-1M(X)；ln(l+u(x))u(x);(1+u(x))a-1au(x)；

arcsin"(％)u(x)；arctan"(％)u(x)

2.泰勒公式:

(l)e*—1+x++。(九2)；

(2)ln(l+%)—x——+o(x^);

2

(3)sinx=+o(%4);

(4)COSX—1—~^\犬2+%4+)；

a22

(5)(1+x)=\+ax+x+o(x).

五.常规措施:

前提:⑴精确判断。二，:T,aM（其他如:8—8,0・8,0°,8°）;（2）变量代换（如:L=/）

0oox

1.抓大弃小（一）,

00

2.无穷小与有界量乘积)(注：sin—<l,x^oo)

x

3.r°处理(其他如：()。，00。)

4.左右极限(包括X'±8)：

11

(1)—(x90);(2)/(xfco)；e'(x^O)；(3)分段函数：国，[x],max/(x)

x

5.无穷小等价替代(因式中的无穷小)(注:非零因子)

6.洛必达法则

f)vlnxvlnx

⑴先“处理”，后法则(—最终措施);(注意对比：lim——与lim——)

0%川1一%%一。1一%

1111__£

(2)为指型处理:“(X严=evMbluM(如：e商一靛=/(MG-1))

(3)含变限积分；

(4)不能用与不便用

7.泰勒公式(皮亚诺余项)：处理和式中的无穷小

8.极限函数：/(x)=lim/(％,")(二分段函数)

n—><x)

六.非常手段

1.收敛准则：

⑴4=/(")=lim/(龙)

X—>4-00

(2)双边夹：*bn<an<c"？，*b”,c“fa?

(3)单边挤:an+i=f(an).认?*|小M?*/(%)>0?

2.导数定义(洛必达?)：lim二£=/，(/)

3.积分和：lim匕/•(3+/(2)++/(-)]=

rinnnJ0

4.中值定理：lim[/(x+a)-/(%)]=alim

5.级数和(数一三):

oo2〃〃！0°

(1)£为收敛olim。"=0,(如lim--2)(2)limCtZj+a2++。”)=£。“，

n—><x)n—>(x)力“n-^oo

n=\n=l

00

⑶｛叫与X(a“—4i)同敛散

n=l

七.常见应用：

1.无穷小比较(等价，阶)：*/(%)日",(xf0)?

nnn

⑴/(0)=尸(0)==/f(0)=0"20)=aof(x)=~x+c((x)-x

n\n\

(2)££ktndt

2.渐近线(含斜)：

⑴a=lim,b=lim"(x)一知=f(x)ax+b+a

x—>CO九X—>oo>

(2)/(%)=ax+b+a,(—^>0)

x

3.持续性：(D间断点鉴别(个数)；(2)分段函数持续性(附:极限函数，尸(x)持续性)

八.[a,加上持续函数性质

1.连通性:=(注:VO<X<1,“平均”值:2f(«)+(1—R/⑹=/(x0))

2.介值定理:(附:达布定理)

⑴零点存在定理：f(a)f(b)<0=>/(X。)=。(根日勺个数)；

⑵/(x)=0n(「/(x)即=0.

Ja

第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)

一.基本概念：

1.差商与导数：.(x)=lim/阻小)二/(X)；/(%)二./(")_/®)

・%f。6%X-Xo

(1)r(0)=lim/U)-/(0)(注：lim小=4(/持续)nf(0)=0,/'(0)=A)

x—>0%x—>0%

(2)左右导：Z(XO),£(%);

（3）可导与持续；（在％=。处，忖持续不可导；HM可导）

2.微分与导数：„/=f（x+i%）-/（%）=/'（%）„%+o（^x）=>df=f'（x）dx

（1）可微O可导；（2）比较V，歹与"0"的大小比较（图示）；

二.求导准备：

1.基本初等函数求导公式；（注：（|/（刈）'）

dx1

2.法则：（1）四则运算；（2）复合法则；（3）反函数一=一

dyy,

三.各类求导（措施环节）：

1.定义导：⑴尸⑷与尸（刈『；（2）分段函数左右导；（3）煦"x+：）/（x一0

（注：/（%）=\。，求：尸（后）,尸（X）及f\x）的持续性）

ax=x0

2.初等导（公式加法则）：

（l）W=求:M'（%）（图形题）;

fxrx（*bfb

（2）F（X）=/⑺力，求:尸（x）（注：（［fMdty,（ffMdty,（［于⑦出）'）

JaJaJaJa

（3）y=、，、°，求f（Xo），£（x°）及/（为）（待定系数）

力（x）x>x0

3.隐式"（苍丁）=0）导:半,卓

axdx~

（1）存在定理；

（2）微分法（一阶微分的形式不变性）.

（3）对数求导法.

x=x(t)dyd-y

4.参式导（数一，二）：<,求:--,---Y

y=y⑺dxax

5.高阶导/⑸(幻公式:

1〃〃股I

(*)(〃)=/*；(------)(〃)=-------;

a-bx(a-bx)n

兀兀

(n)n

(sinox)5)_ansin(ox+—xn);(cosax)=acos(ox+—xn)

o)5)=〃⑺v+c；/〃、+cyn-2\n+

n

注：/(“)(0)与泰勒展式：f(x)=a0+aix+a2x2++anx+-------

一n\

四.各类应用：

1.斜率与切线(法线)；(区别：y=/(x)上点心和过点叫的切线)

2.物理:(相对)变化率-速度；

3.曲率(数一二)：p=(々L(曲率半径,曲率中心，曲率圆)

M+尸2(X»

4.边际与弹性(数三)：(附：需求,收益,成本,利润)

五.单调性与极值(必求导)

L鉴别(驻点f'(xo)=O):

(1)f'(x)>O=>f(x)•；f'(x)<O=>f(x).；

(2)分段函数的单调性

(3)/(x)>0n零点唯一；/"(x)>0=>驻点唯一(必为极值，最值).

2.极值点：

⑴表格(f\x)变号);(由lim主O,lim手0,limw0nx=0的特点)

%.为Xxf与\x\/X

⑵二阶导(/(%)=0)

注(1)/与广，/'的匹配(/图形中包括的信息);

(2)实例：由/(%)+/1(%)/(%)=8(%)确定点“％=%0，,%)特点.

(3)闭域上最值(应用例：与定积分几何应用相结合,求最优)

3.不等式证明(7(x)20)

⑴区别：*单变量与双变量？*xe[a刈与xe[a,4<o),%G(-ao,+oo)?

(2)类型：*/,^0,/(tz)>0;*/,<0,/(Z?)>0

*f”0,f(a),f(b)>0；*/"(%)>0,/'(%0)=O,/(xo)>0

(3)注意:单调性㊉端点值㊉极值㊉凹凸性.(如：1ax(x)=M)

4.函数的零点个数:单调㊉介值

六.凹凸与拐点(必求导!)：

1.表格;(尸'(无。)=0)

2.应用：(1)泰勒估计；(2)尸单调；(3)凹凸.

七.罗尔定理与辅助函数：(注:最值点必为驻点)

1.结论：/S)=F(a)=>尸(J=f8=0

2.辅助函数构造实例：

⑴⑺必

Ja

⑵/C)gC)+f®g4)=0nF(x)=f(x)g(x)

(3)尸C)gC)—f(0g患)=0nF(x)=44

g(x)

⑷/C)+2(^W)=0=>F(x)=;

3.f(n)©=0o/(x)有〃+1个零点=fZ(x)有2个零点

4.特例:证明r*C)=a的常规措施:令％x)=/(x)-片(x)有〃+1个零点(匕⑴待定)

5.注:含《，女时,分家!(柯西定理)

6.附(达布定理)：/(x)在［a,切可导,Vce"'(a),/S)］,*e［a,牡使:尸(J)=c

八.拉格朗日中值定理

1.结论：f(b)-f{d}=f\^(b-a)-(。⑷<。3)=监>。痣)>0)

2.估计：一/=/(？二

九.泰勒公式(连接九/，尸'之间的桥梁)

3

1.结论："X)=/(Xo)+/(x°)(x—%)+g/'(%)(%—%)2+(〃'C)(x-XO);

2.应用：在已知/(a)或73)值时进行积分估计

十.积分中值定理(附:广义)：［注:有定积分(不含变限)条件时使用］

第三讲:一元积分学

一.基本概念：

1.原函数方(%):

(1)F\x)=/(x);(2)f{x}dx=dF(x);(3)Jf(x)dx=F(x)+c

注⑴尸(%)=「/⑺力(持续不一定可导);

Ja

⑵「(x—)/⑺力=>1/«)力=>/(X)(/(X)持续)

JaJa

2.不定积分性质：

⑴(Jf(x)dx)'=f(x)；d(Jf(x)dx)=f(x)dx

⑵J/'(x)公=/(x)+c；J/(%)=/(%)+c

二.不定积分常规措施

1.熟悉基本积分公式

2.基本措施:拆(线性性)

J(《/(x)+k2g(x))dx=尢1f(.x)dx+左2jg(.^)dx

3.凑微法(基础)：规定巧，简，活(1=sin2%+cos?x)

tm：dx=­d(ax+b),xdx=-dx2,-=<7Inx,=2d\[x

a2xy/x

.X.dx=dy/l+x2,(1+lnx)dx=d(xInx)

A/1+X2

4.变量代换：

(1)常用(三角代换，根式代换，倒代换)：x=sinZ,Jax+b=t,—=t,Je*+1=t

x

(2)作用与引伸(化简)：yjr±l-X=t

5.分部积分(巧用)：

(1)含需求导区(被积函数(如Inx,arctanx,「);

⑵“反对幕三指"：Jx"emdx,Jx"Inxdx,

⑶尤其：jMXx)公(*已知/(x)时原函数为尸(x);*已知尸(x)=F(x))

6.特例:(1)f4,inx+'c°sx长；⑵r.(九)*办：，fp(x)sinaua迅速法;(3)[：(')dx

Jasinx+bcosxJJJ/(x)

三.定积分：

1.概念性质：

(1)积分和式(可积的必要条件:有界,充足条件:持续)

(2)几何意义(面积，对称性,周期性，积分中值)

*£[ax-x1dx(a>0)=;*j(%-去=0

(3)附：J于(x)dxWM(b—a),jf(x)g(x)cbc<Mj|g(x)依)

(4)定积分与变限积分,反常积分的区别联络与侧重

2:变限积分①(x)=「/⑺流的处理(重点)

Ja

(1)/可积=①持续，/持续一①可导

(2)(「,=/(%);(1(xf'；「f(x)dt=(x-a)f(x)

JaJaJaJa

(3)由函数R(x)=「/⑺水参与的求导,极限,极值,积分(方程涧题

Ja

pb

3.N—L公式：f/(x)公=E(6)—歹(。)(/(x)在[a,句上必须持续!)

Ja

注:(1)分段积分,对称性(奇偶),周期性

(2)有理式,三角式,根式

(3)含/⑺力的方程.

Ja

4.变量代换：ff{x}dx=f/(M(r))M'(r)力

JaJa

「ara

(1)J。f(x)dx=J。f(a-x)dx(x=a-t),

a「aa£1

⑵jrf(x)dx=「f(—x)dx(x=-0=C£"(x)+f(-x)]dx(如:~：—dx)

4J.I

p—兀n—1I

(3)/„=psin"x^=——In_2,

n

717171

(4)/(sinx)dx=/(cosx)dx;£/(sinx)dx=2r/(sinx)dx,

(5)£犷(sinx)dx=£/(sinx)dx,

5.分部积分

(1)准备时“凑常数”

⑵已知尸(x)或/(X)=「时,求「/(X)必；

JaJa

6.附:三角函数系的正交性：

.’2兀,27r.

sinnxdx=cosnxdx=sinnxcosmxdx=0

JoJoJo

J。sinnxsinmxdx=cosnxcosmxdx{nm)=0

.22

sinnxdx=cosnxdx=

JoJoTI

四.反常积分：

1.类型：(l)fp+oof(x)dx,pfaf(x)dx,pf+8/(x)力:(/(x)持续)

JaJ—ooJ—oo

rb

(2)f(x)dx:(/(%)在x=a,x=b,%=C(Qvcvb)处为无穷间断)

Ja

2.敛散；

3.计算：积分法㊉N-L公式㊉极限(可换元与分部)

,r+°°1ri1

4.特例：(1)|—dx;(2)I—dx

J1JQPJ0JQP

五.应用：(柱体侧面积除外)

1.面积，

(1)s=-g(x)]dx;⑵S=『f~\y)dy；

⑶S=gf产(e)de.(4)侧面积:S=f2兀f(x)1l+f'2(x)dx

2.体积：

⑴匕=7rf"2(x)-g2(x)]dx；⑵匕="『"-1(,)[2办=2对：犷原)力；

(3)匕』与匕事

3.弧长：ds={(dx)。+@y

(1)y=/(%),x^[a,b]s=J：Jl+/'2(x)dx

⑵「，?，feZ/]s=「Jx'2«)+y'2⑺力

(3)r=r(6»),0e[a,j3]-.s=J：飞户(0)+r0(仍d。

4.物理（数一，二）功，引力，水压力,质心,

5.平均值（中值定理）:

—1

(l)f[a,b]=----f(x)cbc;

b-aJa

―[于⑴dt_f于(t)dt

(2)/[0+8)=lim%------,(/认为T周期:------)

Xf+ooxT

第四讲:微分方程

­.基本概念

1.常识:通解,初值问题与特解(注:应用题中的隐含条件)

2.变换方程：

(1)令x=尤«)=>y'="〃y"(如欧拉方程)

⑵令u=u(x,y)=>y=y(x,M)=y'(如伯努利方程)

3.建立方程(应用题)的能力

二.一阶方程：

1.形式：(l)y'=/(x,y);(2)M(x,y)dx+N(x,y)dy=0;(3)y(a)=b

2.变量分离型：y'=/(x)g(y)

⑴解法：J含=Jf(x)dxnG(y)=F(x)+C

(2)“偏”微分方程:*=/(x,y);

ox

3.一阶线性(重点)：y'+p(x)y=q(x)

fp(x)dx1

⑴解法(积分因子法)：M(x)=e与ny=------[[M(x)q(x)dx+y0]

M(x)Jx«

(2)变化:x'+p(y)x=q(y);

(3)推广:伯努利(数一)y'+p(x)y=q(x)y"

4.齐次方程:歹=①(上)

X

(i)解法：M=—=>〃+%〃=c)(〃)，----------=——

X」①(〃)-M，X

⑵特例：@-+、+q

dxa2x+b2y+c2

dNdM

5.全微分方程(数一)：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0且——=----

'dxdy

dU=Mdx+NdynU=C

0y—cax

6.一阶差分方程(数三)：yx+1-ayx=\,

nx

[bP(x)yx=xQ(x)b

三.二阶降阶方程

1-y"=/(x)：y=F(x)+c1x+c2

2.y"=/(%y'):令V=p(x)ny"=0=/(%，P)

dx

3-y"=f(y,y')：令==p(y)?y"=p半=F(y,p)

ay

四.高阶线性方程：a(x)y"+b(x)y'+c(x)y=f(x)

1.通解构造：

⑴齐次解：y0(x)=clyl(x)+c2y2(x')

(2)非齐次特解：y(x)=q%(x)+c2y2(x)+y*(x)

2.常系数方程：ay"+by'+cy=f(x)

(1)特性方程与特性根：«22+ZU+C=0

⑵非齐次特解形式确定:待定系数；(附：f(x)=ke^的算子法)

(3)由己知解反求方程.

3.欧拉方程(数一)：ax1y"+bxy'+cy=/(%)，令x=e'=>x2y"-D(D-l)y,xy'-Dy

五.应用（注意初始条件）:

1.几何应用（斜率,弧长，曲率,面积,体积）；

注:切线和法线的截距

2.积分等式变方程（含变限积分）；

可设f=F（x）,F（tz）=0

Ja

3.导数定义立方程：

含双变量条件/（x+y）=冏方程

4.变化率（速度）

〃dvd2x

5.r=1TICI--------

dtdt

6.途径无关得方程（数一）：^=—

oxoy

7.级数与方程：

（1）幕级数求和；（2）方程的幕级数解法:y=/+。1》+4炉+.=>（0）,%=，（0）

8.弹性问题（数三）

第五讲：多元微分与二重积分

一.二元微分学概念

1.极限,持续,单变量持续,偏导,全微分,偏导持续（必要条件与充足条件），

⑴Af=/（Xo+/，为+J），AJ=/（%+/，%），△"=/（不，%+0）

（2）hmAf,<=hm—,/=lim「

AxAy

（3）/.X+£Q“df,lim/A一（鉴别可微性）

J（-X）2+（Q）2

注：（0,0）点处的偏导数与全微分的极限定义:

.(O,O)=lim〃x，O)r(O,O),.(0,0)=1"(°。)7(。，。)

x—>0JQYyf0y

2.特例：

*(0,0)

(l)/(x,y)=/:(0,0)点处可导不持续；

、0,=(0,0)

I孙w(0,0)

⑵/(x,y)=Jv+j:(0,0)点处持续可导不可微；

、0,=(0,0)

二.偏导数与全微分的计算：

1.显函数一，二阶偏导：z=/(x,y)

注⑴炉型；(2)zl-(3)含变限积分

2.复合函数的)一"，二阶偏导(重点)：z=f[u(x,y),v(x,y)]

纯熟掌握记号-，£,力；，fn,力；的精确使用

3.隐函数(由方程或方程组确定)：

„F(x,y,z)=0

(1)形式：*b(x,y,z)=0;*17(存在定理)

G(x,y,z)=0

(2)微分法(纯熟掌握一阶微分的形式不变性)：Fxdx+Fydy+Fzdz=0(规定:二阶导)

(3)注：(%,%)与2()时及时代入

(4)会变换方程.

三.二元极值(定义?)；

1.二元极值(显式或隐式):

(1)必要条件(驻点);

(2)充足条件(鉴别)

2.条件极值(拉格朗日乘数法)(注:应用)

(1)目的函数与约束条件：z=/(x,y)i99(x,y)=0,(或:多条件)

(2)求解环节:L(x,y,2)=f(x,y)+〃?(x,y),求驻点即可.

3.有界闭域上最值(重点).

(1)z=于(x,y)㊉MeD={(x,y)\(p(x,y)<0}

(2)实例:距离问题

四.二重积分计算：

1.概念与性质(“积”前工作)：

(l)Jjdcr,

D

(2)对称性(纯熟掌握)：*。域轴对称；*/奇偶对称；*字母轮换对称；*重心坐标；

(3)“分块”积分：*D=D]D2-*/(x,y)分片定义；*/(x,y)奇偶

2.计算(化二次积分)：

(1)直角坐标与极坐标选择(转换)：以“。”为主；

(2)互换积分次序(纯熟掌握).

3.极坐标使用(转换):f(x2+y2)

22

附：D：(九一a)2+(y—4VW；£>:^+^-<1;

ab

双纽线(x2+y2)2=«2(%2-r)D:|x|+|y|<l

4.特例：

⑴单变量：/(x)或/(y)

(2)运用重心求积分:规定:题型。(勺龙+左2丁)力力，且己知。的I面积5。与重心(x,y)

5.无界域上的反常二重积分(数三)

五:一类积分时应用（J7（MMbnO:D;Q;£；r；S）：

Q

1.“尺寸”：（l）jJdboSo；（2）曲面面积（除柱体侧面）；

D

2.质量,重心（形心）,转动惯量；

3.为三重积分,格林公式，曲面投影作准备.

第六讲:无穷级数（数一，三）

级数概念

8n

1.定义：（l）｛a〃｝,（2）S“=%+a,++an-（3）limS“（如工；一■—）

注:⑴lima,；⑵Z/（或工二）；⑶“伸缩”级数：X（a,+i-%）收敛o｛叫收敛

2.性质：（1）收敛的（必要条件：lima”=0；

8

（2）加括号后发散,则原级数必发散（交错级数的讨论）；

（3）$2“-s,4―0=>$2“+ifs=>s〃­s;

二.正项级数

1.正项级数:⑴定义：a.20;（2）特性:S"正；（3）收敛oS,<M（有界）

2.原则级数：⑴工工，（2）Z^，（3）Z~r丁

3.审敛措施:（注:2ab<a2+b2,iM）

⑴比较法（原理）”与（估计），如内（x）dx;2黑

nlQ（n）

（2）比值与根值：*lim—*lim弧（应用：塞级数收敛半径计算）

n—>oo〃coY

三.交错级数（含一般项）：Z（T严%（4〉°）

L“审”前考察：⑴例>0?⑵4-0?;（3）绝对（条件）收敛?

注:若lim幺旦=夕〉1，则Yu发散

〃->84Jn

2.原则级数：⑴1严L⑵Z（—1）用《；（3）Z（T）用占

nnplnpn

3.莱布尼兹审敛法（收敛?）

⑴前提：WhJ发散；⑵条件：/、，/-°；⑶结论：Z（T严％条件收敛・

4.补充措施：

（1）加括号后发散,则原级数必发散；（2）52”-s,q―0=>s2n+1Tsns,「s.

5.注意事项：对比»〃；Z（T）%；Z⑷；之间的敛散关系

四.累级数：

1.常见形式：

⑴⑵⑶2%（%一为产

2.阿贝尔定理：

⑴结论:芯=%*敛=7?2,*—旬;兀=。'散一引

⑵注：当工=%*条件收敛时=>尺=卜—尤］

3.收敛半径，区间，收敛域（求和前的准备）

注（l）Z"z“x",z+v与z%%"同收敛半径

（2）Z。/"与、>“（％—天产之间的转换

4.幕级数展开法：

⑴前提:熟记公式（双向，标明敛域）

1,1,

ex=l+x+—x+—%+,Q=R

2!3!

~（ex+e-v）=l+—x2+—x4+,Q=R

22!4!

-（eA-e-x）=%+—%3+—%5+,C1=R

23!5!

sinX—X---炉-|—九5—,。=Rcosx—1----H—+,。=7?;

3!5!2!4!

11

----=1+X+X9+,XG(-1,1)j-----=1—X+X9-,XG(—1,1)

1-X1+X

191.

ln(l+x)—x——x+—%—,xG(—1,1]

1213

ln(l-x)-—x—-x—-x—,xG[-1,1)

1315

arctan%——x+—x-,^G[-1,1]

35

(2)分解：f(x)=g(x)+//(x)(注:中心移动)(尤其：一-----,x=%0)

ax+bx+c

(3)考察导函数：g(x)「r(x)n/(x)=1g(x)公+/(0)

J0

(4)考察原函数：g(x)2]/(x)dx=>/(%)=g\x)

J0

5.幕级数求和法(注:*先求收敛域，*变量替代)：

⑴S(x)=Z+E

(2)S'(x)=，(注意首项变化)

⑶S(x)=([)',

⑷S(x)n”S(x)”日勺微分方程

(5)应用:£a“nZ。/'=S(x)n£4=^(1).

6.方程时累级数解法

7.经济应用(数三)：

(1)复利：A(l+p)";(2)现值：A(l+p)-n

五.傅里叶级数(数一)：(T=2万)

a9

1.傅氏级数(三角级数)：S(x)=UZ4cosnx+sinnx

2n=l

2.Dirichlet充足条件（收敛定理）:

（1）由/（%）nS（x）（和函数）

(2)S(%)=；"(A)+/(%+)]

cin--\/(x)cosnxdx

*7T71-7V

3.系数公式：ciQ--f(x)dx,<2,3,

71一冗11,

b=—、/(x)sinnxdx

n刀■J—%

4.题型:(注:f(x)=S(x),xe?)

（1）T=2万且f（x）=,XG（一兀,万］（分段表达）

⑵XG(一兀,万]或无£[0,2»]

⑶XG［0,7T］正弦或余弦

*(4)%e[0,TT](T=兀)

*5.T=2l

Q8

6.附产品：/(x)=>S(x)=--\-^ancosnx+bnsinnx

2n=l

Q8]

nS(x°)=七+Z4cosnx0+b„sinnx0=-[/(x0-)+/(%0+)]

2n=\2

第七讲：向量，偏导应用与方向导（数一）

一.向量基本运算

1.k^a+k^b;（平行=/la）

2.LI；（单位向量（方向余弦）a0a-（cosa.cos（3.cos/））

H

n.hn.A

3.a-b;（投影:（。）=］丁；垂直:a_Lboa-b=0;夹角:v（a,5）=1门）

a\a\\b\

4.ax6；(法向:“=axb_La,/j；面积:S=|«xZ?|)

二.平面与直线

1.平面口

⑴特性(基本量):M0(x0,y0,z0)©«=(AB,C)

(2)方程(点法式)：71:A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-zo)=O=>Ax+By+Cz+D=O

(3)其他：*截距式二+2+三=1;*三点式

abc

2.直线£

⑴特性(基本量)：M0(x0,y0,z0)©5=(m,n,p)

（2）方程（点向式）：L:£z^）=2zA=£z£o

mn

+4y+Gz+D]—0

（3）一般方程（交面式）：＜

A2X+B2y+C?z+E)2=0

x-ax+(%-a。%

（4）其他：*二点式；*参数式;（附:线段AB的参数表达:《丁=4+(4-4»,/£[。,1])

z=q+(%—q)%

3.实用措施:

(1)平面束方程：7i:>l1x+B1y+C1z+D1+^{A2x+B2y+C2z+D2)=0

A

⑵距离公式：如点M0（x0,y0）到平面的距离d=1\+'%+"。+必

A/A2+B2+C2

（3）对称问题;

⑷投影问题.

三.曲面与空间曲线（准备）

1.曲面

⑴形式S：F(x,y,z)=0或z=f(x,y)；(注:柱面f(x,()=0)

⑵法向”=(%g,£)n(cosa,cos(3,cos7)(或"=(-zx,-zyl))

2.曲线

x=X。)

F(x,y,z)=0

⑴形式y=y(0,或

G(x,y,z)=0'

z=z(7)

(2)切向：s={x\t),y\t),z\t)}(或s=4x%)

3.应用

(1)交线,投影柱面与投影曲线;

(2)旋转面计算：参式曲线绕坐标轴旋转;

(3)锥面计算.

四.常用二次曲面

1.圆柱面：x2+y2-R2

2.球面：x'+y"+z2=R2

变形：x2+y2=7?2-z2,

222

x+y+z-2az,(x-xoy+(y-y())~+(z-z())2=R-

3.锥面:z=Jx2+y2

变形：/+J=z2,z=a-+/

4.抛物面：z=x?+/,

变形：+y2=z,z-a-(x2+y2)

5.双曲面：x2+y2=z2±l

6.马鞍面：2或z=w

五.偏导几何应用

1.曲面

(l)tefcF(x,y,z)=0=>n=(Fx,Fy,Fz),注：z=f(x,y)^>n=(fx,fy-I)

(2)切平面与法线：

2.曲线

(1)切向：x=x(0,y=y(t\z=z(t)=>s=(xyz')

(2)切线与法平面

八伊=0

3.综合：r:<,s=n,xn,

G=0"'

六.方向导与梯度(重点)

1.方向导(/方向斜率)：

⑴定义(条件)：/=(m,n,p)n(cosa,cos",cosy)

a”

(2)计算(充足条件:可微)：一=%cos。+ucos/3+ucosy

olz

附：z=/(x,y),/°={cos6,sin8}=>一=fxcosO+fsmO

dl

22

(3)附:票=几cose+2匕sin0cos6+4ysin6

2.梯度(获得最大斜率值日勺方向)G-.

⑴计算:

(a)z=于(x,y)nG=gradz=(fx,fy);

(Z?)〃=/(x,y,z)nG=gradu-(ux,uy,uz)

(2)结论

(a)—=G-/°；

81

S)取I=G为最大变化率方向；

(C)|G(M0)|为最大方向导数值.

第八讲:三重积分与线面积分(数一)

一.三重积分(JJJ加V)

Q

1.。域的特性(不波及复杂空间域)：

(1)对称性(重点)：含:有关坐标面；有关变量；有关重心

222

⑵投影法：Dv={(%,y)|x+y<7?)©(x,y)<z<z2(x,y)

(3)截面法：Z>(z)={(尤,y)k2+y2<々(z)}㊉a<zWb

(4)其他：长方体，四面体，椭球

2.f的特性：

(1)单变量/(Z),⑵/(一+娟，⑶/(V+y+zZ),f=ax+by+cz+d

3.选择最适合措施：

⑴“积”前：*jjjdv;*运用对称性(重点)

Q

⑵截面法(旋转体)：/=/dzJJ加小(细腰或中空，/(z),f(x2+y2))

°D(z)

(3)投影法(直柱体)：/=JJdxdyj：：；fdz

Dxy1

(4)球坐标(球或锥体)：I=Jde］。sin0d。］()/(…)夕2］夕，

(5)重心法(/二四+by+cz+d):/=(ax+Z?y+cz+d)%

4.应用问题：

(1)同第一类积分：质量,质心,转动惯量,引力

(2)Gauss公式

二.第一类线积分(［於)

L

1.“积”前准备:

⑴，ds=L;⑵对称性；⑶代入“L”体现式

L

2.计算公式：<“fds=『/(%(，),>⑺)Jx'2⑺+y设⑺力

3.补充阐明：

⑴重心法：^{ax+by+c)ds={ax+by+c)L\

L

(2)与第二类互换：^A-rds=^Adr

LL

4.应用范围

(1)第一类积分

⑵柱体侧面积jz(龙,y^ds

L

三.第一类面积分(“射)

1.“积”前工作(重点)：

(l)jJdS=Z;(代入Z:尸(％,y,z)=O)

(2)对称性(如:字母轮换,重心)

(3)分片

2.计算公式:

⑴z=z(x,y),(x,y)eD孙n[=JJ/(x,y,z(x,y)){l+z；+z^dxdy

Dxy

(2)与第二类互换：j]A-"dS=UAMS

四：第二类曲线积分(1):]＞(%»)公+。(苍川力(其中L有向)

L

X=x(t)”2

1.直接计算：11:%-＞，，=/='[Px\t)+Qy\t)]dt

y=y«)J'

常见(1)水平线与垂直线；(2)x2+y2=l

2.Green公式：

(1)fPdx+Qdy=ff{-^---)dxdy;

*J.oxoy

(2)J：*空=丝=换途径；*竺。22n围途径

(3)j(。＜=[但。内有奇点)J=J(变形)

LLL*

3.推广(途径无关性):学=丝

oyoy

(1)加+。力=疝(微分方程)。J=4：(道路变形原理)

£(AfB)

(2)J0(x,y)dx+Q(x,y)dy与途径无关(f待定)：微分方程.

L

4.应用

功(环流量):/(「有向7,E=(P,Q,R),dr=7ds=(dx,dy,dz))

r

五.第二类曲面积分：

1.定义：jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy,或JjR(x,y,z)dxdy(其中2含侧)

2.计算：

⑴定向投影(单项)：jjR(x,y,z)dxdy，其中Z:z=z(x,y)(尤其:水平面)；

注:垂直侧面,双层分隔

(2)合一投影(多项，单层)：〃=(—z],—Zy,l)

nJJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj[P(-zJ+。(一z,)+R\dxdy

(3)化第一类(S不投影)：n=(cosa.cos(3,cos/)

=>jjPdydz+Qdzdx+Rdxdy=JJ(Pcosa+2