2025高考数学专项复习：常见函数模型中的应用（含答案）

2025高考数学专项复习常见函数模型中的应用含答案

常见函数模型的应用

一、考情分析

有一些常见的函数,如沙=ln(,+1)—羽y=1—①一1等，在导数解答题常常出现其身影,在导数解答题

中或利用其性质进行求解,或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，

并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想,并使问题得以解决.

二、解题秘籍

(一)常见对数型函数模型

1.函数/&)=ln(z+1)-，在(—1,0)上是增函数,在(0,+8)是减函数,/⑸在，=0处取得最大值0,

2.f(x)—Ina:的图象与直线y=c—1在①=1相切，以直线y—x—1为切线的函数有：y—\n.x,y—e®-1—

1,y—x2—x,—y—xlnx.

3.与对数型函数有关的常见不等式有：ln(o:+1)<cc.lno:W，一l,ln，>1——,lna;<a;,In®<Vx,Ina?<

X

2(x—(T>1),Inrr>2(/—(0<a;<1).

4.利用ln(/+l)&力可得到ln@+1)—hmV工，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.

n

【例1】函数/(，)=Ina;—a{x—l)e3其中aGR.

(1)若aWO,讨论人,)的单调性；

(2)若0VaV

口)证明：/3)恰有两个零点；

(ii)设g为/(，)的极值点，为为/(①)的零点，且电>g,证明：3rc0—a：i>2.

(二)常见指数型函数模型

1.函数/(c)=e。-2—1在(—8,0)上是减函数，在(0,+oo)上是增函数,/(rc)在①=0处取得最小值0,

2.与对数型函数有关的常见不等式有：ex>x+l,ex>x,ex>ex,ex<-^—(x>0),ex<--(x<0),ex>

1-xX

1+1+-^-x2(x>0).

【例2】已知函数/(C)=(mx—l)ex,mER.

(1)讨论函数/Q)的单调性；

⑵若0eR,qe(0,+8),证明:当恒=1时,于(p+q)+-|-(P-q)2+2q＞于(p-q)+-|-(p+Q)2

（三）常见三角函数模型

1.函数/（力）=sin/一力在（0,+8）上是减函数，函数g（力）=yT2+COST在（。,+8）上是增函数

（"（/）=-/（/））,

2.与三角函数有关的常见不等式有：sin力<x（x>0）,sin/<x<tan/（0<a:<,sinx>力—1—

-^-x2&cos力41—^-sin2a?.

【例3】（2023居四川看成都市商三上学期摸底）已知函数于（x）--1-x2+COSX.

（1）记函数/（力）的导函数是/'（力）.证明：当力>0时，产（力）>0；

11

（2）设函数g（/）=s''+—2"—2,尸（/）=时（力）+g（力），其中a<Q.若0为函数F（多）存在非负

e

的极小值，求。的取值范围.

㈣片T则=&•

V=等在（O,e）上是增函数，在（e,+8）上是减函数，①=6时取得最大值:，利用"=学性质解题易

错点是该函数在（e,+°o）上是减函数，但该函数在（e,+°o）上没有零点，因为c>e时y>0.

【例41（2022届“云载金1联考我三下学期5月冲刺）已知函数/㈤=e^-axlnx在c=1处的切线与c

轴平行.

⑴求a的值；

（2）求证：/（,）在区间（0,+8）上不存在零点.

（五）或

**»€r

讨论"=旨的性质要注意CWO,该函数在（-00,0）和（0,1）单调递减，在（1,+8）单调递增

【例51（2022届贵州盾六叁水市第五中学高三上学期期末）设函数/（,）=tex+a（l—t）c（aeR,te（0,1））,其

中e是自然对数的底数，e«2.71828•­•.

（1）若f⑸<e工在（0,+8）上恒成立,求实数a的取值范围；

⑵当亡=春时，若函数/㈤有两个零点,求实数a的取值范围.।…―1_1-

/I

三、典例砺

【例1】(2022居吉林看东北弹范大学附舄中学高三第五次模拟)已知函数/(①)=肾，，e(l,+oo),

(1)判断函数/(。)的单调性；

(2)证明：4T

【例2】(2022届江西省九江市京三第三次模拟)已知函数/(①)=sinrr—x+ax2(aGR).

⑴当a=0时,试比较了(,)与。的大小；

(2)若/(,)>0恒成立，求a的取值范围.

【例31(2022届天津市理华中学i15三下学期二模)已知函数/(0=喑+In,—x(a>0).

(1)若a=L求函数/(,)的单调区间；

(2)若/(,)存在两个极小值点电,◎，求实数a的取值范围.

【例4】已知函数/&)=Ina?—ax2—bx(a,bEFl).

(1)当a=0时，若/(6)&0在/£(0,+oo)上恒成立,求实数b的取值范围；

(2)设为,电为*2)的两个不同零点，证明：/⑶+22)<三1岁-2.

四、跟踪检测

1.已知函数/(力)=e"-Q.

(1)若函数/(⑼的图象与直线g=c—1相切，求Q的值;

⑵若a42，证明/(6)>Inx.

2.已知函数/(劣)=(6+£)ln/—QN,Q>0.

(1)若a=2,求函数/(力)的极值；

(2)设g(c)=1~(eQ"一Q宏?+©；),当6>0时,/(6)<"(6)("(0)是函数g(c)的导数)，求a的取值范围.

3.设函数/(力)=/Ina—aln/，a>1.

(1)若对任意力G[4,+8),都有/(力)>0,求Q的取值范围；

(2)设g(x,n)=/(6)+/(。)4--卜/(%")，nEN*•当0〈]V1时，判断g(x,n),g(x,2n),g(x,3n)是否能

构成等差数列，并说明理由.

4.已知函数/(力)=詈(QW0).

(1)若对任意的reeR,都有了㈤<十恒成立，求实数a的取值范围;

(2)设m,n是两个不相等的实数，且m=nem~n,求证：m+n>2.

5.已知函数/(力)=e。—e/+Q力(aGR).

⑴若/㈤在(—1,1+ln2)单调，求a的取值范围.

(2)若g=/(劣)+exlnx的图像恒在力轴上方，求a的取值范围.

6.(2022届山东省泰安市京三全真模拟)已知函数/Q)=g(0—Imr.

(1)若函数g(/)=a/+aln/,讨论/(/)的单调性.

11

(2)若函数gQ)=62—xynx_|_，证明：/㈤>1亨).

7.已知函数/（力）=既如一e*.

（1）当a=1时，讨论/（力）的单调性；

⑵当力＞0时，/（£）＜—1,求Q的取值范围；

（3）设九GN*,证明：/）+/[H---1--/，＞ln（n+1）.

Vl2+1V22+2Vn2+n

8.已知函数/（力）=QC—：—（a+l）lnc.

（1）当a=0时，求/（力）的最大值；

（2）若/（力）恰有一个零点,求a的取值范围.

9.（2023届江苏省南通市如率市高三上孕期8月*斯）已知函数/（，）=*—In/+力—a.

（1）若/（2）＞0,求a的取值范围；

（2）证明：若/（劣）有两个零点为1,劣2,则力便2Vl.

10.（2022居青海省高三第四次模拟）已知函数/（力）=e/—力一1.

（1）求/（/）的最小值；

（2）若力＞0,证明：/（劣）＞/+（e—3）力.

11.已知函数/(力)—x\nx—ax.

(1)讨论/(力)的单调性；

(2)当a4-1时，设g(力)=/(%)—2csin/+%,求证:g(x)在(0,2兀)上只有1个零点

12.已知函数/(力)=alnx—Vx,aER.

(1)试讨论/(力)的单调性；

(2)若对任意/e(0,+8),均有/(6)&0,求。的取值范围;

九1_____

⑶求证:Zin(取+谷〉61一「

常见函数模型的应用

一、考情分析

有一些常见的函数,如沙=ln（,+1）—羽y=1—2一1等，在导数解答题常常出现其身影,在导数解答题

中或利用其性质进行求解,或以其为模型进行改编命题，无论以哪一种方式命题，掌握这些函数的性质，

并有目的的使用这些函数性质解题，能迅速找到解题思想,并使问题得以解决.

二、秘籍

（一）常见对数型函数模型

1.函数/（①）=In（2+1）-，在（—1,0）上是增函数,在（0,+8）是减函数,/㈤在2=0处取得最大值0,

2.f（x）=Inc的图象与直线9=2一1在必=1相切，以直线y—x—1为切线的函数有：y—\n.x,y—e®-1—

1,y—x^—x,y—1-y—xlnx.

3.与对数型函数有关的常见不等式有：ln（a;+1）<re,Ino:W，一l,ln，>1——,lna;<a;,In®<Vx,Ina;<

X

2（,—1）（］>1），山力>2（/—（0<a;<1）.

4.利用ln（/+l）&力可得到ln@+1）—hmV工，再借助叠加法可得到一些复杂的数列不等式.

n

【例1】函数/（力）=Inc—a（x—l）e3其中a6R.

（1）若a&O,讨论/（力）的单调性；

（2）若0VaV:.

（1）证明：/（力）恰有两个零点；

（ii）设g为/（力）的极值点，的为/（力）的零点，且力i>g,证明:3g—力i>2.

【解析】⑴/'（劣）~~~~［aex-\-a（x—l）e。］=-一e,xE（0,+oo）.丁a40时，广（/）>0,函数/（名）

在（0,+8）上单调递增.

（2）证明:⑴由⑴可知：/'（/）=——e,xE（0,+oo）.令g（/）=1—ax2ex,g'（力）=—a（rr2+2x）exV0

g'（力）<0,g3）在（0,+oo）上单调递减，又g（l）=l—ae>。，且g（ln!）=1—a（ln-^-）2--1-=

2

1—（ln-^-）<0,g（x）存在唯一解x0E.且力e（0,g）时，g（力）>0,TG（Xo,+°°）时，g（力）<0,

即函数/（力）在（0,g）上单调递增，在（g,+8）单调递减.是函数/（劣）的唯一极值点.令4力）=ln/

—6+1,3>0）,4（力）=1力%,可得九（/）<九（1）=0,re>1时，Ina?<a;—1,=ln（ln-^-）—

a（ln-^--l）eln«=ln（ln-^-）—（ln-^--1）<0.V/（^o）>/（l）=0.函数/（%）在（g,+8）上存在唯一零

点.又函数/（力）在（0,g）上有唯一零点1.因此函数/（力）恰有两个零点；（近）由题意可得：/'（g）=0J

x

（Xi）=0,即axoe°=l,lng=a（x1—l）e时,/.Inxi=0J铲f,即留一的=力>1,可得Ina;<x—

XQXi-L

1.又©>g>l,故6—。=vN6（g1）=就，取对数可得:g—21nge2（g—l）,整理可

得：3g—rci>2.

（二）常见指数型函数模型

1.函数/（,）=e。—①—1在（一8,0）上是减函数,在（0,+8）上是增函数,于（x）在a=0处取得最小值0,

2.与对数型函数有关的常见不等式有：e»z+l,e〉c,e»e,,ey±(,>()),e，<—5(z<O),e»

1+力+.1(宏>0).

【例2】已知函数/(6)=(mT-l)ex,mER.

(1)讨论函数/Q)的单调性；

⑵若pG7?,qG(0,+8),证明：当馆=1时，于(p+q)+-q)2+2q>f(p一q)++Q)2

【解析】(1)由题意得/(力)=(mx+m—l)ex,

①?n=0时，/'(力)=-ex<0恒成立，故/(力)在R上单调递减，

②当?n>o时，若力e—1,+8),广(力)>0,函数单调递增，当⑦e(―8,1•—1)时，(㈤vo,函数单

调递减，

③当?nVO时，若力6(+—1,+8),广(力)V0,函数单调递减，当力6(-8,*—1)时，/'(/)>0,函数单

调递增；

(2)证明：772=1时,『(X)=xex,

要证/(p+q)+-|-(p-q)2+2q>于(p-q)+-|-(p+q)2,

即证/(p+q)—y(p+q)2+2q>/(p—q)—-|-(p-q)2,

QQ

即证/(p+q)--2(p+a)?+P+q>/(p—q)—y(p-q)+(p—q),

令g⑸=f(x)--rr2+a:,上面不等式等价于g(p+q)>g(p-q),

要证明g(p+q)>g(p—q)对于任意p,q>0都成立，即证g(w)单调递增，

又g'(力)=xex—3T+1,

令h(x)=e“一力+1,则h!(x)=ex-l,

当。>0时，〃(r)=ex—1>0,函数单调递增，当。V0时，”(力)=ex—1<0,函数单调递减，

故拉(/)>九(0)=0,即ex—x+1>0恒成立，

xx

故当力>0时，xe>/+力，Xe—30+1>/—26+1>0,

当力V0时，OVe'Vl,xex-3x+l=x(ex-3+>0,

综上可得，又/(/)=xex—30+1>0恒成立，故g(N)单调递增，故原不等式得证.

(三)常见三角函数模型

1.函数/(力)=sin/一力在(0,+8)上是减函数，函数g(力)=yT2+COST在(。,+8)上是增函数

("(/)=—/(/))，

2.与三角函数有关的常见不等式有：sin力<x(x>0),sin/<x<tan/(0<a:<,sinx>力—1—

-^-x2&cos力41—^-sin2a?.

【例31(2023届四川看成郡市高三上学期找底)已知函数/㈤=导2+cosc.

(1)记函数/(7)的导函数是/'(c).证明：当①>0时,[(c)>0；

(2)设函数g(c)=sma;+cosy—2劣—2,=af(x)+g(x)，其中a<0.若0为函数F(2)存在非负

的极小值，求a的取值范围.

【解析】⑴/'(/)=x—sinx.令h(x)=f'(x),则h\x)=1—cos/.

cosxe[—1,1],hf（x）>0恒成立，即/'（%）在R上为增函数.

V0,>/'（0）=0—sinO=0.ff（x）>0.

（2）F</）=af（x）+g'（i）=a（x—sin力）+~~:近力）=（3—sine）（a+士）.

由（1）知/'（力）在R上为增函数.

当力V0时，有/'（/）</z（0）=0,即x—sina;<0;

当力>0时，有r（/）>r（o）=o,即x-sin/>0.

当aV0时，由尸（力）=0,解得/1=0,j；2=ln（—看），且夕=。+看在R上单调递减.

①当一2VQVO时，x2>0.

当zV0时，有F'（z）<0;当OV/Vg时，有尸（土）>0;当n>力2时，有尸（名）<0,

函数F（力）在（-oo,0）上为减函数，在（0,T2）上为增函数，在（力2,+8）上为减函数.

・,・满足0为函数尸（力的极小值点；

②当Q=-2时，劣2=0.

/.TER时，有F'（N）<0恒成立，故F（N）在7i上为减函数.

・•・函数F（»不存在极小值点，不符合题意；

③当Q<—2时，力2Vo.

*.*当x<x2时，有尸（力）V0；当x2<x<0时，有尸（力）>0；当x>0时，有F'（X）<0,

工函数下（力）在（一8处）上为减函数，在（/2,0）上为增函数，在（0,+8）上为减函数.

・・・0为函数F&）的极大值点，不符合题意.

综上所述，若0为函数F（»的极小值点，则a的取值范围为（一2,0）.

㈣片T痴=急・

夕=等在（O,e）上是增函数，在（e,+8）上是减函数，7=6时取得最大值!，利用"=等性质解题易

错点是该函数在（e,+8）上是减函数，但该函数在（e,+<x））上没有零点，因为力>已时y>0.

【例4】（2022届“云栽金榜”N1联考高三下学期5月冲刺）已知函数/（力）=e。—a/lmr在宏=1处的切线与。

轴平行.

⑴求。的值；

（2）求证：/（力）在区间（0,+8）上不存在零点.

【解析】（1）/'（力）=ex—a（lnx+1）,由题意可得/'（1）=e—a=0,解得a=6；

（2）证明：要证/（2）=e。一ezine在区间（0,+8）上不存在零点，

即证/（力）=6。一e力In6=0在区间（0,+8）上不存在方程根，

-11Y1T/\-1/\1T1/、

化简可得—2-----------=0,即证函数g（6）——厂与h（x）-----在区间（0,H-oo）上不存在交点.

XXXX

g（c）=,定义域（0,4-0°）,

X

e⑦—1（力—2）a

g\x）=-----7则g（x）在（0,2）上单调递减，在（2,+8）上单调递增，=/2）=牙；

h（x）=,定义域（0,+8）,

f

h（x）=-一粤■，则h（x）在（0,e）上单调递增，在（e,+8）上单调递减，/zmax（T）=h（e）

力/e

又3>工即函数g（2）=旦-V与九㈤=生些在区间（0,+8）上不存在交点，

4exx

即/（6）=e*—e/lmr=O在区间（0,+8）上不存在方程根，得证.

（五）%=£或%=亳

3er

讨论？/=*的性质要注意2片0,该函数在（—8,0）和（0,1）单调递减，在（1,+8）单调递增

【例5】（2022居贵州唐六童水市第五中学高三上学期期末）设函数/（,）=加。+a{l-t）x（aGR,te（0,1））,其

中e是自然对数的底数，e42.71828….

（1）若f（x）Ve。在（0,+8）上恒成立,求实数a的取值范围；

（2）当t9时,若函数/（土）有两个零点,求实数a的取值范围.

【解析】⑴解：因为/（①）<e"在（0,+8）上恒成立，即（力一l）（e，—ac）<

0,又tC（0,1）,故（t—1）<0,所以只需e"—aa;<0恒成立，故只需a>

e"

三，

令g（c）=3，或工）=e气1）,当ze（0,1）时，g'（x）<0,当rcC（1,+00）

xX

时，g'3）>0,所以gQ）min==e，故aAe,即aC（e,+8）.

(2)当t=时，/(①)=ye：r+~^ax,

当c=0时，/(0)=y^0,

当cWO时，令/（，）=0,分离参数得一a=*,

由⑴得gQ）=',在（—8,0）和（0,1）单调递减，在（1,+8）单调递增，可得图像为:

所以一a>e,即Q<—e,即ae（―oo,—e）.

三、典例展示

【例1】(2022届吉林省东北婶篦大学府舄中学高三第五次模拟)已知函数/(7)=/爸，，e(1,+8),

(1)判断函数/(，)的单调性；

(2)证明：空不</@)<1.

X—l1

]-------Inx

【解析】⑴因为/(2)=-^舁，xG(i,+8),所以广㈤二一彳———,

设g(a?)=-Ina?,则g'(c)=<一白=^—^,

xxXX

因为力e(1,4-00),故d(力)VO,g(x)在区间(l,+oo)上单调递减,

故gQ)<g⑴=0,即f\x)<0,

所以函数f(G在区间(L+8)上单调递减.

(2)证明：一^—r<f(x)<l,xE(l,+oo)=I’-VlngV——1;

3CI_L37I_L

设p(/)=lnx—x+1,%6(l,+oo),p'{x)=-1--l<0,p{x}在区间(l,+8)上单调递减，

xE(l,+oo),p(x)<p(l)=0,即Ina?V①一1,即f(x)<1;

设强)=ln,一^^,丑(1,+8)3直)=5一^^=^=^>0,

则q(x)在(l,+8)上单调递增，

Xe(L+8),q(x)>q⑴=0,

即Ina;>2(”J所以f(x)=>—|-j-.

1T+1J'/x—lx+1

综上，3|7T

【例2】（2022届江西看九江市高三第三次模拟）已知函数/（，）=sin/—力+ax2（aER）.

⑴当a=0时，试比较/（力）与0的大小；

（2）若于㈤>0恒成立，求a的取值范围.

【解析】（1）当a=0时，/（%）=sinrc-x,因为—l&cos/Wl,

所以/'（力）=cos/—1W0,所以/（力）在R上单调递减，又/（0）=0,

所以当力V0时，/（r）>0;

当力=0时，/（力）=0;当％>0时,f（8）<0.

（2）（兀）>0,

下证当a>工时，/（必）>0,

兀

V—f（x）>sinx—6+-x2,令q（x）—sin力一力+—x2,

兀兀7U

要证/（力）>0,只需证g（c）>0,

①当力C（—oo,0］时，g⑸=sin/—x+-^-x2>sin力一力，由⑴知，g（x）>0,

29

②当力6（0,7T）时,gr（x）—cosx—14--x—p{x）,p，㈤=—sin力+—=q（x）,

易知q（N）在（0爰）上单调递减，在（与兀）上单调递增，

,:q（o）=/>o,q管）=-1+,vo,q（兀）=1>o,

・•・3T1G（0,y）,x2e（y,7U）,使得q（g）=q（g）=0,

工当优e（0期），（力2,兀）时，q（x）>0；当/e（如12）时，q（力）<o,

・"（名）在（0,电），（g,兀）上单调递增，在（为，宓2）上单调递减，

而p（o）=P（y）=P（兀）=0,

当力e（o,y）时,p（x）>0；当力e（.兀）时,0®vo,

.,.g（力）在上单调递增，在（专，兀）上单调递减.

而g（o）=g（兀）=0,，当%e（0,兀）时,g（劣）>0,

③当力C［兀,+8）时，p（x）>cosx—1+2^0,

g（x）在［兀,+8）上单调递增，工g（x）>g（兀）=0,

综上所述，a的取值范围是［］,+8）.

［^31（2022届天津市聚华中学高三下学期二*）已知函数/（0=^f+lnx-x（a>0）.

（1）若a=l,求函数/（力）的单调区间；

（2）若/（力）存在两个极小值点电,g，求实数a的取值范围.

a*

【解析】⑴当。=1时，函数/（/）=w+lnN—力,

可得/,（/）=勺口+5—1=(力-1)O

令?n（N）=ex—x,xE（0,+oo）,可得TTV（力）=ex—1>。，所以函数m（/）单调递增,

因为m(x)>m(0)=1,所以m(x)>0,

当力e(0,1)时，/'(力)<O,/(T)单调递减;

当力e（1,+°°）时，/'（力）＞o,/（力）单调递增，

即函数/&）的单调递减区间为（0,1）,单调递增区间为（L+8）.

（2）由函数/（/）=幽一+111力一力，力E（0,4-oo）,

可得

XX

令u{x）=W,可得〃'（①）=1二”,

ee

所以函数〃（力）在（0,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减，所以〃（名）&5，

当力＞0时，可得所以

①当a＞—时，Q—多＞0,此时当xE（0,1）时，/（劣）＜0,f（x）单调递减；

ee

当1e（1,+8）时（力）＞o,/（力）单调递增，

所以函数/（c）的极小值为/（1）—ae—1,无极大值；

②当0Va〈L时，u（a）=旦〈生=a,u（l）=—＞a,

eeaee

又由〃㈤在（a,l）上单调递增，所以/,㈤在（a,1）上有唯一的零点如且署=a,

2—x

因为当%>e时，令g(/)=21nx—x,可得g'(/)———\—<0,

X

又因为g(e)=2—eVO,所以g(x)V0,即21na;V/，所以21n-^-<十,

In』21n—1

——=a----<a,a⑴=一>a,

in-41'''e

ea一

a

因为u（x）在（l,+8）上单调递减，所以广（力）在（l」n5）上有唯一的零点如且善=a,

所以当力6（O,Ti）时，/'（力）VO,/（力）单调递减；

当（g,l）时,/'（力）＞0,/（N）单调递增；

当力G（1,电）时，/'（/）＜0,/（x）单调递减；

当力e（力2,+8）时，/'（力）＞0,/（力）单调递增，

所以函数于（X）有两个极小值点，故实数a的取值范围为（0,：）.

【例4】已知函数/（劣）=Inx—ax2—bx（a,bER）.

（1）当a=0时，若/（6）&0在/e（0,+8）上恒成立,求实数b的取值范围；

（2）设◎，电为一位）的两个不同零点，证明：/（d+◎）＜色?-2.

【解析】（1）当Q=0时，/（劣）=lnx—bx,

因为/（力）=1116一6力40在6G（0,+oo）上恒成立，

所以在力G（0,+oo）上恒成立，

令g（c）=乎■，即b＞g（，）max在cW（0,+8）上恒成立，则g'（x）=1—I，,

xx

令g'（力）＞0,解得0Ve,令g'Gr）V0,解得力＞e，所以g（力）在（0,e）上单调递增，在（e,4-oo）上单调递

减.

故gQ）max=g（e）=等=,

所以实数b的取值范围是[：,+8）.

（2）证明：要证明/（g+g）—2,

即证ln（©+12）—Q（/i+12尸—b（g+g）V力1：/_2,

只需证111（力1+电）<力1•力2和—Q（g+g）2—》（◎+g）<—2.

由⑴知，当Q=0,匕=!时，/（/）=In力—力<0,即InT<■力,

所以ln（力1+22）&*1；电-.

要证一Q（力1+/2）*—b（g+力2）V—2,即证Q（©+/2尸+b（力1+62）>2.

因为电，力2为/（力）的两个不同零点，不妨设OVgVg,

所以ln/i=axl+bxY,lnx2—ax1+bx2,

则In—=a(g+62)(xi—x2)+b(®i—x2),

ln+(g+g)

xr+x2二2

两边同时乘以，可得=a(xY+g)2+b®i+x2),

Xi-x2(61一力2)

即Q(力i+02尸+b(力i+02)

生_1

力2

2

令m=也C(0,1),则a(xi+x2)+b(xi+x2)=(恒+。『馆

62TTI—1

(m+1),Inm,2(m—1)4

即证1即证如

>2,G<^^=2—m+1,

4

即证Ina+^E—2V0.

令函数九(恒)=lnmd----1~一2,mE(0,1),则h\m)――------(一4、=^

m+1m(m+1)2m(m+1)2

所以无（?72）在（0,1）上单调递增，所以九（m）</z（l）=0.

所以一。(力1+电)2—b(Ni+g)V—2.故/(21+力2)V/1：62—2.

四、跟踪检测

1.已知函数/（力）=e。一a.

（1）若函数/（力）的图象与直线沙=力一1相切，求a的值；

（2）若aW2,证明/（力）>lnx.

【解析】⑴/（二）=ex-a,：.ff（x）=ex,令尸（力）=1,得力=0,

而当力=0时，g=-1,即/（0）=—1,所以/（0）=e°—a=-1,解得a=2.

（2）证明a2,/（T）=ec—a>ere—2,

令（p{x}=ere一1一1,则0'（x）=e/—],令“（rr）=0nc=0,

:.当力e（o,+8）时，/Q）>o；当力e（—8,o）时，（pf（x）<o,

・・・8（力）在（一8,0）上单调递减，在（0,+8）上单调递增，

/.9（力）min—8（。）=0,即>0,即e/>N+1,

.\ex—2^x—l,当且仅当x—Q时等号成立，

令h{x}—Inx—勿+1,贝Ift/（re）=:—1=1.”,令hr（x）=0n力=1,

/.当宏e(o,1)时，〃(力)>o；当ce(1,+8)时，//(力)vo,

・・・九㈤在(O,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

h(x)ma=h(l)=0,即h(x)O⑴=0,即Inx^x—1,

Inx<T—1,当且仅当x=l时等号成立，

工ea;—2>/—1>In劣，两等号不能同时成立，

err—2>In,即证/(力)>Inx.

2.已知函数/(/)=(6+f)ln力一QC,a>0.

(1)若。=2,求函数/(力)的极值；

⑵设g(c)=--(eax—ax2+ax)，当力>0时,/(力)<"(/)("(/)是函数g(C)的导数)，求Q的取值范围.

【解析】(1)/'(力)—Inx—I：1—1+十二(1—十)(1116—1),

令[(6)=0,得劣=1或力=e,

当0V/VI或力>e时，>0,当IV力Ve时，/'(力)<0,

所以函数/(力)在(0,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减，在(e,+8)上单调递增，

所以函数/(力)的极大值为/(1)=-2,函数/(/)的极小值为/(e)=-1--e.

(2)g'(/)=ya(eaa:-2力+1),

(x+!)1HN-arcW-^a(eax-2rr+1),即2(T2+l)ln力&ax(eax+1),

即(/+l)lnT2<lnea:c(eaa:+1),

设9(4)=(/+l)ln/,/(/)=Ina;+~|~+1,

设k{x)=1+：+Inx,k\x)—*-2-,

当0VcV1时，对⑸V0,当力>1时，k\x)>0,

所以函数kQ)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，

k(x))k⑴=2,即0‘(力)>“⑴=2,

则函数0(力)在(。,+8)上单调递增，则由0(y)>0(42),

得©加》/在(0,+oo)上恒成立，即arr>21n/在(0,+oo)上恒成立.

设%(‘)=*,"(0=2(1一y),

,X

当0<x<e时,h!(x)>0,当c>e时，//(力)<0,

所以函数九(力)在(0,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，

9

所以h{x)<ftz(e)=—,

2

故Q>二.

e

3.设函数/(力)=Bna—aln/，a>1.

(1)若对任意力e[4,+8),都有/位)>o,求。的取值范围；

(2)设g(c,n)=f(x)+/(T2)H---卜/(力")，nEN*.当0VcV1时，判断g(力，几),g(cc,2n),。(力,3九)是否能

构成等差数列，并说明理由.

【解析】(1)/(力)的定义域是(0,+8)D=lna一?=学^(力一言)

①若瑞44,则当①€[4,+8)时,山⑸>0,广㈤在[4,+8)单调递增,/(x)>0等价于/(4)>0,即

4111a—（zln4>0,由>1得y——4,.

Qmaln4m2

设九（力）=产~,x>l.//（6）=，*2I故九（劣）在（0,e）单调递减，在（e,+8）单调递增，而九⑵二九（4）

Inc［nx

=4■，所以需L焉的解集为⑵4］，

②若卷>4,则/（①）在［4,卷）单调递减，在（品，+8）单调递增，/Q）>0等价于/（卷）>0,即a

一a111自>°，即急&e,矛盾，故a的取值范围是[2,4].

(2)/(/")=xn\na—alnxn=xnlna—anlnx.

g(xyn)=f(x)+/(/)-|---l-/(Tn)=(relna)(l+x-\---\-xn~x}—(alnx)(1+2H---\-n)

alnx

普(IT)—n(n+1).

L—X2

同理可得g（，,2九）=答-x2n）-包产2九（2n+1）,

g（c,2"）=压野（1一/'）一包罗2九（2九+3）.

所以g(x,n)+g(cc,3n)—2g(劣,2")=—an2lnz—t：r"(l—a;")2.

下面证明g(x,n)+g(6,3n)—2g{x,2n)>0.

g（力）=n2lnx—日里•1/丁力"（1—xn）2］，且由（1）知今。&■，所以只需证明力G（0,1）时，一疗山力—

xn(l-xny>0.令t=xn£(0,1),即证一人n^(l-t)2>0.

e(l—T)e(l—我)

e(i，/lT)2一2班

设F(n)=—nlnt—口>1,Ff(n)—(1—tyXnt—1lnt>0,

一次（1一班）

廿（1一力）

所以F(t)>尸⑴=—In1—

Uy-3e

设G(t)=-Ini-仪1一力,G'⑴=-J—2t-30=_3t3-2t2-e<0,故G㈤在(0,1)单调递减,

eEeec

G⑴>g⑴=0.

所以g(rr,?i)+g(x,3n)—2g(x,2n)>0,故g(a;,7i),g(x,2n),g(x,3n)不能构成等差数列.

4.已知函数/Q）=詈（a40）.

（1）若对任意的26R,都有/（,）恒成立，求实数a的取值范围；

（2）设m,九是两个不相等的实数，且7n=碇团一九.求证：m+n>2.

【解析】⑴当a<0时）（!）=：,

aea

因为OVe苍Ve,所以~^Y>—,即/（工）〉工，不符合题意；

e百eae

当a>。时，/'（工）=工",

e

当力e（-00,1）时，f（/）>o,当（1,+8）时，/'（力）vo,

所以/（力）在（—00,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减.

所以告*

由/（力）<《恒成立可知■，所以aWl.

又因为a>0,所以a的取值范围为（0,1］.

(2)因为m=,所以"le-munef,即匹=2.

ee

令g(N)=多，由题意可知，存在不相等的两个实数力，九，使得g(m«)=g伍).

e

由(1)可知gQ)在区间(-oo,l)上单调递增,在区间(1,+8)上单调递减.

不妨设m<n,则mV1<n.

设h(x)=g(x)-g(2-x)(x>l),

12x-2[

则hr(x)=gr(x)-[g(2-x)]'=-+(x-l)ex-2=(rc-1)---->0,

ee

所以无(力)在(l,+oo)上单调递增，

所以人(力)>0,即g(6)>g(2—力)在区间(l,+oo)上恒成立.

因为>1,所以g(n)>g(2—n).

因为g(m)=g(n),所以g(m)>g(2一九).

又因为771V1,2—n<l,且。(力)在区间(—oo,l)上单调递增，

所以馆>2—九，即力十n>2.

5.已知函数/(力)=6。-e/+Q力(°eR).

⑴若在(-1,1+ln2)单调，求a的取值范围.

(2)若y=f(x)+exlnx的图像恒在x轴上方,求a的取值范围.

【解析】⑴由题意得力G/'(力)=ex-2ex+a(aER).

f(x)在(—1,1+ln2)上单调,即/'(力)=ex-2ex+a(aGR)在(—1,1+ln2)上大于等于0或者小于等于

0恒成立.

令g(x)—ex—2ex+a(aER),则g'{x)—ex—2e,当g<x)=0时，/=ln2e=1+ln2.

当—1<a?<1+ln2时，gf(x)<0,在(—1,1+ln2)上单调递减，

・••由题意得g(l+ln2)>0,或g(-l)<0,

解得a>2eln2或a4-2e—~~,

.♦.a的取值范围是(-8,—2e-SU[2eln2,+oo).

⑵y=ex—ex2+ax+exlnx的图象恒在为轴上方，也即当々e(0,4-oo)时，g>0恒成立.

也即a>ex---eln®在勿E(0,+oo)上恒成立.

ex1、ex2-ex-ex(x-l)(ex-ex)(x-1)

令秋6)=ex------elnx,fz^x)=----------弓--------=---------$-------,

xxx

令771(力)=e/—e",则=e—e",由=0得力=1,当力VI时m/(rc)>0,当力>1时，m\x)<0,

即力=1时，m⑸有极大值，也是最大值，所以7?1(力)W?n(l)=0,

所以e力&6*(当力=1时取等号)，再