宜宾2024年中考数学总复习知识梳理与练习：与圆有关的位置关系

其次十三讲与圆有关的位置关系

宜宾中考考情与预料

近五年中考考情2019年中考预测

年份考查点题型题号分值

2018切线的判定解答题23(1)5分

2017切线的判定与性质解答题2310分

2016切线的判定与性质解答题2310分预计2019年宜宾中考考查内容为切线的

切线的性质填空题14性质与判定.

20158分

切线的判定解答题23(1)

直线与圆的位置关系选择题8

20146分

切线的性质填空题15

宜宾考题感知与试做

1.（2014•宜宾中考）如图，己知AB为。。的直径，AB=2,AD和BE是。0的两条切线，A、B为切点，过圆

、后

上一点C作。0的切线CF,分别交AD、BE于点M、N,连结AC、CB.若/ABC=30°,则AM=七.

2.（2024•宣.宾中考）如图,AB是。0的直径，点C在AB的延长线上，AD平分/CAE交。0于点D,且

AE±CD,垂足为点E.

(1)求证：直线CE是。。的切线；

⑵若BC=3,CD=3y[2,求弦AD的长.

(1)证明：连结OD.：AD平分/EAC,.\ZOAD=ZEAD.V0A=0D,/.Z0AD=ZODA,

.*.ZEAD=ZODA,AOD^AE.VAE±DC,

.-.OD±CE,直线CE是00的切线；

⑵解:连接BD.

VZCD0=ZADB=90°,

/.Z0DA=ZCDB=Z0AD.VZBCD=ZDCA,AACDB^ACAD,

CDCBBD,厂、2BDCD3A/2A/2

.\CD2"=CB,CA,；.(3也)"=3CA,；.CA=6,.•.AB=CA-BC=3,7n=77=~设.NBD=

LACDUAvADLA0Z

y[2k,AD=2k.在七Z\ADB中，2k?+41?=32,；.AD=#.

3.（2024•宜宾中考）如图，AB为。0的直径，C为。0上一点，D为BC延长线上一点，且BC=CD,CE±AD

于点E.

(1)求证：直线EC为。。的切线；

(2)设BE与。0交于点F,AF的延长线与CE交于点P,已知NPCF=NCBF,PC=5,PF=4,求s"NPEF的

值.

(1)证明：连接0C.

：CE_LAD于点E,；.NDEC=90。.

：BC=CD,.•.点C是BD的中点.又：点。是AB的中点，；.0C是ABDA的中位线，...OC〃AD,

.,.Z0CE=ZCED=90°,；.OC_LCE.又，.*点C在。0上,二直线EC为。0的切线；.

⑵解:连结AC.

；AB是。。的直径，点F在。。上，

NAFB=NPFE=90°=/CEA.

VZEPF=ZEPA,/.APEF^APAE,/.PE2=PF•PA.

：NFBC=NPCF=/CAF,NCPF=NAPC,

APCFs△PAC,/.PC2=PF•PA,

APE=PC.

PF4

在AY/kPEF中，sinZPEF=—=-

PE5

宜宾中考考点梳理

回

切线长定理推论

考点清单

考点7点与圆的位置关系

1.点与圆的三种位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外.与其对应关系简明介绍如下:

点与圆的位置关系图示d与r的大小关系

点A在圆内d=OA<r

—

点B在圆上d=OB=r

C占

点C在圆外d=OC>r

【方法点拨】

(1)点与圆的位置关系的数量特征，既是定义，也可作判定方法.

(2)其中，点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与定点的距离相

等.

考点2直线与圆的位置关系

2.直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.既可以由直线与圆的交点个数来定义，也可以由圆心到直

线的距离的大小关系来定义.

直线与圆的位置关系相交相切相离

^-1

图示CD,,

公共点个数210

圆心到直线的距离d

d<rd=rd>r

与半径r的大小关系

3.切线的判定定理

经过圆的半径的外端且—垂直壬—这条半径的直线是圆的切线.

【方法点拨】

(1)若直线与圆只有一个公共点，则这条直线是圆的切线；(2)连结圆心与直线的公共点即为半径，再证它们

相互垂直，简称“连半径证垂直”；(3)当直线与圆的公共点没有确定时，首先过圆心作出直线的垂线，再证垂线

段的长等于半径，简称“作垂直证半径”.

4.切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径.

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必过切点.

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必过圆心.

【方法点拨】

(1)分析性质定理和两个推论的条件、结论间的关系，可知如下结论：假如一条直线具备下列三个条件中的两

个，就可以推出第三个：①垂直于切线；②过切点；③过圆心；(2)与圆的切线有关的协助线作法：①若一个圆有

切线，则常过圆心作切线的垂线段为协助线；②若条件交代了切点，则连结圆心和切点是最常见的协助线.

5.切线长定理

(1)切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这

两条切线的夹角.

(2)切线长定理的应用：如图，PA、PB与。0分别相切于A、B两点，则△PAO04PBO,PA=PB；NAPO=

ZBPO；OA2+AP2=OP2.

A

o

考点3三角形的外心和内心

6.三角形的外心：经过三角形三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆,三角形外接圆的圆心叫做这个三

角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，

到三角形三个顶点的距离相等.

7.三角形的内心：与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.三角形的内切圆的圆心叫

做这个三角形的内心，这个三角形叫做这个圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三条角平分线的交

点，到三角形三边的距离相等.

考点4圆中常见协助线的作法

8.（1）有弦，可作弦心距；（2）有直径，可作直径所对的圆周角，此时圆周角为直角；（3）有切线，可作过切

点的半径；（4）两圆相交，可作公共弦；（5）两圆相切，可作切线；（6）有半圆，可作整圆.

考点自测

1.AB是。。的直径，PA切。。于点A,P0交。。于点C,连结BC,若NP=40°,则NB等于（B）

A.20°B.25°C.30°D.40°

2.如图，在4ABC中，NA=66°,点I是内心，则NBIC的大小为（C）

A.114°,B.122°C.123°D.132°

3.以坐标原点0为圆心，作半径为2的圆，若直线y=—x+b与。0相交，则b的取值范围是（D）

A.0Wb<2斓B.—2巾WbW2小

C.—2小<b<2/D.~2y/2<b<2y[2

4.（2024•重庆中考A卷）如图，已知AB是。0的直径，点P在BA的延长线上，PD与。。相切于点D,过点

B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若。。的半径为4,BC=6,则PA的长为（A）

A.4B.2A/3C.3D.2.5

5.（2024•福建中考）如图，AB是。0的直径，BC与。。.相切于点B,AC交。0于点D,若NACB=50°,则

NB0D等于（D）

A.40°B.50°C.60°D..80°

6.（2024•安顺中考）如图“在ZiABC中,AB=AC,0为BC的中点,AC与半圆。相切于点D.

⑴求证：AB是半圆。所在圆的切线;

2

⑵若cos/ABC=§,AB=12,求半圆0所在圆的半径.

（1）证明：如图，作0ELAB于点E,连结0D、0A.

VAB=AC,0为BC的中点，.•.NCA0=NBA0.

：AC与半圆0相切于点D,/.OD±AC.

V0E±AB,，OD=OE.

VAB经过半圆0半径的外端,

；.AB是半圆。所在圆的切线;

⑵解:VAB=AC,0是BC的中点，.\AO±BC.

22

由cosNABC=可，AB=12,得OB=AB・cosZABC=12X-=8.

JO

由勾股定理，得A0=W匚而=4季.

由三角形的面积公式，得SAAOB=1AB•OE=1oB•0A,

•••半圆0所在圆的半径是平.

7.（2024•孝感中考）如图，4ABC中，AB=AC,以AB为直径的00交BC于点D,交AC于点E,过点D作

DFLAC于点F,交AB的延长线于点G.

(1)求证：DF是。。的,切线；

(2)已知BD=24，CF=2,求AE和BG的长.

Ga

CD证明：连结OD、AD.

；AB为。0的直径,AZADB=90°,即AD_LBC.

：AB=AC,，BD=CD.又；OA=OB,

/.0D/7AC.

VDG±AC,/.0.DXFG,，DF是。0的切线；

(2)解：连结BE.：BD=2m，.•.CD=BD=2V5.VCF=2,.•.DF=^/'7^p7^?=4.TAB是。0的直径，

NAEB=/CEB=90°,ABEXAC.

VDFXAC,；.DF〃BE,

；.DF为4BEC的中位线，

->.BE=2DF=8.

CFBD22A/5j—o2

cosC=cosZABC,-T=~7rT^AB=10,AE=A/10—8=6.

CDAB2y5ABv

VBE±AC,GFXAC,...BE〃GF,

AAEB^AAFG,

.AB_AE.106

•・篇=靠’・T0+BG=10—2'

10

BG=—

o

中考典题精讲精练

类型7点与圆、直线与圆的位置关系

命题规律:考查点与圆、直线与圆的位置关系，关键是熟记两者关系中的数量关系.

【典例11已知。0的半径r=3,设圆心0到一条直线的距离为d,圆上到这条直线的距离为2的点的个数为

m,给出下列命题：①若d>5,则m=0；②若d=5,则m=l；③若l<d<5,则m=3；④若d=l,则m=2；⑤

若d<l,则m=4.其中正确命题的个数是(C)

A.1B.2C.3D.5

【解析】依据直线与圆的位置关系，直线与圆的交点个数，分析命题中的数据即可得到答案.

①若d>5,则直线与圆相离，m=0,故命题①正确；

②若d=5,则直线与圆相离，m=l,故命题②正确；

③若l<d<5,则m=2,故命题③错误；

④若d=l,则直线与圆相交，m=3,故命题④错误；

⑤若d<l,则直线与圆相交，m=4,故命题⑤正确.

类型2切线的判定与性质

命题规律：考查切线的判定与性质，常以填空题、选择题、解答题的形式出现.

【典例2】（2024•德州中考）如图，AB是。0的直径，直线CD与。0相切于点C,且与AB的延长线交于点

E,点C是得的中点.

（1）求证：ADXCD；

（2）若/CAD=30°,。。的半径为3,一只蚂蚁从点B动身，沿着BE—EC—而爬回至点B,求蚂蚁爬过的路程

（〃心3.14,十心1.73,结果保留一位小数）.

【解析】（1）连结0C,依据切线的性质得到0CLCD,证明0C〃AD,依据平行线的性质证明；

（2）依据圆周角定理得到/C0E=60°,依据勾股定理、弧长公式计算蚂蚁爬过的路程即可.

【解答】（1）证明：连结0C.

;直线CD与。0相切，；.0C_LCD.

•.•点C是丽的中点，.-.ZDAC=ZEAC.

V0A=0C,.,.Z0CA=ZEAC,

.*.ZDAC=Z0CA,AOC^AD,AAD±CD.；

⑵解：：/CAD=30°,.,.ZCAE=ZCAD=30°,

由圆周角定理，得/C0E=60°,

.*.0E=20C=6,EC=^30C=3A/3,而的长=更高任=",

.•.蚂蚁爬过的路程=3+3#+）-11.3.

【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，,驾驭圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的

关键.

类型3与切线相关的几何探究题

命题规律：这类题目将圆、三角形、四边形的学问综合起来，考查综合应用学问解决问题的实力，题目难度

大，常为压轴题.

【典例3】（2024•黄冈中考）如图，AD是。。的直径，AB为。0的弦，OP±AD,0P与AB的延长线交于点P,

过B点的切线交0P于点C.

（1）求证：ZCBP=ZADB；

⑵若0A=2,AB=1,求线段BP的长.

DD

【解析】（1）连结OB,如图.依据圆周角定理的推论得到NABD=90°,再依据切线的性质得到N0BC=

90°,然后利用等量代换可证得NCBP=NADB；

ADA01-I-pp9

⑵依据两组角对应相等可证明△AOPS^ABD,然后利用不=於，即一二=彳，可求BP的长.

ADAD41

【解答】（1）证明：连结0B.

：AD是。0的直径，

NABD=90°,：.ZA+ZADB=90°.

：BC为切线，，OB_LBC,.•.Z,0BC=90o,

.,.Z0BA+ZCBP=90°.

VOA=OB,ZA=Z0BA,

/.ZCBP=ZADB；

⑵解：：OP_LAD,/.ZP0A=90°.

ZAOP=ZABD.又•:NOAP=NBAD,

.".7?tAA0P^>/?tAABD,

.AP_AO0nl+BP2

'•而一M即丁=，,/.BP=7.

【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理的推论以及相像三角形的判定与性质.（1）连结0B是解决问题

的关键；（2）证明^tAAOP^^tAABD是解决问题的关键.

跟踪训练1

1.（2024•宜宾中考）在4ABC中，若0为BC边的中点，则必有：AB2+AC2=2A（f+2B02成立.依据以上结

论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动，则PF'+PG，

的最小值为（D）

4由B.彳C.34D.10

2.（2024•湘西中考）已知。。的半径为5cm,圆心0到直线1的距离为5cm,则直线1与。0的位置关系为

（B）

A.相交B.相切C.相离D.无法确定

跟踪训练2

3.（2024•哈尔滨中考）如图，点P为00外一点，PA为。0的切线，A为切点，P0交。0于点B,ZP=

30°,0B=3,则线段BP的长为（A）

A

A.3B.3小C.6D.9

4.(2024•昆明中考)如图，AB是。。的直径，ED切。0于点C,