2025年高考数学总复习专项训练：对数与对数函数

专练11对数与对数函数

［基础强化］

一、选择题

1.1g|+21g2-(J)=()

A.1B.-1

C.3D.-3

答案：B

解析：原式=lg尚+lg4—2=lg(|X4)—2=1—2=—1.

2.函数y=、yiog^73x^2一的定义域是()

A.［1,+0°)B.修+8)

「2J<2J

C.y1D.(W，1

答案：D

解析：由题意得log卷(3%—2)20,即0<3x—2W1.

「•弓vxWl.

3.函数段)=log冷(x2—2x)的单调递增区间是()

A.(—8,0)B.(1,+8)

C.(2,+8)D.(—8,1)

答案：A

解析：函数於)=log与(f—2x)的定义域为(-8,0)U(2,+°°),由复合函数的单调性可知，函数危)

log/(f—2x)的单调增区间为(一8,0).

4.若函数«x)=(m—2)产是募函数，则函数(g(x)=log«(x+m)(a>0且〃W1)的图象过点()

A.(-2,0)B.(2,0)

C.(-3,0)D.(3,0)

答案：A

解析：=2)产为嘉函数，.,•小-2=1,m=3,

・・・g(x)=logaa+3),又g(—2)=0,

・・・g(x)的图象过(-2,0).

5.已知5§<84,134<85,设〃=log53,Z?=log85,c=logi38,则()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

答案:A

解析：a=log53e(0,l)"=l°g85e(0,l)4^=皤=log53.1og58<(^^)”=(^)'<1,

a<b.

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又；134<85,；.135<13><85,两边同取以13为底的对数得logi3135<logi3(13X85),即logi38>5,.

又；55<84,；.8><55<85,两边同取以8为底的对数得log8(8X55)<log885,即log85<1,：.b<j.

综上所述，C>b>a,故选A.

6.若d>b,贝!J()

A.In(a-Z?)>0B.3y3b

C.a3~b3>0D.\a\>\b\

答案：C

解析：通解：由函数y=lnx的图象(图略)知，当0<a—b<l时，In(a-6)<0,故A不正确；因为函数y

=3工在R上单调递增，所以当时，3">3",故B不正确；因为函数、二%3在R上单调递增，所以当

时，a3>b3,即〃一犷〉。，故C正确；当6<a<0时，|a|<|Z>|,故D不正确.故选C.

优解：当a=0.3,b=—0.4时，ln(a—6)<0,3a>3b,\a\<\b\,故排除A,B,D.故选C.

7.已知函数«x)=lnx+ln(2—x),贝！1()

A.加)在(0,2)单调递增

B.五尤)在(0,2)单调递减

C.>=/(尤)的图象关于直线尤=1对称

D.丫干力的图象关于点(1,0)对称

答案：C

解析：/(x)的定义域为(0,2),

/U)=lnx+ln(2-x)=ln[x(2-x)]=ln(一/+2尤).

设〃=—x^~\~2x,xG(0,2),

则〃=—七+2%在(0,1)上单调递增，

在(1,2)上单调递减.

又y=lnu在其定义域上单调递增，

.•犹x)=ln(—V+2x)在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减.

.•.选项A、B错误；

\'/(x)=ln尤+ln(2—x)—ft2—x),

.•犹X)的图象关于直线X=1对称，

选项C正确；

VX2-X)+式尤)=[ln(2-x)+lnx]+[Inx+In(2一切=2[ln尤+In(2一切,不恒为0,

...危)的图象不关于点(1,0)对称，

选项D错误.

8.若函数y=logj(a>0且aWl)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()

答案：B

解析：由y=logaX的图象可知log“3=l,

所以。=3.对于选项A：>=3-£=。"为减函数，A错误；

对于选项B：y=/,显然满足条件；

对于选项C：y=(-x)3=—%3在R上为减函数，C错误；

对于选项D：y=log3(-x),当x=-3时，y=l,D错误.

故选B.

flog«x,x>3,

9.若函数/(%)=c存在最小值，则实数〃的取值范围为()

l~2x+S,

A.(1,+°°)B.[小,+°0)

C.(1,小]D.(0,¥]

答案：c

解析：当xW3时，«¥)=-2%+8单调递减，则7(x)2黄3)=2；当%>3时，危)=logaX,必须满足〃>1,

且log〃322,得l<aW小.故选C.

二、填空题

10.［2024•全国甲卷（理）］已知a>l,且这一高=-|，则。=.

答案：64

11315

解析：因为记丽—旗？=正羡~2l°g2a=一］，所以（Iog2a+l）（log2。-6）=0.又a>l,故log2a=6,

解得a=64.

11.函数兀0=自一10g2（x+4）在区间［―2,2］上的最大值为.

答案：8

解析：因为函数*,y=—log2（x+4）在区间［―2,2］上都单调递减，所以函数43=自-log2（x

+4）在区间［—2,2］上单调递减，所以函数为0的最大值为八一2）=（，-log2（-2+4）=9-l=8.

12.函数式x）=log2（-/+2吸）的值域为.

答案:（-8,|

3

解析：*.,（）<—X2+2"^2Iog2（—）^log22y/2=5.

［能力提升］

13.若2。+log2a=4b+210g4b则（）

A.a>2bB.a<2.b

C.a>b2D.a<b1

答案：B

解析：2。+log2a=22fc+log2&<22fo+log2（2Z?）,

令<x）=2*+log2X,则犬a）勺（26）,

又易知/（x）在（0,+8）上单调递增，

所以a<2b,故选B.

14.（多选）对于函数式x）=lg心可+1），下列说法正确的有（）

A.式x+2）是偶函数

B.式工+2）是奇函数

C.加0在区间（一8,2）上单调递减，在区间（2,+8）上单调递增

D.1x）没有最小值

答案：AD

解析：对于A,B,因为危）=lg3/1）,故加+2）=lg佶+1），

又八一x+2)=lg3京+1)=lg6+1)，故人元+2)为偶函数，故A正确，B错误.

对于C,因为式x)=lg3力+1)

当xG(2,+8)时，因为y=-^r在xG(2,+8)时单调递减，故y=—^r+1单调递减，所以y=

坨告+1)在区间(2,+8)上单调递减，故c错误.

（占+1）

对于D,因为当xG(2,+8)时，j=lg单调递减，同理当工£(—8,2)时，y=lg

单调递增，当1f+8时，y-0,当xf—8时，yf(),

故启)没有最小值.故D正确.

15.(多选)[2023・新课标I卷]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱，定义声压级

£P=20Xlg,其中常数po3)>O)是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级:

声源与声源的距离/m声压级/dB

燃油汽车1060〜90

混合动力汽车1050〜60

电动汽车1040

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为pi，p2,P3,则()

A.P会P2B.P2>1O03

C.p3=lOOpoD.piW100.2

答案：ACD

解析：因为Lp=20Xlg上随着p的增大而增

Po

大，且Lp}e［60,90］,L力26［50,60］,所以

LP］，所以小）22,故A正确；由Lp=

20X1g-^―，得p=po10而，因为L力§=40,所以

力0

40

力3=Po1。旃=100加，故C正确；假设力2>

10力3,则力olO空>10力olO舞，所以10驾一富>

10