平面向量的概念及线性运算-2025年高考数学备考复习

第六章平面向量、复数

第1讲平面向量的概念及线性运算

课标要求命题点五年考情命题分析预测

1.通过对力、速度、位移等的平面向量的2022新高考卷

分析，了解平面向量的实际背有关概念IT3

景，理解平面向量的意义和两2022新IWJ考卷

个向量相等的含义.IT3；2020全

平面向量的本讲命题热点为平面向

2.理解平面向量的几何表示和国卷TH4；

线性运算量的线性运算、共线向

基本要素.2020新高考卷

量定理的应用，一般以

3.借助实例和平面向量的几何IIT3

选择题、填空题的形式

表示，掌握平面向量加、减运

出现，难度不大.预计

算及运算规则，理解其几何意

2025年高考命题稳定，

义.

备考时注意对向量的几

4.掌握平面向量数乘运算及运共线向量定

何意义的理解和应用.

算规则，理解其几何意义.理理的应用

解两个平面向量共线的含义.

5.了解平面向量的线性运算性

质及其几何意义.

■学生用书P112

1.平面向量的有关概念

名称定义备注

既有①大小又有②方向的

向量量；向量的大小叫做向量的长度平面向量是自由向量.

（或③模）.

零向量记作0,其方向是⑷任意

零向量长度为0的向量.

的.

与非零向量a共线的单位向量为⑤—

单位向量长度等于1个单位长度的向量.

和⑥一/一

1a1la1

平行向量（共方向⑦相同或相反的非零向量.0与任意向量平行（共线）.

线向量)

长度⑧相等且方向⑨相同相等向量一定是平行向量，平行向量

相等向量

的向量.不一定是相等向量.

若小〃互为相反向量，则〃=—力.

相反向量长度相等且方向相反的两个向量.

0的相反向量为0.

注意(1)0是一个向量，0是一个实数，101=0.

(2)两个向量不能比较大小，只能判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小.

2.平面向量的线性运算

向量

定义法则(或几何意义)运算律

运算

(1)a+b=b+a.

求两个向量和

加法/V(2)(a+b)+c=a+(b

的运算.

三角形法则平行四边形法则+c).

求〃与方的相

反向量一〃的XV

减法a(——8)・

和的运算叫做

三角形法则

〃与〃的差.

(1)12a1=I2Ilai.

(1)2([ia)=入=

求实数力与向(2)当丸〉0时，而与a的方向

〃(筋).

数乘量a的积的运⑩相同；当人＜0时，%与〃

(2)(7+〃)a—Xa-\-[ia.

算.的方向⑪相反；当7=0时，

(3)2(〃+力)=ka~\~kb.

筋=0.

注意利用三角形法则时，两向量要首尾相连；利用平行四边形法则时，两向量要有相同

的起点.

常用结论

向量运算的常用结论

(1)若P为线段的中点，O为平面内任一点，则而=3(,OA+OB).

(2)对于任意两个向量a,b,都有：①I|〃|一|〃|I<I。土bI<IaI+I6I;

②Ia+bI2+Ia-bI2=2(IaI2+I6I2).

注意当a,A不共线时：①式的几何意义是三角形中两边之和大于第三边，两边之差的

绝对值小于第三边；②式的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关

系.

3.共线向量定理

向量a（今0）与b共线的充要条件：存在唯——个实数九使⑫b—a.

注意（1）只有非零向量才能表示与之共线的其他向量.（2）两向量共线包含同向共线和

反向共线两种情况.

1.下列说法正确的是（D）

A.零向量是唯一没有方向的向量

B.单位向量都相等

C.a与分同向，且则a>b

D.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件

2.［新高考卷H］若。为△/BC的边的中点，则荏=（A）

A.2CD-CAB.2C1-CD

C.2CD+G4D.2CA+CD

解析解法一因为D是的中点，所以方=24，所以而=刀+四=方+2而=石？

+2（CD-CA）=2CD~CA,故选A.

解法二因为。是48的中点，所以而=1（刀+而），即2加=刀+而，所以而=2而

-CA,故选A.

3.已知向量”，6,若IaI=2,IbI=4,则Ia-bI的取值范围是「2,6］.

解析由Ila|—IblI<Ia—bI<IaI+I6I,得2sla-bI<6.

4.已知“与6是两个不共线的向量，且向量a+肪与一（/>—3«）共线，则］=一’.

4——k,

（k解得二

ri学生用书P113

命题点1平面向量的有关概念

例1（1）下列说法正确的是（B）

A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

B.若/,B,C,D是不共线的四点，且力=尻，则四边形A8CA为平行四边形

C.a=6的充要条件是IaI=IZ>I且。〃6

D.已知九〃为实数，若入a="b,则a与分共线

解析A错误，两个向量是否相等只与模及方向有关，与位置无关；B正确，因为荏=

DC,所以I荏I=I反I且荏〃反，又/,B,C,。是不共线的四点，所以四边形

488为平行四边形；C错误，当a〃b且IaI=I/>I时还可能是。=一。，所以“IaI

=I6|且a〃"‘是的必要不充分条件；D错误，当%=〃=0时，”与6可以为任意向

量，满足猫=〃仇但。与〃不一定共线.故选B.

（2）设a,分都是非零向量，下列四个条件中，使一成立的充分条件是（C）

IaIIbI

A.〃=一〃B.a//b

C.a=2bD.a//bS.\a\=\b\

解析因为向量丁J的方向与向量a的方向相同，向量下也的方向与向量8的方向相同，

IaIIbI

且一^=不”，所以向量a与向量8的方向相同，故可排除选项A,B,D.当a=28时，

IaIIbI

T^=4r=T）T，故a=2）是丁彳=丁，不成立的充分条件.

IaII2bIIbIIaIIbI

方法技巧

向量有关概念的关注点

（1）向量定义的关键是方向和长度.

（2）非零向量的平行具有传递性.

（3）平行向量即共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.

（4）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.

（5）向量/了是与向量"同方向的单位向量.

训练1下列说法正确的是（B）

A.相反向量就是方向相反的向量

B.a,b,c为非零向量，若“〃6,b//c,贝！Ja〃c

C.若。与5共线，则a=b或。=—b

D.若。为平面内的某个向量，ao为单位向量，则a=IaIao

解析对于A,相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，故A错误；对于C,若向量

。与6共线，则。与6的方向相同或相反，但长度不一定相等，故C错误；对于D,a与

lalao的模相等，但方向不一定相同，故D错误；易知B正确.故选B.

命题点2平面向量的线性运算

角度1向量加、减法的几何意义

例2(1)［多选是△N8C所在平面内一点，且满足IPB-PCI-IPB+PC-2PAI=

0,则△48C不可能是(AD)

A.钝角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

解析设。为边3c的中点，则而+而=2而，由已知有I丽I=I2PD-2PA|=

2\AD\,所以△45C为直角三角形，故选AD.

(2)［全国卷I］设a,分为单位向量，且Ia+bI=1,贝"a-bI=V3.

解析解法一如图，四边形O4C2为平行四边形，设立?=。，OB=b,

利用平行四边形法则得况=a+6,IaI=II=Ia+b1=1,'

...△CMC为正三角形，：.\BA\=\a-bI=2xyx|aI=V3.

解法二,'a,b为单位向量，且Ia+bI—1,(a+A)2—1,.*.1+1+2aA=1,

"-ab=-pIa—bI2=a2+62-2ab=1+1—2x(—=3,Ia—bI=V3.

方法技巧

利用向量加、减法的几何意义解决问题的思路

(1)根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解；

(2)平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可

考虑利用向量知识来求解.

角度2向量的线性运算

例3［2022新高考卷I］在△48C中，点。在边上，BD=2DA.\SXA=m,CD=n,则荏

=(B)

A.37n-2MB.-2〃？+3”

C.3〃？+2〃D.2，"+3"

解析因为50=2。/,所以屈=3而，所以荏=刀+卷=刀+34=石?+3(.CD-

CA')=一2万+3丽=—2胆+3".故选8.

方法技巧

向量的线性运算问题的求解策略

(1)利用三角形法则或平行四边形法则求解；

(2)利用相等向量、相反向量、共线向量以及三角形中位线等，把未知向量转化为与已知

向量有直接关系的向量进行求解.

角度3根据向量线性运算求参数

例4在△48C中，点。在线段8C上，且诙=2反，点。在线段CD上(与点C,。不重

合).^AO=xAB+(1-x)AC,则x的取值范围是(C)

A.(0,1)B.(-,1)C.(0,-)D.-)

3333

解析设前=屉,(|,1),则而=荏+丽=四+4玩=(1-/1)AB+AAC=xAB

+(1—x)AC,则x=l一丸£(0,1).故选C.

方法技巧

求参数问题可以通过向量的线性运算将向量表示出来，进行比较，构造方程(组)求解.

训练2(1)［多选］在梯形/BCD中，AB//CD,AB=2CD,/C与8。相交于点O,则下列

结论正确的是(ABD)

Ajc-AD=^ABB.IOA+2OCI=0

----->9----->1----->----->----->----->----->

C.OA=-CD+-CBD.AB+BC+CD+DA=0

33

解析对于A,AC-AD=~DC=-AB,故A正确.对于B,由题知竺="=工，所以函+2沆

2AOAB2

=0,故IOA+2OCI=0,故B正确.对于C,雨=|刀=|(CB-AB)=|(CB+2CD)

=|CB+^CD,故C错误.对于D,AB+BC+CD+DA^AC+CA^O,故D正确.故选ABD.

(2)在△ABC中，AB=2,BC=3®N/2C=30。，AD为边上的高.若而=2万+

/J.AC,贝！U—“=..

解析如图，♦.【£)为8c边上的高，：.AD±BC,'：AB=2,ZABC=30°,

：.BD=V3=-BC,：.AD^AB+BD^AB+-BC^AB+-(AC-AB}=-AB

3333、A

+-AC.

3

又前=2荏+〃就，/z=1,故丸一

命题点3共线向量定理的应用

例5(1)已知。为△43C内一点，且而=［(痂+反)，AD=tAC,若B,O,。三点共

线，贝卜=(B)

A」11B.i1C.：2D4

4323

解析设£是5。边的中点，则;COB+OC)=0Ef由题意得而=丽，所以而=［荏=

-CAB+AC)=-AB+-AD,又因为5,0,。三点共线，所以工+工=1,解得，=士故选B.

444t44t3

(2)［全国卷II］设向量。，。不平行，向量为+b与a+2b平行，则实数;1=,.

解析因为筋+〃与〃+25平行，所以存在"£R,使得筋+〃=〃(a+2〃)，即(丸一〃)a

+(1—2//)〃=0.因为向量出〃不平行，所以2—〃=0,1—2//=0,解得丸=〃得

方法技巧

利用共线向量定理解题的策略

(1)利用〃〃力=〃=劝(与第)求解.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即/,B,C三点共线0近，而共

线.

(3)若a与6不共线且急1=〃6,贝版=〃=0.

(4)O2=/lOB+/zOC(/,〃为实数)，若4B,C三点共线，贝!U+〃=l.

注意力［=%。豆+〃炉中的三个向量的起点相同时，才有/,B,。三点共线ud+〃=l.

训练3(1)已知ei,e2是平面内两个不共线的向量，OA=-3ei+2e2,OB=4ei+ke2,0C=

5ei—4e2,若4,B,C三点共线，则实数左的值为(A)

A.-lB.OC.lD.2

解析解法一因为瓦5=3ei+2e2,砺=4e+&2,OC=5ei-4e2,所以前=加一市=

(4ei+后e2)—(3ei+2e?)=ei+(k—2)ei,AC=OC—0A=(5ei—4e2)—(3ei+2e2)

=2ei—6e2,又/,B,。三点共线，所以存在唯一的实数;l,使得荏=%而，即幻+(左一

、/、〜(2/1=1,k=­l

2)氏=/1(2为一6及),所以1解得故选A.

I—6A=k—2,

解法二根据题意，设瓦5=x3§+(1-X)0C,则3ei+2e2=[4x+5(l—x)]ei+[fcv-

4%+5(1—x)—3

得

{kx~4(1—%)=2,

尸2,故选人.

［k=­l.

(2)［2023湖北天门中学、仙桃中学等校5月联考］如图，在△/BC中，AD

/1\

为边上的中线，G为△48C的重心，M,N分别为线段/瓦NC上的动

点，且跖N,G三点共线，^AM^AAB(¥0),丽=国(〃和)，贝!U'■------tr-

+4〃的最小值为(B)

39

A.1B.3C.2D.-

24

解析由题意得前=2前=幺工(AB+AC)=-(,AB+AC)=-C-AM+-AN),由于

332334〃

N,G三点共线,故廿或=1.故计4〃=U+4/z)号+或)=|+等+金|+2*|1=3,

当且仅当詈=高，即2=1,时等号成立，故九+4"的最小值为3,故选B.

6学生用书P115

等和线的应用

例6［全国卷HI］在矩形A8CD中，4B=1,40=2,动点尸在以点C为圆心且与相切的

圆上.若Q3同+〃而，贝!U+〃的最大值为(A)

A.3B.2V2C.V5D.2

解析解法一如图，过点C作CE〃8£＞交直线N8于点E,因为9=/1同

+〃而，则由等和线定理可知，当等和线/与圆相切时，2+〃最大，设此时/

与直线48交于点尸，则易知4B=BE=EF,此时力+〃=丝="土眄土变=空

「ABABAB

=3.

解法二以4为坐标原点，AB,4。所在直线分别为％轴、＞轴建立如图所示的

平面直角坐标系，则4(0,0),5(1,0),C(1,2),D(0,2).可得直

22

线BD的方程为2x+y—2=0,点。到直线5。的距离d=所以圆C

的方程为(X—1)2+(y-2)2=也因为点P在圆。上，所以可设p(1+

^cos<9,2+Wsin<9).易知荏=(1,0),AD=(0,2),AP=XAB+fiAD=Q,

1H----COSO=AfZr/r

2〃），所以，r所以7+〃=2+ycose+^sin6=2+sin（8+9）<3,其中

、2+淳也6=2〃，‘°

夕满足tan夕=2.所以的最大值为3.

方法技巧

等和线定理：如图，对于平面内一组基底瓦?，砺及任一向量而，OP==J'

MA+ftOBa,〃GR）,若点尸在直线上或在平行于N5的直线481

»•»I.1

上，贝!U+〃=A（定值）且I4I=黑=黑（F为OP与AB的交点），

UrUDUA

反之也成立.我们把直线AB以及与直线48平行的直线4耳称为等和线.

推导：由三点共线结论推导等和线定理，由三点共线结论可知，若方=x02+y旗（x,

ydR）,则x+y=l,由△0/2与△CMiS相似，必存在一个常数左（左GR）,使得加=

kOF,则演=的团]+刈万艮又。？=4万?+〃而a,〃GR）,所以;1+〃=左（x+y）

=上反之也成立.

训练4在扇形/。8中，。为弧上的一个动点，//。8=60。.若方=而2+了/,则x+

3y的取值范围是「1,31.

解析解法一如图1,在。8上取一点。，使OB=3OD,连接与0c交于点£,过

C作CF〃4D,交03于点尸，则而砺=x3X+3y赤，所以x+3y="=丝.当

C,/重合时，*最小，为1；当C,2重合时，*最大，为3,所以x+3y的取值范围是

口，3],

图1图2

解法二（坐标法）设扇形/O3的半径为1,以。为原点，建立如图2所示的平面直角坐

标系，则5(1,0),A(1,争,设NBOC=e,04喷,则C(cos<9,sin9),

0C=(cos0,sin。)=x(1,/)+y(1,0),

；2V3sin0

cos3=-+y,X=--------

27

即.解得•3

.八V3八V3sin0

sin。=­x,=cos3--------

273

所以x+3y=2^in-+3cos61-V3sin0=3cos0—ysin0.

令g(0)=3cos。一fsin®(0<0<^),易知g(0)在[0,g上单调递减，所以

g0)=1。⑻<g(0)=3,

所以x+3y的取值范围是[1,3].

解法三(构造函数法)设扇形/。8的半径为r,

因为方砺，

所以前2=(xQA+yOB^2=x2OA2+2xyIOAIIOBI-cos60°+y2OB2,即"=炉产+

孙川+)2r2,

整理得关于y的方程产+期+N—1=0.

易知》,»£[0,1],A=4-3X2>0,

—x+4-3x2

所以y=--------+---------,

-3x4-34-3X2134~3x2

所以x+3y=x+----------=—尹+工^——•

134~3x2

令/(x)=——(xG[0,I]),易知/(X)在[0,1]上单调递减，所以/(I)=

l<f(x)<f(0)=3,

所以x+3y的取值范围是［1,3］.

1.［命题点1］设mb为非零向量，则“o〃b”是“与6方向相同”的（B）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析因为a,b为非零向量，所以当a〃万时，a与方方向相同或相反，因此"a〃6"是"a

与方方向相同”的必要不充分条件.

2.［命题点3］在△48C中，点P满足钾=2而，过点P的直线与/瓦NC所在直线分别交于

有、M,N,若宿=加彳^,AN=nAC（m>0,〃>0）,则，力+2〃的最小值为（A）

pin

A.3B.4C.7D芳

33

解析如图，连接ZP,易知於=荏+前=荏+|（AC-AB}=^AB

MeW.

o---->i---->2---->12

+±力。=」-4用+上力乂因为“，P,N三点共线，所以「-+―=1,因为加>0,n>0,所以

33m3n3m3n

-17e

m-\~2n=（冽+2几）（—+一）=一+

3m3n3

曳+网>三+2也.等=3,当且仅当生=网，即.=〃=1时等号成立.

3m3n~3y］3m3n3m3n

3.［命题点3/2023河南省重点中学测试］已知。，E分别是△NBC的边N2,/C上的点，且满

足前=1与，荏=］肃下为直线与直线3c的交点.若赤=2同+〃前Q,〃为实

数），贝以一如勺值为（C）

D.-

A.lB.--3C.3-2

解析由题意，得力=诟+9=］屈+而.因为。，E,尸三点共线，所以而=应范=

k（,DA+AE）=k,左为实数，所以赤=1四+4=

（卜共）四十引才乙因为3,C,尸三点共线，所以《一夫）+|左=1，即左=2,所以而=

一：通+1尼.又赤=垢后十〃前，所以％=一：,林=三,所以〃一•%=,.

（---------------------------，练习帮!练透好题精准分层--------------------------

a学生用书•练习帮P316

“2024云南文山州月考］已知平面向量mb不共线，AB=4a+6b,BC=~a+3b,CD=

a+3b,贝!］（D）

A.A,B,。三点共线B.A,B,C三点共线

C.B,C,。三点共线D./,C,。三点共线

解析BD=BC+CD=6b,得不出说=%前，：.AB,前不共线，：.A,B,。三点不共

线，A错误；由已知得不出四=%说，：.AB,就不共线，：.A,B,C三点不共线，B错

误；由已知得不出丽=入而，：.BC,而不共线，：.B,C,。三点不共线，C错误；前=

AB+BC=3a+9b=3CD,：.AC,而共线，：.A,C,。三点共线，D正确.故选D.

2.［2024河南济源市第六中学月考］设a,5是两个非零向量，则下列说法正确的是

（C）

A.若Ia+b\=\a\—\b\f则a_L/>

B.若aA.b,则I〃+力I=I〃I—IAI

C.若Ia+bI=IaI-I6I,则存在实数九使得a=Xb

D.若存在实数九使得a=%，贝!!|a+bI=IaI—I6I

解析Ia+Z>I=I«I—IbI成立的充要条件是向量a,b方向相反，且|a|>|b|,

易知C正确.

3.如图，尸是线段。瓦的延长线所围成的阴影区域(含边界)内任意一点，且灰=

xOA+y^OB,则(C)\JJ

A.x+yWlB.x+y<l

C.x+y>lD.X+J>1

解析设赤与线段的延长线交于点E,则屈=4瓦?+(1-2)0B,设赤=/南，根据

题意易知加纪，当且仅当尸，£重合时加=1.所以加1+%(1-/)OB=xOA+

yOB,所以x=»d,y—m(1—4),x+y=»jNl.故选C.

4.已知平面向量a,b满足IbI=2,I2a—6I=1,则IaI的取值范围为(C)

2C,12

A.[1)1]B.(1,3)C.[j,汕.(2,4)

解析因为|2a—bI=1,所以I〃I—I2a—bI<2IaI<II+I2a—bI,所以

1<2IaI<3,可得IaIe[|,|],故选C.

512023武汉市调研]在正六边形/3CDE厂中，用尼和版表示而，则而=(B)

A.号m+5荏B-,前十|版

7-->2-->

C,--AC+-AED.*市+g荏

解析解法一如图，记正六边形的中心为。，连接3E,交/C于点

G,则点。在上，G为/C的中点，且G为08的中点，所以同=

-AC,CD^-GE^-(AE-AG')=-(AE--AC^^~-AC+-AE,故选

2333233

B.

解法二如图，以/为坐标原点，AB,NE所在直线分别为x轴，y轴建

立平面直角坐标系，不妨设正六边形NBCAE尸的边长为2,则/(0,

0),C(3,V3),n(2,2V3),E(0,2V3),所以标=(3,

V3),荏=(0,2V3),而=(-1,V3).设方=了前+了荏，则

(-1,V3)=x(3,V3)+y(0,2V3)=(3x,岳+2旬)，得

3%=-1,»皿3

・百x+2by=g,解付,所以方=一工前荏，故选B.

433

6.［2024四川资阳模拟］在平行四边形45CZ)中，£是4g的中点，尸是线段。£上的点，且

F^=-AB+-AD,贝!J(D)

84

A.丽=2而B.而=2万

CTD=3EFD.EF=3FD

解析解法一由四边形N5CZ)是平行四边形可知荏=比，因为E为的中点，所以

-->-->-->-->-->7-->1-->-->1-->1-->1-->1-->1-->..-->

AB^IAE,FD=FC+CD=；4B+2AD+CD=FAD-/aB=FAD-；力E=；ED,所以EF=

3FD.故选D.

解法二设丽=廊,Ae［O,1］,因为前=前一荏=前一［而，所以定=而+反=

AED+AB=A(AD-^AB)+AB=(1一夕)AB+AAD,又说=[荏+加,所以义=[,所

以方=工前，即丽=3万.故选D.

4

7J2024河南信阳部分学校联考］已知向量。=(6,2),则与。方向相反的单位向量b的坐

标为」f

解析解法一Q一土=(一骞，—噂),

解法二设力=筋=(6A,22)，4V0,则(62)2+(2A)2=1,得丸=一嘤，故〃=

z_3V10一包)

ioJio'.

8.［2024天津四中月考］在等腰直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，若获=^?+

dy,则△ABC的面积为—

IAC>IN.

解析方=芈7+不丝一=占7四尼•由题可知2，P，。三点共线，所以

\AB\\AC\\AB\IACI''J\AB\

蒲=1.又因为I屈I=