高考数学一轮复习题型与专项训练：排列组合题型战法

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列

10.1.1排列组合(题型战法)

知识梳理

一分类计数原理与分步计数原理

1.分类加法计数原理：完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又有多种不同的办

法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和。

2.分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法，则完成

这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积。

原则：先分类后分步；由特殊点入手。

二排列与排列数

L排列：从〃个不同元素中取出加(加4〃)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从〃个不同元素

中取出m个元素的一个排列.

2.排列数：从〃个不同元素中取出山(租4〃)个元素的所有不同排列的个数，叫做从〃个不同元素中

取出机个元素的排列数，记作A：'

三组合与组合数

1.组合：从〃个不同元素中取出皿相<〃)个元素组成一个组，叫做从〃个不同元素中取出沉个元素

的一个组合.

2.组合数：从“个不同元素中取出砥利4")个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个不同元素中

取出机个元素的组合数，记作C：.

公式：(1)—n(n—l)(w—2)•••(M—m+1)=—————

(2)C">=小一1)5-2)…("根+1)=加且巾〃).特别地，C>1

世mlm\{n—m)l

性质：(1)①O!=l;②4=〃!.(2)①G=C“.②C,M=C“+C„

题型战法

题型战法一数字排列问题

典例1.用0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）

A.36B.48C.60D.72

变式1-1.在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇

数的共有（）

A.36个B.48个C.54个D.60个

变式1-2.用04,2,3,4这五个数字能组成无重复数字且1与3不相邻的五位数的个数有（）

A.36B.48C.60D.72

变式1一3.用L2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共有（）

A.16个B.12个C.9个D.8个

变式1-4.用0,2,4,5,6,8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数共有（）

A.120个B.192个C.252个D.300个

题型战法二染色问题

典例2.用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不同的涂色方法共

A.24种B.36种C.48种D.72种

变式2-1.如图，有A、B、C、。四块区域需要植入花卉，现有4种不同花卉可供选择，要求相

邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（）

C.48种D.72种

变式2-2.用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的

C.36D.24

变式2-3.给图中A,B,C,D,E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若

有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（）

A.24种B.36种C.48种D.72种

变式2-4.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同区域）,

要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同涂色方法有（）

C.96种D.144种

题型战法三位置（元素）有限的排列问题（优先法）

典例3.将五辆车停在5个车位上，其中A车不能停在1号车位上，则不同的停车方案有（）

A.24种B.78种C.96种D.120种

变式3-1.4人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（）

A.14种B.16种C.10种D.13种

变式3-2.甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲

和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有可能情况共有（）

A.30种B.54种C.84种D.120种

变式3-3.甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、、乙不能同时站在两端，则不同

排列方式共有()

A.4种B.8种C.16种D.20种

变式3-4.某中学举行的秋季运动会中，有甲、乙、丙、丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位

同学安排在1,2,3,4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道

的不同安排方法种数为（）

A.12B.14C.16D.18

题型战法四相邻问题的排列问题（捆绑法）

典例4.为弘扬我国古代的“六艺”文化，某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每

周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排方案有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

变式4-1.“宫、商、角、徵、羽”起源于春秋时期，是中国古乐的五个基本音阶，亦称五音.如果

把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，要求宫、商两音阶相邻且宫音阶不在正中间，

则可排成不同的音序共有（）

A.48种B.36种C.32种D.24种

变式4-2.把语文，数学，英语，物理等7本不同的书放入书架，若数学书和物理书相邻，语文书

不放在最左边，英语书不放在最右边，则不同的放法共有（）

A.780B.960C.1440D.1008

变式4-3.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐一排.则小明的

父母都与他相邻的概率为（）

变式4-4.“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目.假设在这些栏目中，周一“看党

史'栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频.一位学习者准备从更新的这7项内容中

随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文章学习顺序相邻的学法有（）

A.216种B.108种C.72种D.54种

题型战法五不相邻的排列问题（插空法）

典例5.“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟歹会鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶粉蒸肉”、“宋

嫂鱼羹，，、“龙井虾仁，，、“叫化童鸡，，共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道菜要求依次而上，其中，，冰

糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上菜顺序种数为（）

A.480B.240C.384D.1440

变式5-1.2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开

始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立

春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里,

要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少

种？（）

A.24B.48C.144D.244

变式5-2.在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中选出3名

进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，则不同的提问方

式有（）

A.420种B.260种C.180种D.80种

变式5-3.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富

的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩墩”和3个不同造型的吉祥物

“雪容融”展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此间隔排列，则不同排法的种数是（）

A.A；B.C；A；A：C.A：A；D.A：A；A；

变式5-4.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商

业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放,

则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有（）

A.60种B.120种C.144种D.300种

题型战法六部分定序问题的排列问题（缩倍法）

典例6.5本书编号为a,b,c,力e,其中。必须排放在b的左边，则一共有多少种排放方法（）

A.42B.60C.30D.36

变式6-1.用123,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若2,4,6的顺序一定，则符合条件的七位数

有（）个

A.840B.210C.640D.410

变式6-2.某公司为庆祝年利润实现目标，计划举行答谢联欢会，原定表演6个节目，已排成节目

单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（）.

A.42B.56C.30D.72

变式6-3.习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之大计.哈九中

落实讲话内容，组织研究性学习.在研究性学习成果报告会上，有A、B、C、。、E、产共6项成

果要汇报，如果8成果不能最先汇报，而A、C、。按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的

汇报安排种数为（）

A.100B.120C.300D.600

变式6-4.某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中选取5个进行

演出.要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品在后.那么不

同的演出顺序种数有（）

A.240种B.480种C.540种D.720种

题型战法七分组分配问题

典例7.佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到

东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于

另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼

门进行服务，则不同的分配方法种数为（）

A.240B.180C.690D.150

变式7-1.6名志愿者要到A,B,C三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个社区，每个社

区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社区，则不同的安排方法共有（）

A.105种B.144种C.150种D.210种

变式7-2.2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、众志成城，构

筑起抗击疫情的坚固堡垒.某小区有小王、小张等5位中学生积极参加社区志愿者，他们被分派

到测温和扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们所在的两个组都至少需要2名中学生志愿

者，则不同的分配方案种数有（）

A.8B.10C.12D.14

变式7-3.甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去A,B,C三个不同的小区参加新冠疫情防控志愿服务，

每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）

A.28种B.32种C.36种D.42种

变式7-4.某校从8名青年教师中选派4名分别作为四个学生社团的指导教师，每个社团各派去1

名教师，其中教师甲和乙不能同时参加，甲和丙只能都参加或都不参加，则不同的选派方案有（）

A.360种B.480种C.600种D.720种

题型战法八x+y+z=n整数解的个数问题（隔板法）

典例8.学校有8个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有

（）种分配方案.

A.45B.210C.21D.120

变式8-1.袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的

球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（）

A.84种B.504种C.729种D.39种

变式8-2.将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分

配方法总数是（）

A.16B.18C.27D.28

变式8-3.7个相同的小球放入A,B,C三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（）种不同的

放法.

A.60种B.36种C.30种D.15种

变式8-4.将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲、乙、丙3人，每人至少得2本，则不同的

分法数为（）

A.720种B.420种C.120种D.15种

题型战法九正难则反的排列组合问题（间接法）

典例9.甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排

列方式共有（）

A.4种B.8种C.16种D.20种

变式9-1.某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在

第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（）

A.24种B.18种C.12种D.6种

变式9-2.某社区拟从6名男生、3名女生这9名志愿者中选出3人到某小区协助新冠肺炎防控工作，

要求选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）

A.48种B.53种C.56种D.63种

变式9-3.某学校开展劳动教育，决定在3月12日植树节当天把包含甲、乙两班在内的6个班级

平均分到附近的3个植树点植树，则甲、乙两班不在同一植树点的分配方案数为（）

A.72B.90C.84D.18

变式9-4.某大学开设A类选修课3门，8类选修课4门，一位同学从中选3门课.若要求两类选

修课至少各选一门，则不同的选法有（）

A.30种B.60种C.12种D.7种

第十章计数原理与概率、随机变量及其分布列

10.1.1排列组合(题型战法)

知识梳理

一分类计数原理与分步计数原理

L分类加法计数原理：完成一件事有几类办法，各类办法相互独立，每类办法中又

有多种不同的办法，则完成这件事的不同办法数是各类不同方法种数的和。

2.分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成几个步骤，每一步的完成有多种不同

的方法，则完成这件事的不同方法种数是各种不同的方法数的乘积。

原则：先分类后分步；由特殊点入手。

二排列与排列数

L排列：从“个不同元素中取出皿加4”)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从

〃个不同元素中取出机个元素的一个排列.

2.排列数:从〃个不同元素中取出砥mW")个元素的所有不同排列的个数，叫做从〃个

不同元素中取出机个元素的排列数，记作4：

三组合与组合数

1.组合：从〃个不同元素中取出加M4")个元素组成一个组，叫做从〃个不同元素中

取出加个元素的一个组合.

2.组合数:从〃个不同元素中取出双mW")个元素的所有不同组合的个数，叫做从〃个

不同元素中取出m个元素的组合数，记作C；；1.

公式：(1)=n(n—l)(n-2)•••(n-m+1)=:——

(n—m)\

(2)C：JDS一2)…+加(3N*,且机V”).特别地，

勺mlm\(ji—m)l

C；=l

性质：⑴①O!=i；②6="(2)①G=G；②c,+i=G+c,

题型战法

题型战法一数字排列问题

典例1.用0,1,2,3,4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）

A.36B.48C.60D.72

【答案】C

【分析】当个位数为0时，从其他4个数选3个进行排列，当个位数为2或4时，

从剩下的非零的3个数中选一个排在千位，再从剩下的3个数中选2个排在十位和

百位，最后用分类计数原理求解.

【详解】当个位数为。时，有禺=24个，

当个位数为2或4时，有2A=36个，

所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，

故选：C.

变式1-1.在1,2,3,4,5,6这六个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位

数字之和为奇数的共有（）

A.36个B.48个C.54个D.60个

【答案】D

【分析】分这三个数字是三个奇数和两个偶数，一个奇数两种情况计算.

【详解】解：①这三个数字为三个奇数，共H=6（个）；

②这三个数字为两个偶数，一个奇数，共C；C"；=54（个）.

故各数位之和为奇数的共有54+6=60（个）.

故选：D.

变式1-2.用0,1,2,3,4这五个数字能组成无重复数字且1与3不相邻的五位数的个数有

（）

A.36B.48C.60D.72

【答案】C

【分析】根据题意分当1在万位，当2在万位，当3在万位和当4在万位四种情况分

别求解即可.

【详解】根据题意：当1在万位时，千位不能排3,所以千位有：C；种，再排列剩下

的数字有：A；,所以当1在万位时，共有：C；A；=18种；

当2在万位时，先排0和4,有：A；种，会出现三个空，再将数字1和3插入三个空，

有A；种,所以当2在万位时，共有：A；A；=12种；

当3在万位时，千位不能排1,所以千位有：C；种，再排列剩下的数字有：A；,所以

当3在万位时，共有:C；A；=18种；

当4在万位时，先排0和2,有：A；种，会出现三个空，再将数字1和3插入三个空，

有A；种，所以当4在万位时，共有：A；A；=12种；

综上所述：满足条件的方法共有：C；A；+A；A；+C；A；+A；A；=60.

故选：C.

变式1一3.用L2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中比2000大的偶数共

有（）

A.16个B.12个C.9个D.8个

【答案】D

【分析】比2000大，故千位为2,3,4,分类讨论即可

【详解】比2000大,故千位为2,3,4,

千位为2,则个位为4,有A；=2种

千位为3,则个位为2或4,有A；.A；=4种

千位为4,则个位为2,有A；=2种

故一共有8种，

故选：D

变式1-4.用0,2,4,5,6,8组成无重复数字的四位数，则这样的四位数中偶数

共有（）

A.120个B.192个C.252个D.300个

【答案】C

【分析】根据个位数是否为零分类讨论即可.

【详解】若这个偶数的个位数是0,则有团=60个；

若这个偶数的个位数不是0,则有C：C：A；=192个.

故满足条件的四位数中偶数的总个数为60+192=252；

故选：C.

题型战法二染色问题

典例2.用4种不同颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，不

同的涂色方法共有（）

C.48种D.72种

【答案】C

【分析】根据分步乘法计数原理逐一按①②③和④涂色，即可求解.

【详解】对于①②③，两两相邻，依次用不同颜色涂，共有4x3x2=24种涂色方法,

对于④，与②③相邻，但与①相隔，此时可用剩下的一种颜色或者与①同色，共2

种涂色方法，则由分步乘法计数原理得24x2=48种不同的涂色方法.

故选:C

变式2-1.如图，有A、B、C、。四块区域需要植入花卉,现有4种不同花卉可供

选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有（)

24种C.48种D.72种

【分析】依次考虑C、D、A、B区域，利用分步乘法计数原理可得结果.

【详解】C区域有4种选择，D区域有3种选择，A区域有3种选择，8区域有2种选

择,

由分步乘法计数原理可知，不同的檀入方法共有4x3x3x2=72种.

故选：D.

变式2-2.用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜

色，则不同的涂色方法共有多少种（）

A.72B.48C.36D.24

【答案】A

【分析】可以同色的区域为BD,CE,分类讨论结合排列知识即可求解.

【详解】由题意，可以同色的区域为BO,CE；若只有8。同色，则有阎=24种；

若只有CE同色，有蜀=24种；若CE都同色，则团=24种，由分类计数原理，

共有24x3=72种，

故选：A.

变式2-3.给图中A,B,C,D,E五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻

的区域不同色.若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（）

A.24种B.36种C.48种D.72种

【答案】D

【分析】先对A，B,C三个区域染色，再讨论8,E是否同色.

【详解】当B，E同色时，共有4x3*2*2=48种不同的染色方案，

当B,E不同色时，共有4x3x2x1x1=24种不同的染色方案，

所以共有72种不同的染色方案.

故选：D.

变式2-4.现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六

个不同区域），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色

不同，则不同涂色方法有（）

A.48种B.64种C.96种D.144种

【答案】C

【分析】先给中间涂色，再给外边每个涂色，利用分步乘法计算原理求解即可.

【详解】根据题意，假设正五角星的区域为A,B,C,D,E,F,如图所示，

先对A区域涂色，有3种方法，再对B,C,D,E,尸这5个区域进行涂色，

因为8,C,D,E,F这5个区域都与A相邻，所以每个区域都有2种涂色方法,

所以共有3x2x2x2x2x2=96种涂色方法.

故选：C.

题型战法三位置（元素）有限的排列问题（优先法）

典例3.将五辆车停在5个车位上，其中A车不能停在1号车位上，则不同的停车

方案有（）

A.24种B.78种C.96种D.120种

【答案】C

【分析】根据分步计数原理，先让A车选车位，再让剩余车辆选车位，即可得出结

论.

【详解】第一步：先让A车选车位，有C：=4种；

第二步：让剩余四辆车选车位，有A：=24种，

所以共有：4x24=96种.

故选：C.

变式3-1.4人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（）

A.14种B.16种C.10种D.13种

【答案】A

【分析】分两类：甲在排尾，另一种甲不在排头也不在排尾，然后利用分类加法原

理求解即可.

【详解】根据题意分两类：

第一类：甲在排尾，其它3人全排列，有A；=6,

第二类：甲不在排头也不在排尾，则甲排在中间两个位置中的一个，然后从剩余的

除乙外的2人中选一人排在排尾，最后剩下的2人排在剩余的2个位置，则有

C©A；=8种，

所以由分类加法原理可得共有6+8=14种，

故选：A.

变式3-2.甲，乙，丙，丁，戊共5名同学进行劳动技能比赛，决出第1名到第5

名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且乙不是最后1名，则5人的名次排列的所有

可能情况共有（）

A.30种B.54种C.84种D.120种

【答案】B

【分析】根据题意先排乙，再排甲，再排其他人即可

【详解】根据题意先排乙，再排甲，再排其他人，则所有排列的情况有A；A；A；=54

故选：B

变式3-3.甲、乙、丙、丁4名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在

两端，则不同排列方式共有（）

A.4种B.8种C.16种D.20种

【答案】D

【分析】在四人全排的排法中，减去甲、乙同时站在两端的排法，即可得解.

【详解】利用间接法，将四人全排，共A：=24种不同的排法，

若甲、乙同时站在两端，此时有A；A；=4种不同的排法.

因此，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有24-4=20种.

故选：D.

变式3-4.某中学举行的秋季运动会中，有甲、乙、丙、丁四位同学参加100米短跑决

赛，现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲

不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（）

A.12B.14C.16D.18

【答案】B

【分析】根据题意，按甲是否在4道上分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法

数目，由加法原理计算可得答案.

【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：

①若甲在4道上，剩下3人任意安排在其他3个跑道上，有A；=6种排法，

②若甲不在4道上，甲的安排方法有2种，乙的安排方法也有2种，剩下2人任意

安排在其他2个跑道上，有2种安排方法，

此时有2x2x2=8种安排方法，

故共有6+8=14种不同的安排方法，

故选：B.

题型战法四相邻问题的排列问题（捆绑法）

典例4.为弘扬我国古代的“六艺”文化,某小学开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门

体验课程，每周一门，连续开设六周，课程“乐”“数”排在相邻两周，则不同的安排

方案有（）

A.60种B.120种C.240种D.480种

【答案】C

【分析】利用捆绑法即得.

【详解】因为课程“乐”“数”排在相邻两周，可用捆绑法，把“乐”“数”捆绑看作一个元

素与其他元素一起排列共M种，再排其内部顺序号种，

所以不同的安排方案有团120x2=240种.

故选：C.

变式4-1.“宫、商、角、徵、羽”起源于春秋时期，是中国古乐的五个基本音阶，亦

称五音.如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，要求宫、商两音阶

相邻且宫音阶不在正中间，则可排成不同的音序共有（）

A.48种B.36种C.32种D.24种

【答案】B

【分析】根据题意，先由捆绑法计算宫、商两音阶相邻的排法，排除其中宫音阶在

正中间的排法求解.

【详解】解：将宫、商两音阶看成一个整体，再与其他3个音阶全排列，有&A；=48

种排法，

其宫音阶在正中间的排法有2x&=12种，

所以宫、商两音阶相邻且宫音阶不在正中间，则可排成不同的音序共有48-12=36种

的排法，

故选：B.

变式4-2.把语文，数学，英语，物理等7本不同的书放入书架，若数学书和物理书

相邻，语文书不放在最左边，英语书不放在最右边，则不同的放法共有（）

A.780B.960C.1440D.1008

【答案】D

【分析】把数学书和物理书捆绑，从语文书的位置进行分类，结合排列知识求解.

【详解】先把数学书和物理书捆绑看作一个元素，共有用种方法；

当语文书放在最右边时，英语书和其它书排列，共有团种方法；

当语文书放不在最右边时，最右边放置除语文和英语之外的书，有4种方法，最左

边放置除语文之外的余下的书，有4种方法，其它位置没有要求，有用种方法；

综上共有反（6+4x4x4）=1008种方法；

故选：D

变式4-3.小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐

一排.则小明的父母都与他相邻的概率为（）

A.—B.—C.-D.—

2010510

【答案】B

【分析】利用捆绑法求出排列数，进而可得概率.

【详解】将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与

其他两个元素进行排序，则用N=12,

故所求的概率为1=A,

故选：B.

变式44“学习强国”学习平台设有“看党史”“听原著”等多个栏目.假设在这些栏目

中，周一“看党史”栏目更新了3篇文章，“听原著”栏目更新了4个音频.一位学习

者准备从更新的这7项内容中随机选取2篇文章和2个音频进行学习，则这2篇文

章学习顺序相邻的学法有（）

A.216种B.108种C.72种D.54种

【答案】A

【分析】分三步完成，利用分步乘法计数原理求解.

【详解】第一步从3篇文章中选2篇全排列，共有&种方法，第二步从4个音频中

选2个，共有c；种方法，第三步将2篇文章捆绑，再与已选取的2个音频进行全排

列，共用种方法，故所求的总方法数为看=216（种）.

故选：A.

题型战法五不相邻的排列问题（插空法）

典例5.“杭帮菜”山肤水豢，回味无穷.今有人欲以“糟烧鞭笋”、“冰糖甲鱼”、“荷叶

粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”、“叫化童鸡”共六道杭帮菜宴请远方来客.这六道

菜要求依次而上，其中“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”不能接连相邻上菜，请问不同的上

菜顺序种数为（）

A.480B.240C.384D.1440

【答案】A

【分析】利用插空法求解，先排列“糟烧鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井

虾仁”这4道菜，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空即可.

【详解】根据题意，先排列“糟燃鞭笋”、“荷叶粉蒸肉”、“宋嫂鱼羹”、“龙井虾仁”

这4道菜，共有A：=24种方法，

4道菜排列后，有5个空，然后用“冰糖甲鱼”和“叫化章鸡”去插空，有A；=20种方

法，

所以由分步计数原理可知共有24x20=480种不同的上菜顺序，

故选：A

变式5-1.2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四

节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.衡阳市某中学为了弘扬我国二

十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知

识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且

“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种？（）

A.24B.48C.144D.244

【答案】C

【分析】将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”、“谷雨”排列，然后“清

明，，与“惊蛰，，去插空即可

【详解】根据题意先将“立春”和“春分”两块展板捆绑在一起，与“雨水”、“谷雨”排

列，有4个空，然后“清明”与“惊蛰”去插空，

所以不同的放置方式有A；A；A：=144种.

故选：c

变式5-2.在2016年“两会”记者招待会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记

者中选出3名进行提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能

连续提问，则不同的提问方式有（）

A.420种B.260种C.180种D.80种

【答案】B

【分析】应用分类加法计数，结合排列、组合数求不同分类下的提问方式，最后加

总即可.

【详解】若3人中有2名中国记者和1名国外记者，则不同的提问方式的种数是

C；C；A；=80,

若3人中有1名中国记者和2名国外记者，则不同的提问方式的种数是C；C；A；=180,

故所有的不同的提问方式的种数是80+180=260.

故选：B

变式5-3.2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱

的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱.某商店有4个不同造型的吉祥物“冰墩

墩”和3个不同造型的吉祥物“雪容融”展示在柜台上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此

间隔排列，则不同排法的种数是（）

A.A；B.C；A：A；C.A：A；D.A：A；A；

【答案】C

【分析】分两步，第一步将4个“冰墩墩”全排列，第二步将将3个“雪容融”插进3

个空中，按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：依题意首先将4个“冰墩墩”全排列，有A：种排法；

再将3个“雪容融”插进3个空中，有A；种排法；

综上可得一共有A：A；种排法；

故选：C

变式5-4.某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段

新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能

连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序

的前提下，不同的播放顺序共有（）

A.60种B.120种C.144种D.300种

【答案】B

【分析】先插入一个商业广告，再在中间插入两个公益广告，由分步乘法原理可得.

【详解】安排方法是先插入一个商业广告有4种方法，再在6个商业广告中间插入

两个公益广告，方法数用，所以不同的播放顺序数为44=120.

故选:B.

题型战法六部分定序问题的排列问题（缩倍法）

典例6.5本书编号为a,b,c,d,e,其中a必须排放在b的左边，则一共有多少

种排放方法（）

A.42B.60C.30D.36

【答案】B

【分析】先求得5个编号任意排列的排法，分析可得。在b的左边和。在6的右边

是等可能的，计算即可得答案.

【详解】由题意得5个编号任意排列，有团种排法，

其中。在b的左边和。在匕的右边是等可能的，其排法数目时一样的，

所以。排放在b的左边一共有=60种排法

故选：B

变式6-1.用123,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，若2,4,6的顺序一定，则符合

条件的七位数有（）个

A.840B.210C.640D.410

【答案】A

【分析】根据倍缩法求解定序问题.

【详解】1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数，共有A；个，2,4,6的顺序有A；个，

所以所求的个数有*840,

故选：A.

变式6-2.某公司为庆祝年利润实现目标,计划举行答谢联欢会,原定表演6个节目，

已排成节目单，开演前又临时增加了2个互动节目.如果保持原节目的顺序不变，那

么不同排法的种数为（）.

A.42B.56C.30D.72

【答案】B

【分析】利用倍缩法，先将8个节目排好，由于原来6个节目顺序不变，则要除以

原有的6个节目对应的不同排法，即可得解.

【详解】解：增加2个互动节目后，一共有8个节目，这8个节目的不同排法有可

种，

而原有的6个节目对应的不同排法共有暧种，

故选：B.

变式6-3.习近平总书记在全国教育大会上发表重要讲话，称教育是国之大计，党之

大计.哈九中落实讲话内容，组织研究性学习.在研究性学习成果报告会上，有A、

B、C、D、E、产共6项成果要汇报，如果8成果不能最先汇报，而A、C、。按先

后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数为（）

A.100B.120C.300D.600

【答案】A

【分析】优先排3元素，然后根据A、C、。顺序确定用除法可得.

【详解】先排3元素，有5种排法，然后排剩余5个元素共团=120,由于4C、

。顺序确定，所以不同的排法共有岂沪=1。。.

故选：A

变式6-4.某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6个节目中

选取5个进行演出.要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞

蹈在前、小品在后.那么不同的演出顺序种数有（）

A.240种B.480种C.540种D.720种

【答案】A

【分析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解.

【详解】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有优=4种，再把5个

节目排列且满足舞蹈在前、小品在后，

有冬=60,总共有4x60=240种.

故选：A.

题型战法七分组分配问题

典例7.佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服

务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，

要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服

务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（）

A.240B.180C.690D.150

【答案】A

【分析】根据中门志愿者的人数，分情况讨论，再按照分组分配问题，即可求解.

【详解】第一种情况，当中门的志愿者有3人时，其他两个门有1个门1人，1个

门2人，有或C；A；=120种,

第二种情况，当中门有2人时，其他两个门也分别是2人，C；C；C；=90种，

第三种情况，当中门有4人时，其他两个们分别1人，有或A；=30种，

所以不同的分配方法种数是120+90+30=240.

故选：A

变式7-1.6名志愿者要到A,B,C三个社区进行志愿服务，每个志愿者只去一个

社区，每个社区至少安排1名志愿者，若要2名志愿者去A社区，则不同的安排方

法共有（）

A.105种B.144种C.150种D.210种

【答案】D

【分析】先安排2名志愿者到A社区，再考虑剩余的4名志愿者，分为两组，可以

平均分，可以一组1人，一组3人，再对两组进行分配，从而求出最终答案.

【详解】先选出2名志愿者安排到A社区，有C；种方法，

再把剩下的4名志愿者分成两组，有两种分法，一种是平均分为两组，有吟1种分

法，

另一种是1组1人，另一组3人，有C：C：种分法，再分配到其他两个社区，

则不同的安排方法共有等+C：A；=210种.

故选：D

变式7-2.2022年3月中旬，新冠肺炎疫情突袭南昌，南昌市统一指挥，多方携手、

众志成城，构筑起抗击疫情的坚固堡垒.某小区有小王、小张等5位中学生积极参

加社区志愿者，他们被分派到测温和扫码两个小组，若小王和小张不同组，且他们

所在的两个组都至少需要2名中学生志愿者，则不同的分配方案种数有（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】C

【分析】先