2024年秋季高三开学摸底考试数学试卷B卷含答案

2024年秋季高三开学摸底考试数学试卷B卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.设全集U=R，集合4={小2-2%>0},3={小=氏2用，则@可B=()

A.1x|0<x<21B.1x|0<x<21C.1x|0<%<21D.1x|0<x<2}

2.在平行四边形ABC。中,G为△ABC的重心，满足47=；0钻+/10(尤℃1i),则

x-2y=()

A.AB.-C.OD.-l

33

3.第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标,会标中

“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3,7,4,4,这是中国古代八进制计数符号,换算成

现代十进制是3x83+7x8?+4xU+4x8°=2020,正是会议计划召开的年份，那么八进制

4.已知函数/(%)=Asin(0x+0)(A>0,(v>09I^|<—)的部分图象如图所示，将

函数)(幻的图象向右平移加加>0)个单位长度后，所得到的函数g(x)的图象关于原点

5.已知圆£：尤2+〉2=从3>0）与双曲线。2：0—1=1（。>0力>0）,若在双曲线C,上

ab

存在一点P,使得过点P所作的圆C1的两条切线，切点为A,B,且NAPB=巴，则双

3

曲线。2的离心率的取值范围是（）

A.1,手B.]乎,+ooC.（l,73]D.[百,+oo）

6.已知函数/。）=苫3+以2+3利+。的图象在点（1,〃1））处的切线方程为丁=-12%+m.

若函数至少有两个不同的零点，则实数》的取值范围是（）

A.（-5,27）B.[-5,27]C.（-1,3]D.[-l,3]

7.已知A,B,C,D四点都在表面积为100兀的球0的表面上，若AZ）球。的直径，且

BC=4,ABAC=150°，则三棱锥A—5CD体积的最大值为（）

A.4V3B.873C.4（2-73）立8（2-5

2

8.已知函数/（x）=_^,则不等式/（x）〉e，的解集为（）

1+lnx

A.（0,1）B（/[C.（l,e）D.（l,+oo）

二、多项选择题

9.在复数集内，下列命题是真命题的是（）

A.若复数zcR，则彳cR

B.若复数Z满足z2eR，则zGR

Z],z?Z]=z

C.若复数满足zxz2eR,则2

D.若复数z满足』eR,则ZGR

z

10.已知函数/（尤）与g（x）的定义域均为R,/（x+3）+g（x）=3,/（x）-g（-l-x）=l,<

g（-l）=2,g（x-1）为偶函数，则下列选项正确的是（）

A.函数g（x）的图象关于x=-1对称B./（2）=l

2025

c.g（2）=0D.£"（A）+g（4）]=6074

k=l

11.已知抛物线c过点A（l,-4）,则（）

A.抛物线C的标准方程可能为/=16x

B.挞物线C的标准方程可能为2=--y

x4"

C.过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条

D.过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条

三、填空题

12.在［也-2］的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中

的常数项等于.

13.已知圆。：炉+/―4x+6y-12=0,直线/：4x-3y+23=0,P为/上的动点，过点P作

圆C的切线，切点为MM\PM\的最小值为.

14.某同学5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x,>,8,10,12.已知这组数据

的平均数为10,标准差为夜，则％-y的值为.

四、解答题

15.为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物试验，根据40个有放回简单随

机样本的数据，得到如下列联表：

(1)补全下面的2x2列联表(单位：只)；

疾病3

药物合

未患患

A计

病病

未服

7

用

服用819

合计

(2)依据a=0.05的独立性检验，分析药物A对预防疾病B的有效性.

八一八m2n(ad-bc)24,

参考公式：力=(a+b)(c+d)(a+c)W+d)淇中—+/

参考附表:

0.100.050.02

a

005

2.703.845.02

Xa

614

16.如图，在四棱锥A—BCOE中，平面平面BCDE，AELBE，四边形

BCDE为梯形，BCHDE，BC工BE，AB=25BC=2,CD=2旧BE=2,BD

交CE■于点。，点P在线段AB上，且AP=2Pfi.

(1)证明：0。〃平面AC£).

(2)求二面角A—CD—E1的正弦值.

22

17.在平面直角坐标系xOy中才隋圆C:f+与=1(。〉人〉0)的左,右顶点分别为A、B,

ab

点R是椭圆的右焦点,AE=3FB,A?FB=3.

⑴求椭圆C的方程；

(2)不过点A的直线/交椭圆C于M、N两点,记直线/、AM,AN的斜率分别为匕占，七.

若%(%+%2)=1,证明直线/过定点，并求出定点的坐标.

18.已知函数/(x)=2ox-a-l,g(x)=e*-ex.

(1)讨论g(x)的单调性并求极值.

(2)设函数M»=g，(x)—〃x)(g〈x)为g(x)的导函数)，若函数〃⑴在(0,1)内有

两个不同的零点,求实数。的取值范围.

19.已知函数/(x)=2sin(ox+0)(o>O,O<0<7i)在一个周期内的图象如图所示溶函

数/(幻的图象向左平移三个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.

(1)求g(x)的单调递增区间;

(2)在△ABC中，若/(A)=-0,AB=2,AC=5,求BC.

参考答案

1.答案：c

解析：A=|x|x<>2j,A=1x|0<%<21,XB=^x|y=log2|x|j=|x|x^Oj,

；.(2A)B=|X|0<%<21.

2.答案：C

解析：设AC,相交于点。,G为△ABC的重心，

可得。为BD中点，5G=2G9，

AG=AO+OG=AO+^OB=AO+~DB=~^AB+AD)+^AB-AD^

=243+,4£),所以％=2,)；=」,所以%—2'=2—2=0.

333-333

3.答案：C

解析：由进位制的换算方法可知,八进制77一-7换算成十进制得：

8个7

1_Q8

7X87+7X86+---+7X81+7X8°=7X——=88-b

1-8

88-l=(10-2)8-l=C°108+C；107(-2)1+---+^101(-2)7+C|(-2)8-1

因为C；K)8+c；K)7(_2)i+...+C；10i(-2)7是10的倍数,

所以，换算后这个数的末位数字即为C；(-2)8-1的末尾数字，

由C((-2)8—1=255可得沫尾数字为5.

故选:C

4.答案：B

解析：由题意得，4=3,—=7T—fT=6n>co=—,又

4{2J23

/(0)=3sin^=-,\(p\<-，：.(p=~,.■./(x)=3sinf-+-L将/(x)的图象向右平移

226136)

m(m>0)个单位长度后得到的函数解析式为g(x)=3sinri-?｝由题意可知,函

数y=g(x)为奇函数，=kn(keZ),m=—~3kn(keZ),当左=。时,

632

m=—,故选B.

2

5.答案：B

解析：连接。4、OB、OPMOALAP,OBLBP

由切线长定理可知,

=归用,又因为|1=|OB|,|OP|=|OP|,所以,ZXAOP三△BOP,所

1JT

以,NAP0=N3PO=—ZAP3:一,贝U|OP=2|OA|=2b,

26

设点P(x,y),则丁="

-Z?2,JL|x|>a,

a

\a?—b2=a$

Va

6.答案：B

解析：由题意，得r(x)=3x?+2ax+3。，，/")=3+5a=—12,a=-3,

/(x)=A3-3x?-9x+Z?.令/'(x)=3x?-6x-9=0,得占=一1,々=3.当x<—1或x>3

时，f\x)>0,.1/(x)在(-oo,—1),(3,+oo)上单调递增；当—l<x<3时，f'(x)<0,

.•./(X)在(-1,3)上单调递减二当x=-1时，/(x)有极大值/(-1)=H5；当x=3时，

缶+5>0

/(幻有极小值/(3)=6-27.若要使/(%)至少有两个不同的零点，只需，一，解

b-Zl<Q

得-5W6W27.故选B.

7.答案：D

解析：设球。的半径为R,因为球。的表面积为100兀，故4兀长=i(x)兀，即尺=5,

BC=4,ZBAC=120。,设AABC的外接圆半径为厂,圆心为Ox,

二根据正弦定理知,一--=2厂,即厂=4，

sin150°

3|=’OB?—Op=752-42=3，

AD是直径是AD中点，故D到平面ABC的距离为2\OO^=6,

在△ABC中，根据余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosZBAC，

BP16=AB2+AC2+gAB-AC>2AB-AC+6AB-AC，

ABAC<16(2-也)，当且仅当AB=AC时，等号成立，

.•.△ABC面积的最大值为S=gAB•AC•sinNR4C=gx16(2—6)义g=4(2-百),

三棱锥A-BCD体积的最大值y=1x4(2-73)x6=8(2-73).

故选:D.

8.答案：B

c_2.1+lnx

解析：函数则/(x)〉e'o^—一〉上，

1+lnx1+lnx1+lnxx

因x>0,则不等式/(x)〉e*成立必有l+lnx>0,即x〉L

e

令g(x)=求导得g1x)=e%x-1),当4<X<1时,g'(x)<0,

XeX2e

当x>1时,g'(x)>0，因此，函数g(x)在(L1)上单调递减，在(L+oo)上单调递增，

e

又/(%)>e”og(l+In九)〉g(X),

当x>l时,lnx+l>l,于是得l+lnx>x,即l+lnx-x>0,令力(x)=l+lnx-x,

当x>1时,hr(x)=--l<0,函数力(九)在(1,+co)上单调递减,Vx>1,h{x)<h(y)=0,因

%

此l+lnx>x无解，

当！<%<1日寸,0<lnx+l<1,于是得1+Inxv%,即1+lnx—x<0,此时h\x)=--1>0,

ex

函数/z(九)在(±1)上单调递增,(2,1),/z(x)<h(l)=0，不等式l+lnx<%解集为(±1),

eee

所以不等式/(%)〉e、的解集为(Ll).

e

故选：B.

9.答案：AD

解析：对于A,若复数z=a+OicR,则Z?=0,5=z£R，故A为真命题.

对于B,若复数z=i，则%?=-1$R，但zWR，故B为假命题；

对于C,若复数4=i,Z2=2i满足ZE=-2£R，但4w马，故C为假命题；

对于D,设复数z=a+bi(a,beR)，则-=f=7~:需—Ayi,

、7za+bi(a+bi)[a-bi)a+b-cr+b-

若工eR,则/?=0,所以z=aeR，故D为真命题；

z

10.答案：ABD

解析：g(xT)为偶函数，=,即有g(-x)=g(x-2),A正

确;，/(x+3)+g(x)=3,令x=T,可得〃2)+g(-l)=3,又8(-1)=2,,/(2)=1,：8正确;

/(%)—g(T—x)=l，，/(x)—g(x—l)=l，，/(%+3)—g(x+2)=l①,/(x+l)-g(x)=l

②

将①②式与/(x+3)+g(x)=3联立化简得

g(x)+g(x+2)=2,/(x+l)+/(x+3)=4,.,.g(x)=g(x+4)，/(x)=/(x+4),即/(%)与

g(x)的周期均为4,，g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=4,〃l)+〃2)+/⑶+"4)=8

g(O)=g(-2)=g⑵,g(O)+g⑵=2,

，g(—2)=8(0)=8(2)=1。错误；

又g(T)=2=g⑶,g⑴+g(3)=2

20257094

--.g(l)=0,.-.£g(Z:)=--x4+g(l)=2024,

k=i4

2。250074

/(l)+g(-2)=3,.-./(l)=2,.­.£/(左)=-x8+7•⑴=4050,

k=i4

2025

+g(左)]=4050+2024=6074,D正确.

k=\

11.答案：ABD

解析：对于选项A,当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为产二2内，将A。,T)代

入抛物线C中得p=8,则抛物线C的方程为丁=i6x，故A正确；

对于选项B,当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为必=_2刃，将4(1,T)代入抛

物线C中得夕=!，则抛物线C为/=-工y，故B正确；

84'

对于C、D选项，过点A与对称轴平行的直线，以及抛物线在点A处的切线都与抛物

线只有一个公共点，故C错误，D正确.

故选：ABD.

12.答案：112

解析：[近-的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，.•.”=8,

——8_4r

通项公式为&1=C)(-2)F3=(_2)JC〉令=0,求得r=2,

可得二项展开式常数项等于4xC；=112。

故答案为：112.

13.答案：^39

解析：将圆C化为标准方程为：（％-2了+（丁+3）2=25,

所以圆C的圆心为C（2,-3%半径为5,因为9,CM，

所以\PM\=JPC|2-|CM|2=J|PC|2一25,

所以当PC'/时,|F>//取得最小值，

因为圆心。（2,-3）到直线/的距离d

V？T?

所以归闾的最小值为Jg2_25=屈，

故答案为：V39-

14.答案：±2

解析：平均数为＜x（x+y+10+12+8）=10Wx+y=2（^,

方差为1x[(%-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(8-10)2]=2,

即(x-10)2+(y-10)2=2@,

由①②解得％=9,y=ll或x=ll,y=9,

所以当x=9，y=ll时,x—y=—2；当％=ll,y=9,x—y=2

故答案为：+2.

15.答案：（1）见解答;

（2）/土2.431<3.841,药物A对预防疾病3无效

解析：（1）列联表如下:

疾病3

药物合

未患患

A计

病病

未服

14721

用

服用81119

合计221840

（2）零假设为“°：药物A对疾病3无效.

n{ad-be)2

根据列联表中的数据，经计算得到/=

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

40x(14x11—8x7)2

«2.431<3.841

(14+7)(8+11)(14+8)(7+11)

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们没有充分证据推断H。不成立，可以认为4成

立，即认为药物A对预防疾病B无效.

16.答案：（1）证明见解析；

（2）正

2

解析：（1）平面平面BCDE，且两平面交于3E，又AE上BE，

.-.AE±^BCDE-

在ABE中，AB=2«，BE=2,：.AE=242-

BCLBE且BC=BE=2,.•.△BCE是等腰直角三角形，

NBEC=NBCE=,：.EC=2B

jr

BCHDE，ZCED=/BCE=-，

4

又EC=CD=2夜，.,.△OCE为等腰直角三角形，DE=4-

RC1

^BOCsADOE，——=—=—，

DODE2

Bpi

又，一戛=3'所以OP〃AD，。。.平面人口)陋匚平面人。。，

PA2

.•.。尸〃平面4C£).

(2)由(1)得AE_L平面BCDE，且BEJLDE，所以建立如图所示空间直角坐标系.

可得A（O,O,20）,C（2,2,0）,0（0,4,0）,

即AC=Q2,-20）,AD=（0,4,-20）.

ri-AC—2x+2y-20z=0

设平面ACD的法向量为〃=(%,y,z),则＜

n-AD=4y-2后z=0

解得〃=（1,1,.

平面CDE的法向量为EA=(0,0,2A/2).

n-EAy/2

设二面角A—CD—E为。，所以cos6=

同2，

则sin，=A/1-COS2^*4=立^•

2

22

17.答案:(1)W1；

43

⑵证明见解析,(-5,0).

解析：⑴由题意，知4(一00),3(。,0),尸(c,0)

〃+c=3（a-c）

AF=3FB,AFFB=3,*i

（a+c）（〃-c）=3

,\a-2

解得（从而〃二/一片二？

c=l,

22

椭圆c的方程三+工=1；

43

（2）设直线/的方程为y=kx+m,M（xi,yi）,N（x2,y2）.

V直线/不过点A,因此-2k+7〃wO.

[22

工工=]

由143-得（3+4/）尤?+8爪+4加2-12=。.

y=k+m

4m*2-12

A>0时，玉+x2=

：.k[+k2=+=—_（八r、"

%；+2x2+2玉々+2（玉+々）+4

4-m2-12-8km.

------+2不+4

3+4左23+4左2

12（机-24）3

4（苏-4km+4k2）m-2k'

由左（勺+&）=1,可得3人=7九一2左，即加=5左，

故I的方程为y=kx+5k，恒过定点（-5,0）.

18.答案：（1）见解析

（2）（e-2,1）

解析：（1）因为/（x）=e=e在R上单调递增，

所以当尤＜1时g1%）＜0,当1＞1时g〈x）＞0,

所以g（X）在（-00,1）上单调递减，在（1,+00）上单调递增,

所以g（X）的极小值为g⑴=0,无极大值.

（2）因为/z（x）==e*-e-（2or-a-l）=（

所以“(x)=e九一2a,

当无£(0,1)时,exe(1,e),

所以当2a«l或2〃Ne时,力⑴在(。,1)上单调，至多只有一个零点，不满足题意,

当l<2a<e时，由e'_2a=0可得x=ln(2a),

当x£(0,ln(2a))时,//(%)<0,h(x)单调递减，

当x£(ln(2a),l)时>0,/z(x)单调递增，

/z（0）>0

所以要使函数人⑴在(0,1)内有两个不同的零点，则有《〃(ln(2a))<0,

X1)>0

由<可得e