2024-2025学年人教版数学八年级上册 与三角形有关的线段 讲义

第十一章三角形

第1讲与三角形有关的线段

板块一三角形的三边关系

典例精讲

题型一利用三边关系判断能否组成三角形

【例1】用4根长度分别为5cm,7cm,9cm,13cm的木棒，可以摆出多少种不同的三角形？

题型二利用三边关系求参数范围

【例2】已知三角形的三边长分别为2,a—1,5,求a的取值范围.

【例3】已知等腰三角形的周长为12.

(1)若腰长为x,求x的取值范围；

(2)若底边长为y,求y的取值范围.

题型三利用三边关系取舍值

【例4】用一条长为41的细绳围成一个三角形，已知该三角形的第一条边的长为x,第二条边长

比第一条边长的3倍少4,若该三角形恰好是一个等腰三角形，求这个三角形的三边长.

题型四利用三边关系求最值

［例5］如图，在4ABC中，AB=3,BC=4,AC=5,D为BC边上一动点，将△ABD沿AD翻折，得

到点B的对应点为点P,连接CP,则CP的最小值为.

BiD

实战演练

1.已知三角形的三边长分别为2,aT,4,化简a-3|+|a-7|的结果为.

2.若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是；若等腰三角形的底边长为

4,则它的腰长b的取值范围是.

3.若三条线段中a=3,b=5,c为奇数，那么由a,b,c为边组成的三角形共有（）

A.1个B.3个C.4个D.5个

4.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长为4,但不是最短边，这样的三角形共有

_个.

5.一个等腰三角形的一边长为4cm,周长为20cm,求这个三角形的腰长.

6.一个等腰三角形的三边分别为4,3a-2,6a-6,求这个三角形的周长.

7.已知a,b,c为三角形三边的长，化简：||a—b—c|+|b-c—a|+|c—a-b].

8.如图，在ATIBC中，=6,4C=8,BC=10,D为AB边上一点（不与A,B两点重合），将△4CD沿

CD折叠，点A的对应点E落在BC的下方，求BE的取值范围.

板块二三角形的高

直角三角形锐角三角形钝角三角形

1

图形

AB•CF=AC•BC=2SAABCAB•CF=AC•BE=BC•AD=2SAABC

结论

三条高所在的直线交于一点，这个点称为垂心.

典例精讲

题型一依据三角形的形状确定高的位置

【例1】如图，已知△ABC,画出4ABC的高AM,CN.

题型二面积法，知高求底

【例2］在例1的条件下，若CN=3,AM=6,AB=10,求BC的长.

题型三依据高的位置，分类讨论求角度

【例3】已知AD是4ABC的高，NBAD=70°,NCAD=20°,求NBAC的度数.

题型四面积法，整体求值

【例4】如图，在4ABC中，AB=AC,CH是.ZiaBC的高，且C”=8,,D为BC上一点,DE

±AB于点E,DF，AC于点F,求.+DF的值.

实战演练

A

1.如图,C,D,E,则下列说法不正确的是（

A.AC是4ABC的高B.DE是ABCD的高

C.DE是AABE的高D.AD是AACD的高

2.如图，AD±BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有个.

3.如图，在AABC中，D为BC边上一点,BC=6,AD=4,则4ABC的面积的最大值为.

4.如图，在4ABC中，4口乖（：@，人8,垂足分别为口而抑=6匐=5风=4.求CE的长.

5.如图，在4ABC中，AB=2,BC=4,CH且AB于点H.

（1）如图1,AG，BC于点G.求证:CH=2AG；

⑵如图2,D为AC上一点（不与A,C两点重合），DE,AB于点E,DF，BC于点F.若DE=DF,

求（”的值.

板块三三角形的中线

中线重心

星

图形

AD为中线0为重心

①BD=CD；①SZ\A0B=S4A0C=SZSB0C；

②CZ\ACD-CZ\ABD=AC-AB（C表示周长）；②SZXAOF=SAB0F=SAB0D=SAC0D=SACOE=SA

结论

③SZ\AMD=SZ\ACD=1/2SZ\ABC；AOE=1/6SAABC；

@SABPD=SACPD,SAAPB=SAAPC,③0A=20D,0B=20E,0C=20F.

典例精讲

题型一中线的性质与应用

【例1】如图,BD是4ABC的中线,AB=7,BC=3,且4ABD的周长为15,求aBCD的4

BCD周长.

C

【例2】如图，在aABC中，D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，.=4,求S

/1DLDcr

题型二重心的性质与应用

【例3】如图,0为△ABC的重心,AO,BO,CO的延长线分别与BC,AC,AB交于点E,F,D.

(1)图中与△Z。。面积相等的三角形共有个(△4。。除外);

(2)试说明:AO=2OE.

实战演练

1.如图，在4ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，则加=

s

°ABC

2.如图,0是4ABC的重心,AN,CM相交于点0,△MON的面积是1,则4ABC的面积为

3.已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm的两个部分，求这个三

角形的底边的长.

4.如图，在4X3的正方形网中，每个小正方形的顶点叫做格点，AaBC的顶点B,C为格点,C

D为4ABC的中线.请用无刻度的直尺在图中画出.△ABC的重心G,并画出△ABC的中线B

F.

5.如图，在△ABC中，AB=10cm,AC=6cm,,D是BC的中点，点E在边AB上，八BDE与四

边形ACDE的周长相等.

(1)求线段AE的长；

(2)若图中所有线段长度的和是53cm,直接写出BC+LDE的值.

2

板块四面积转化与面积法

图形4卤

BC

D为BC上一点AD〃BC

3)SAABC=SADBC,SAABD=SAACD；②S4AB0=S^DC0；

结论SAABD=BD

③S4ND=4Di,③△C=S4N0=SZkN0=DD.

典例精讲

题型一面积法求值

【例1】如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,AC,BD交于点0,Sz\B0C=2SZ\A0B,BD=12,则0D的长为

题型二转