黑龙江省大庆市某中学2023-2024学年高二年级下册7月期末考试 数学试题（含解析）

大庆中学20232024学年度下学期期末考试

高二数学期末考试题

考试时间：120分钟满分：150分

说明：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上.

2.将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合2=卜y=={xeN）X?&3x-440},则4cB=（）

A.[-l,2]B.[0,2]C.{0,l,2}D{1,2}

2.已知awR,则“a>l"是“1<1”的（）

a

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

3.北斗七星是夜空中的七颗亮星，中国古代天文学家分别把它们称作：天枢、天璇、天矶、天权、玉衡、开阳、摇

光.我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七

星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一.如下图，用点48,。,。,瓦尸,6表示某季节的北

斗七星，其中点8,D,E,尸看作共线，其他任意三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作

的不同三角形的个数为（）

天正

A.30B.31C.34D.35

4.已知等差数列{%}的前〃项和为S“，且勺+的=10凡=30,则数列{%}的公差为（）

A.1B,2C.3D,4

5.在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（）

A.常数项为240B.含x-3的项的二项式系数为15

C.各项的二项式系数和为64D.第四项为60x7

6.曲线y=In（2x-1）上的点到直线2x-y+3=0的最短距离为（)

A，V5B.2VTC.3V5D.2

7.在正方体力BCD-中，P,。分别为皿，耳。上的动点，且满足/P=40,则下列4个命题中,

①存在P,。的某一位置，使4B//PQ

②ABP。的面积为定值

③当尸4>0时，直线P4与直线一定异面

④无论P,。运动到何位置，均有3CLP0

A.①③④B.①②④C.②④D.①③

2m

8.已知加且加？+2〃=3加，则-----的最小值为（）

m-14n

399

A.-B.-C.-D.2

224

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.以下几种说法正确的是（3

A.对于相关系数「,卜|越接近1,相关程度越大，M越接近0,相关程度越小

B.若随机变量《用满足"=2^+1,则。⑺=2。偌）+1

C.根据分类变量X与丫的成对样本数据，计算得到％2=4.712.依据a=0.05的独立性检验（“。5=3用41）

,可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05

D.某人在“次射击中，击中目标的次数为X,射击中靶的概率为P,若E（X）=30,Q（X）=20,则

2

p=-

3

10.如图，已知一个八面体的各条棱长均为2,四边形48CQ为正方形，则下列结论不正确的是（）

E

A

Q

A.该八面体的体积为一

3

B.E到平面ADF的距离为V3

C.该八面体的外接球的表面积为16K

DEC与BF所成角为60°

11.定义:设r（x）是“X）的导函数，i"（x）是函数r（x）的导数若方程/"（4=。有实数解玉），则称点

（X。,/（/））为函数歹=/（X）的''拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是

三次函数图像的对称中心，已知函数〃x）=ax3+6x2+g（M彳0）的对称中心为（1,1）,则下列说法中正

确的有（）

A.a=一,b=—T

3

B.函数〃x）有三个零点

C.过（3,；]可以作两条直线与夕=/（x）图像相切

D.若函数/（x）在区间（f-6J）上有最大值，则0<143

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量X~N（3,4）,且P（X>3c-2）=P（X<2c+l）,则c的值为.

,,[a+2,〃为奇数，

13.已知数列%满足：氏+2=/不佃%[=2,牝=1，则此数列的前20项的和为________.

.2%,"为偶数,

14.受环境和气候影响，近阶段在相邻的甲、乙,丙三个市爆发了支原体肺炎，经初步统计，这三个市分别有

8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒，已知这三个市的人口数之比为4:6:10,现从这三个市中任意选

取一个人.则这个人感染支原体肺炎病毒的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.（本小题13分）

在1,2,3,……，8这8个自然数中，任取3个数字.

（1）求这3个数中恰有1个偶数的概率；

（2）设X为所取的3个数中奇数的个数，求随机变量X的概率分布列及方差.

16.（本小题15分）

己知函数/（x）==-1是函数/（X）的一个极值点.

（1）求a的值；

（2）求的单调区间.

17.（本小题15分）

在如图所示的几何体中，四边形Z5CQ是边长为6的正方形，四边形NCE尸为菱形，ZCAF=\平

面ZCE尸，平面N8CD

（1）求三棱锥B-DE5的体积；

（2）求平面BAF和平面BCE夹角的余弦值.

18.（本小题17分）

某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取

一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：

售出水量X（单位：

76656

箱）

收益》（单位：元）165142148125150

（1）求收益y关于售出水量》的回归直线，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元?

^x^-nxy55

附：5=--------------,a=y-bx,x=6,y=\46，Y苍乂=4420,£x：=182

^x,2-nx2,=|I

1=1

（2）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困

生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级前201〜500名，获二等奖学金300元；考入年级501

21

名以后的特困生不获得奖学金.甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为一，获二等奖学金的概率均为一，不

53

获得奖学金的概率均为二4.

15

①在学生甲获得奖学金的条件下，求他获得一等奖学金的概率；

②已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分

布列及数学期望.

19.(本小题17分)

若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新

的数歹『现对数列1，3进行构造，第一次得到数列1,4,3；第二次得到数列1,5,4,7,3；依次构造，

第次得到的数列的所有项之和记为%,如％=1+4+3=8.

(1)求生;

(2)求｛%｝的通项公式；

11115

(3)证明：---1--------1---1---<—.

a

%a2生n24

高二数学期末考试题

答案和解析

【答案】

l.C2.A3.B4.B5.D6.A7.A8,C

9.AC10.ABC11.ACD

7

12.-13.113314.0.054

5

【解析】

1,解：4=卜y=x2},5=^XGN)X20-3X-4oj=|0,l,2,3,4},

所以4c8={0,l,2},

故选C.

2.解：若a>l,则0<，<1成立，

a

当a=—1时，满足一<1,但a>1不成立.

a

・・.a>1是,<1的充分不必要条件.

a

3.解：过这七个点中任意三个点有C；=35种，

又因为尸共线，在这四个点中任取3个点不构成三角形，有C；=4种，

所以不同三角形的个数为35-4=31,故选B.

4.解：设等差数列的公差为d,

_5(%+%)一5-30

%=6,

又。2+。3=1°，

a2=4,

..d~〃■)=2,

故选B

5.由题可知二项展开式的通项为1+1=鼠(24)6"{1|=26"晨.》等.

对A,当？万一=0,即r=2时取得常数项24(2；=240,故A正确；

6-3y

对B,当丁~=-3,即/'=4时取得X-3的项，其二项式系数为c：=15,故B正确;

对C,二项式系数和为26=64，故c正确

6-3*33

对D,第四项为4=267或.工二­二1608-5，故D错误.

故选：D

6.解：设曲线上过点P(%的切线平行于直线2x-y+3=0,

此切点到直线2x-j+3=0的距离最短,

2

2x-l

2

-----7=2，得飞=1，

2%-1

二.曲线/(x)=In(2x-1)上的点P(1,0)到直线2x-歹+3=0的最短距离为d_匕0+31_«

-7?THF1

故选A.

7.解：在①中，当尸,。分别是线段和4c的中点时，AB//PQ,故①正确;

在②中，假设正方体边长为1,P在4处时，。在C处时，的面积为

I万

5，P在〃处时，。在C处时，A8P0的面积为手，故A8P0面积不是定值，故②错误;

在③中，当P/>0时，假设直线P可与力。是共面直线，

则/P与4。共面，矛盾，所以直线尸4与z。是异面直线，故③正确;

在④中，3C垂直于P0在平面N8CZ)内的射影P'。'，如图，

又因为BC1QQ',BC±P'OM'cP'0'=O'，O0'u平面PP'0'0、P0'u平面PP'00,

所以平面尸P'0'0,

又尸0u平面尸产'0'0,

所以无论尸,0运动到任何位置，均有8clp0,故④正确.

故选A.

8.解：因为〃z2+2〃=3加，所以2〃=3〃?一加2,

因为〃>0,加>1,所以2〃=3m-加2〉0，得

2m_2m_21

所以加一14nm-\2（3加一加,m-\2（3—加）'

t己。=加一1力二3一加,

所以。+力=加一1+3—m=2,

所以"2=晨且a>o,/）>o,

2

2m2121

m-\4〃m-\2（3—加）a2b

=£±A+*=2+2+幺也』=2.

a4b4Q4b-4\4ba4

iO/l

当且仅当二=—即6=—,a=彳等号成立，

4ba33

竺

此时797.

m=—,n=----=—

329

故选：C

9.解：在回I归分析中，相关指数的绝对值越接近于1,相关程度就越大，A正确；观测值越大，有关系把握

程度越大，C正确

故选AC.

10.解：如图，

E

对于A,连接4c,8。交于点。，连接EF,易得EF过点。，且EF1平面/BCD,

22

则E0=V4-2=V2，

则该八面体的体积为2/_ABCD=2乂；、22义正=孚,4错误；

对于B,取4。中点G,连接EG,/G,OG,易得0G=1,EG=FG=&ZT=，

易知4。1EG,AD1FG,

因为EGc/6=6,修7,尸6匚平面石尸6,所以4。1平面EFG,

过E作跖■，尸G交pG延长线于H,

因为£“c平面EFG,所以4D1EH，

又HFc4D=G,HF,4Du平面ADF,故EH1平面4。/，

.‘LL“0G1EHEH2A/6

所以smNEFH=~^=忑=而=邛,则即=亍

即E到平面的距离为境,8错误;

3

对于C,因为0/=OB=0C=0D=0E=OF=y[l则点。即为该八面体的外接球的球心，则外接球

半径R=JI，所以外接球的表面积为4球2=8兀,C错误；

对于D,易得ED//BF.则NQEC或其补角即为EC与BF所成角,

又/DEC=60。，则EC与BF所成角为60°,D正确.

故选：ABC.

11.解：对于选项A,/f(x)=3ax2+2bx,f[x]=6ax+2b,

因为点(1,1)是对称中心，结合题中“拐点”的定义可知：

f"(1)=6a+2b=0,f(l)=a+b+^=\,

解得a=~,b=-1.

故A选项正确;

对于选项B,由。二1力二一1,

3

可知/(“=yx3-x2+y,

则/'(%)二/-21，令工2一21=0，解得x=0或x=2.

则当工£(一8,0)时，/(到单调递增,

当无e[0,2]时，〃x)单调递减,

当xe(2,+8)时，/㈤单调递增,

又/(0)=(〃2)=；，

则/(x)的大致图象如下：

由图可知/(X)只有1个零点，

故B选项错误；

对于选项C,因为〃3)=：,

所以点»恰好在/(x)的图象上,

画出的切线(蓝色)如下所示:

由图象可知过点(3,()可作/(x)的两条切线，

故C选项正确；

对于选项D,若/(x)在区间卜-6J)上有最大值，由上图可知，最大值只能是g,

所以0</43且/一6<0,解得0<fW3,

故D选项正确.

故选：ACD.

由对称中心是(1,1),结合题中“拐点”的定义，可求出4和b的值；再通过求导画出图象可判断选项B

CD.

12.解：随机变量X服从正态分布N(3,4),故曲线关于x=3对称,

即3°-2+2°+1=§,

2

7

c=一.

5

7

故答案为：—

%+2,〃为奇数

13.解：由于%+2

、为偶数'

所以当〃为奇数时，是等差数列，即:

%=2,%=2+2x1,%=2+2x2,%=2+2x3,......,tzl9=2+2x9,共10项,

一"2+20）x10

和为-----------=110；

2

所以当”为偶数时，是等比数列，即:

3

a2=20,4=2*46=2-,%=2,........,〃20=29，共10项,

1_710

其和为20x--------=210-1=1023；

1-2

该数列前20项的和S20=1023+110=1133.

故答案为1133.

14.解：记事件。:选取的这个人感染了支原体肺炎病毒，

记事件£：此人来自甲市，记事件尸：此人来自乙市，记事件G：此人来自丙市.

Q=且E,RG彼此互斥,

由题意可得P（E）=£=0.2,P（F）=5=0.3,P（G）=2=0.5

P（D£）=0.08,P（/®F）=0,06,JP（Z®G）0=0.04,

由全概率公式可得尸（Q）=P（E）-P（。E）+P（尸）•尸（段P）+P（G）•尸G）（

=0.2x0.08+0.3x0.06+0.5x0.04=0.054,

所以从三市中任取一人，这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054.

15.解：（1）这3个数中恰有1个偶数，则剩余2个数为奇数，

设这3个数中恰有1个偶数为事件A,

C©3

则P（N）

7

C2）X的可能取值为0」,2,3,

p（x=o）C汨1

14,

c]c23

P(X=1)=中

57

C2cl3

"=2)=中

7

C3C°1

P(X=3)3

5C14

所以随机变量X的概率分布列为:

X0123

1331

P

147714

3,3,13

期望为E（X）=Ox\+lx—+2x—+3x——=—

77142

2

方差为o（x）=（0_g33仆33丫115

x—F2—x—二

27221428

16.解：⑴f'(x)=-e--v(x2-a)+e2x=-e-1-2x-Q),

依题意得，/'(-l)=-e(l+2-a)=0,即a=3,

经检验a=3符合题意.

(2)由⑴得/("=/(/-3),

/1x)=-e1x2_2x-3)=-e-x(x-3)(x+1),

令/"(x)=0得，%]=-l,x2=3.

列表：

X(-00,-1)-1（T，3）3(3,+8)

f'N-0+0-

/(x)~^2e/6

所以〃x）的单调递减区间为（—8,—1）或（3,+8）；增区间为（一1,3）

17.解：（1）设ZCc8O=O,如图1,连接FC,尸。.因为四边形NCE尸为菱形且/C4尸=囚,

3

所以△，尸C为等边三角形，则/CLEO.

四边形/8C。是边长为6■的正方形，所以

又因为FOcBD=。,/。,BDu面，故/C_L面BDF,

•；EF//AC,：.E/1面BDF

(2)因为平面/CEEL平面/BCD,且面ZCE尸。面48co=/C,8Qu面/3C。，

在正方形/BCD中，ACLBD,所以8。1面ZCEF,尸。u面/CE产，

BD1F0,

又由(1)知/CLEO.

如图2,以。为坐标原点，。&。。,。F所在直线分别为牙轴，了轴，z轴，建立空间直角坐标系可得:

川0,-1,0)，

8(1,0,0),C(0,1,0),川0,0,百),网0,2,g).设面B4F的法向量为比=(不,%，4),

AB-m=0/+必=0人,-

L，令4=1,□4・加=

AFin=0必+J3Z]=0

BC-n=0-x2+%=0

设面8CE的法向量为万二(工2，y2,22)，・二＜—.=>

BE,元=0-%2+2y2+A/3^2=0

令％=L厂・万

故cos(而㈤=合4

\m\-n"07,

所以，平面B4/和平面5CE夹角的余弦值为

7

5_

、Yx<yi~5xy

4420-5x6x146

18.解:（1）b=/=1=20,

£x,2_5于2182-5x6?

i=\

d=歹一B元=146—20x6=26,

y=20x+26,

当x=8时，y=20x8+26=186（元）,

即某天售出8箱水的预计收益是186元.

（2）①设事件4为“学生甲获得奖学金”，事件8为“学生甲获得一等奖学金”，则

2

刊8小笑=今6

II

15

即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为A.

②X的取值可能为0,300,500,600,800,1000,

148

P（X=0]=—x—=—,P（X=300]=C\X—X一二——

、'1515225、）31545

P（%=500）=Cjx|x^=^|,P（^=600）=1

34,

尸（X=8OO）=C；

即X的分布列为

X03005006008001000

16816j_44

p

225457591525

X的数学期望

E（X）=0x—+300x—+500x—+600x-+800x—+1000x—=600（元）

225457591525

19.解：（1）第三次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,则。？=56

（2）设第1次构造后得的数列为1,王,工2,…,x*,3,则%=4+X1+工2+…+Z,

根据题意可得第〃+1次构造后得到的数列为：1」+X1，X],X]+》2，》2,…,x*T+Xk,xk,3+xk,3,

所以a“+]=8+3（再+々+…xj=8+3（%-4）=3a“-4,

即%+i与%满足的关系式为a.+i=3%-4,

由%+1=3%-4，可得a“+|-2=3（%-2）且4=8吗-2=6,

所以数列］%-2）是以6为首项，3为公比的等比数列，

所以2=6X3"LE叱〃=2x3〃+2；

11111

(3)由(2)得一=不X<X,

a„23"+123"

,11f

所以当"=1,—=]<彳

4,

al82

11111

当时，一+—+---1-…H<—F-

%a2i的an8

1115__J_J_5

-8+2,1一：24-12,FT<24

1-----

3

11115

综上所述：—+一+一一+・.・-1---<---

q出生册24-

高二数学试题答题卡

姓名：_____________班级：

考场/座位号：_____________

贴条形码区

1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对

条形码I:的姓名和准考证号。

2.选择题部分请按题号用2B钳笔填涂方框,修改时用橡皮擦干净,不＜正面加上.5加帖IB1K线方HO

留痕迹。

3.『选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答

无效.要求字体L：整、第迹清晰。作图时，必须用2B铅笔,并描浓。忙确填涂■缺考