2025高考数学一轮复习 导数与不等式证明 专项训练

2025高考数学一轮复习-17.1-导数与不等式证明-专项训练

L已知函数八x)=21nx+?的最小值为2-21n2.

(1)求实数a的值.

21

⑵求证:当时式v+/

2.已知函数/(x)=—

(1)求曲线y=/a)在点(0胆))处的切线方程

⑵当x>-2时,求证;/(x)>ln(x+2).

3.已知函数於)=alnx+x.

⑴讨论於)的单调性

⑵当«=1时，证明:研x)<e\

4.已知函数/(x)=lnx+^-ax,函数g(x)+妥-2ae*+1.

(1)当a>0时，求小)的单调区间.

11

(2)已知。25户>五,求证:g(x)vo.

(3)已知"为正整数，求证+左+击+…+白+5>山2.

5.函数«r)=lnx-ax+1.

(1)若以)WO恒成立，求实数a的取值范围.

⑵证明:(?+I)(e"+I)<|+1.

参考答案

1.(1)解函数人X)的定义域为(0,+8)&)=|-爰=等.若aWO,则八x)>0〃)在(0,+oo)上单

调递增於)没有最小值;若心0,则由&)<0,得0<x\;由&)>0,得X丐.因此»在(。,3

上单调递减，在6,+8)上单调递增，故/(x)min=/G)=21吗+2=2-21n2,解得<7=1.

⑵证明由⑴知/(x)=21nx+p令g(x)=/(x)-y--|=21nx+,则

g'(x)=|-2》=在乎=-史写段U.当xN1时,x-lN0,x(x+l)-l>0,所以g(x)W0(当且仅当

x=l时等号成立)，所以g(x)在[1,+GO)上单调递减.因此，当X三1时，有g(x)Wg⑴=0,即

/I

»<y+1.

2.(1)解由次x)=e\得人0)=1/。)=多则八0)=1,即曲线pyx)在点(040))处的切线方程为

y-l=x-O,所以所求切线方程为x-y+l=O.

(2)证明设g(x)=/a)-(x+l)=必x-l(x>-2),则g'(x)=eM,当-2<x<0时,gr(x)<0;当x>0

时,g(x)>0,即g(x)在(-2,0)上单调递减，在(0,+GO)上单调递增,于是当x=0时,g(x)min=g(0)=0,

因此“v)2x+l(当且仅当x=0时取等号).令/z(x)=x+l-ln(x+2)(x>-2),贝!]二三

则当-2<x〈-l时，做x)<0;当x>-l时,〃(x)>0,即有/z(x)在(-2,-1)上单调递减，在(-1,+oo)上单调

递增,于是当x=-l时，力(x)min=/z(-l)=0,因此x+lNln(x+2)(当且仅当x=-l时取等号),所以当

x>-2时〃)>ln(x+2).

3.(1)解危)的定义域为(0,+W/(》)=9+1=拳.当时/(x)>0,所以<x)在(0,+s)上单调

递增.当a<0时，若xd(0,0,则/(x)<0;若xd(一生+8),则八》)>0.所以人x)在(0,/)上单调递

减，在(-用+8)上单调递增.综上所述，当时加;)在(0,+8)上单调递增;当〃<0时〃)在

(0,-〃)上单调递减，在G〃,+GO)上单调递增.

⑵证明当a=l时,要证研，即证N+xlnxVe^,即证1+等<%令函数g(x)=l+等，则

83=节匕令g'(x)>0,得x£(O,e)；令g，(x)<0,得x£(e,+8).所以g(x)在(0⑻上单调递增，在

(e,+oo)上单调递减，所以g(x)max=g(e)=l+T令函数力(x)=\则葭(x)=e,2).当%G(0,2)

时”(x)<0;当x£(2,+s)时，砥x)>0.所以3)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，所以

,(X)min=/Z(2)5•因为?一(1+J〉。，所以人(X)min>g(X)max,即1<，从而欢工/廿得证.

4.⑴解)=lnx+}axa>O"/(x)W—枭一弋产.

1

①当a>:时，此时/=1-4/WO,则，(x)WO恒成立，则4)的减区间为(0,+oo).

②当0<«<:时，令/(%)>0,解得xe(上手，止产)，则加)的增区间为

(乜手，匕号).令八x)<0,解得xe(o,空巫)U(上号,+oc),则/)的减区间为

(0,也平)，(哗竺+8).综上，当心洞阿的减区间为(0,+8),无增区间;当0<a<|

乙a乙a乙乙

时於)的增区间为(等，上笋)，减区间为(0；宇),(胃至,+oc).

(2)证明欲证g(x)=-2^+1<0,需证x+ln2x-2axex+彘7<°，即需证

ln(2xe)2axe^+《7<0.令％=2疣^，即需证In/i(t)=ln：>=2%^>1,由(1)知当

-1

a>5时的减区间为(0,+oo),所以〃⑺v/z⑴=0,故g(x)<0.

1

1+

(3)证明由(2)知，当。1遂号时Jn令f=：+l(〃eN)则In2-

=聂1+j舟即ln(〃+2)-lnn<£,所以

九/

222

ln(〃+3)-ln(〃+1)VQ",ln(〃+4)-ln(〃+2)+5)-ln(〃+3)•二

27

ln(2〃+l)-ln(2〃-l)〈嘉,皿2〃+2)-111(2〃)<5以上各式相加得,

ln(2〃+2)+ln(2〃+l)-ln

工+工+工+…+工+工)

〃-ln(〃+l)<2-+—+—+…+—+—>-In

nn+1n+22n-l2nnn+1n+22n-l2n2

安铲Jn(4")>ln2.

n(n+l)2n

5.(1)解-(x)W-a二詈Q>0•当时〃x)>0,故危)在(0,+oo)上单调递增,

-11

取x=12/(l)=-a+l2l,不符合题意，舍去.当。>0时，令人x)>0,得OvxV］令/Xx)vO,得故

»在(。3)上单调递增，在弓，+00)上单调递减.当x=5时段)取得最大值，即

/(x)max=/OTn，,若大x)<0恒成立，则In：WO,解得

故实数。的取值范围是［1,+s)

(2)证明要证(^+1)(e-+l)<|+l,即证9+»等<|.设g)=?->0)，则

l

6(1)=畛x吐lnx二皇，令川(%)>0,解得O，ve,令解得介e.故砥c)在(0,e)上单调递增,

在(e,+8)上单调递减.当x=e时,3)取得最大值，即/z(x)max=%(e)=3,故g)=等<1设

尸(x)=%yi-lnx-x(x>0),贝！］--1=-(1+%)-=(l+x)fex-1--).设

则夕。:)=尸3>0,所以夕(x)在(0,+oo)上单调递增，0(l)=eiLl=O.当xC(O,l)

时，夕(x)<0;当xd(l,+oo)时，夕(x)>0.故当％6(0,1)时,尸(了)<0;当xG(l,+co)时，尸(x)>0,

所以网x)在(0,1)上单调递减，