2025年高考数学复习大题题型归纳：圆锥曲线中的轨迹问题（原卷）

专题13圆锥曲线中的轨迹问题

1.求解下列问题:

(1)如图，动圆的：x2+y2^t2,l<t<3与椭圆C2：?+y2=l相交于/，B,C,。四点，点40色分

别为。2的左、右顶点.求直线力&与直线必3的交点M的轨迹方程.

(2)已知%,尸2分别为椭圆C：。+q=1的左、右焦点，点尸为椭圆C上的动点，求△P%F2的重心G的

43

轨迹方程.

2.已知过右焦点尸(3,0)的直线交双曲线C:捺一3=l(a,6>0)于M,N两点，曲线C的左右顶点分别为公，42,

虚轴长与实轴长的比值为今

⑴求曲线C的方程；

(2)如图，点M关于原点。的对称点为点P,直线A*与直线4交于点S,直线。S与直线MN交于点T,求T的

轨迹方程.

3.已知椭圆C：?+/=l(a>6>0)的离心率为奈且经过M(l,日)，经过定点7(1,0)斜率不为0的

直线/交C于£,9两点，A,5分别为椭圆C的左，右两顶点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线/£与39的交点为P,求P点的轨迹方程.

4.已知点力(2,0)是圆/+产=4上的定点，点是圆内一点，P、Q为圆上的动点.

(1)求线段NP的中点M的轨迹方程.

(2)若NPBQ=90。，求线段PQ中点N的轨迹方程.

5.类似于圆的垂径定理，椭圆C：5+卷=1(a>b>0)中有如下性质：不过椭圆中心。的一条弦PQ的中

点为M,当PQ,OM斜率均存在时，kPQ-k0M=-J,利用这一结论解决如下问题：己知椭圆E：，+9=1,

直线。P与椭圆E交于4B两点，且瓦？=3而，其中。为坐标原点.

(1)求点P的轨迹方程r；

⑵过点P作直线CD交椭圆E于C,D两点,使而+方=6,求四边形2CBD的面积.

6.已知圆E经过点4(0,0),且圆E与y轴相切.

(1)求圆E的一般方程；

(2)设P是圆E上的动点，点C的坐标为(4,0),求线段CP的中点M的轨迹方程.

7.在平面直角坐标系xOy中，直线/：久=-2交x轴于点设P是/上一点，〃■是线段OP的垂直平分

线上一点，且满足NMP。=NAOP.当点尸在/上运动时，求点M的轨迹方程.

8.已知圆C的圆心在x轴上，并且过4(1,3),8(3,3)两点.

⑴求圆C的方程；

(2)若P为圆C上任意一点，定点”(8,0),点Q满足两=3的，求点Q的轨迹方程.

9.已知反比例函数y=§的图象C是以x轴与y轴为渐近线的等轴双曲线.

(1)求双曲线C的顶点坐标与焦点坐标；

(2)设为双曲线C的两个顶点，点M(&，yo)，N(yo，&)是双曲线C上不同的两个动点.求直线与42M

交点的轨迹£的方程；

⑶设直线/过点P(0,4),且与双曲线C交于43两点，与x轴交于点0.当而==%砺，且%+%=-8

时，求点。的坐标.

10.已知定点F(2,0),关于原点。对称的动点P,Q到定直线1:%=4的距离分别为dp,dQ,且子=要，记P

产yhGQ

的轨迹为曲线c.

(1)求曲线C的方程，并说明曲线C是什么曲线？

(2)已知点M,N是直线根:久=：)/+2与曲线。的两个交点，M,N在x轴上的射影分别为Mi，(MvNI

不同于原点。)，且直线MiN与直线/:x=4相交于点R,求ARMN与ARMiNi面积的比值.

11.如图，E,£G,H分别是矩形48CD四边的中点，尸(2,0),C(2,l),CSACF,ORAOF.

(1)求直线ER与直线GS交点M的轨迹方程；

(2)过点/(1,0)任作直线与点M的轨迹交于P,Q两点，直线HP与直线QF的交点为/,直线HQ与直线PF的交点为

K,求面积的最小值.

12.已知椭圆C：《+5=l(a>b>0)的长轴长为2vL离心率为今

⑴求椭圆。的标准方程；

(2)若动点尸为椭圆C外一点，且过点尸的椭圆。的两条切线相互垂直，求点尸的轨迹方程.

13.过点力(0,-2)的直线与抛物线y2=4x相交于两点尸，Q,求以OP,O。为邻边的平行四边形的第四个

顶点M的轨迹方程.

14.已知双曲线。的方程为2/一产=2.

(1)直线y=x+m截双曲线C所得的弦长为4金，求实数加的值；

(2)过点(2,-1)作直线交双曲线C于尸、。两点，求线段PQ的中点M的轨迹方程.

15.已知过曲线C：S+/=l(a,b>0)上一点(&,yo)作椭圆。的切线I，则切线।的方程为等+黄=1.若P为

2

椭圆的:5+丫？=1上的动点，过P作好的切线办交圆C2：/+y2=4于M,N,过M,N分别作0的切线4力，

直线匕,%交于点Q.

(1)求动点Q的轨迹E的方程；

(2)已知R为定直线％=4上一动点，过R的动直线a与轨迹E交于两个不同点A,B,在线段4B上取一点T,满

足|4R||TB|=\AT\\RB\,试证明动点T的轨迹过定点.

16.已知椭圆C：f+y2=i,直线/与椭圆C交于4,2两点.

(1)点P(0,yo)为椭圆C上的动点(与点/，B不重合)，若直线出，直线尸3的斜率存在且斜率之积为-1

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试探究直线/是否过定点，并说明理由；

(2)若。41OB.过点。作。Q,48,垂足为点。，求点0的轨迹方程.

17.已知圆C:/+y2+2%—4y+3=0.

(1)若直线1过点(-2,0)且被圆C截得的弦长为2,求直线1的方程；

(2)从圆C外一点尸向圆C引一条切线，切点为M,。为坐标原点，满足1PMi=|0。］,求点P的轨迹方程.

18.已知椭圆。捺+，=l(a>。>0)，%，&为C的左右焦点.点P(L-|)为椭圆上一点，且|P%|+\PF2\=

4.过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点4,B,直线口、依的倾斜角互补，直线Z8与x,y轴正半轴

相交.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点又满足前=而，求M的轨迹方程.

19.已知椭圆C：《+/=l(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，直线y=^x被椭圆截得的弦长为4.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设M,N,P,。为椭圆C上的动点，且四边形“NP0为菱形，原点。在直线九W上的垂足为点X,求〃

的轨迹方程.

20.已知过点P(2,0)的直线匕与双曲线C：£-y2=1的左右两支分别交于4B两点.

(1)求直线匕的斜率k的取值范围；

(2)设点Q(与,yo)(好大2光)，过点Q且与直线匕垂直的直线％，与双曲线C交于M、N两点.当直线“变化时,

瑞丽一就丽恒为一定值，求点Q的轨迹方程•

21.已知抛物线C:/=2py(p>0)的焦点为R点E在C上，以点E为圆心，|EF|为半径的圆的最小面积

为兀.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点尸的直线与。交于N两点，过点N分别作C的切线人，12,两切线交于点P,求点P的轨

迹方程.

22.已知椭圆C:f+q=1的上、下顶点分别为点P是椭圆C上异于公、4的动点，记的也分别为直

4L

线P4,P42的斜率•点Q满足Q&-LPA1：QA21PA2.

(1)证明：上62是定值，并求出该定值；

(2)求动点Q的轨迹方程.

23.已知过点”(8,0)的直线交抛物线£':旷2=8%于48两点，。为坐标原点.

(1)证明：。4，。8；

(2)设F为抛物线的焦点，直线48与直线久=-4交于点M,直线MF交抛物线与C,D两点(A,C在x轴的同侧),

求直线4C与直线2。交点的轨迹方程.

24.已知抛物线C：丫2=4日久的焦点为产，准线与工轴交于点/.

⑴过点F的直线咬C于P,Q两点，S.\PQ\=8V3,求直线I的方程；

(2)作直线力相交于点M,且直线AM的斜率与直线FM的斜率的差是-%求点M的轨迹方程，并说明方

程表示什么形状的曲线.

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25.已知椭圆。a+与=1(。>6>0)的右焦点为尸，点2(—2,0)在椭圆上且［4尸|=3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P、Q分别在椭圆C和直线尤=4上，0Q||AP,M为AP的中点，若T为直线0M与直线QF的交点.是否存

在一个确定的曲线，使得T始终在该曲线上？若存在，求出该曲线的轨迹方程；若不存在，请说明理由.

26.已知双曲线—y-=1.

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(1)过点N(l,4)的直线与双曲线交于S,T两点，若点N是线段ST的中点，求直线ST的方程；

(2)直线/：丁=/^+机(卜力士2)与双曲线有唯一的公共点”，过点M且与/垂直的直线分别交x轴、y轴于

力(&,0),B(O,y0)两点.当点”运动时，求点「(&,%)的轨迹方程.

27.已知直角三角形A8C的顶点4-2,0),直角顶点8的坐标为(0,-2a)，顶点。在x轴上.

(1)求直角三角形N3C的外接圆的一般方程；

⑵设0/的中点为动点尸满足|PM|-|PE|=1,G为OP的中点，其中。为坐标原点，E为三角形48。