2025年高考数学总复习专项训练：函数模型及其应用VIP

专练14函数模型及其应用

［基础强化］

一、选择题

1.［2024•河北唐山一中期中］某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p（单位：

毫克/升）不断减少，已知p与时间f（单位：时）满足p⑺=而乂24，其中外为f=0时的污染物数量.又测得

当re［0,30］时，污染物数量的变化率是一101n2,则p（60）=（）

A.150毫克/升B.300毫克/升

C.1501n2毫克/升D.3001n2毫克/升

答案：C

1

^po-po

解析：因为当re［0,30］时，污染物数量的变化率是一101n2,所以一101112=—n，所以Po=6OOln

2.因为p（r）=poX2寸，所以p（60）=6001n2X2==1501n2（毫克/升）.

2.［2024•广东惠州调研］为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾

分类已经成为新时尚.假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，每年投入的

资金比上一年增长20%,则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据:1g1.2^0.08,

lg5Po.70）（）

A.2030年B.2029年

C.2028年D.2027年

答案：B

解析：设经过〃年后，投入资金为y万元，则y=200。（1+20%）".

由题意得2000（1+20%）”>10000,即1.2">5,则”lgl.2>lg5,所以哈二螺=8.75,所以

n=9,即2029年该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元.

3.2024年4月30日17时46分许，神舟十七号载人飞船返回舱在预定区域安全着陆，神舟十七号载

人飞船是使用长征二号F遥十七运载火箭发射成功的.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度。（单

位:m/s）和燃料的质量M（单位:kg）、火箭（除燃料外）的质量m（单位:kg）的函数关系式为o=2OOOln（1+日.

如果火箭的最大速度达到12km/s,则燃料的质量与火箭的质量的关系是（）

A.M=e6mB.Mm=e6—1

C.InM+lnm=6D.~=e6—1

m

答案:D

角星析：12km/s=12000m/s,所以12000=2OOOln(1+9，所以In(1+都=6,贝!]1+^=e6,所

以卷=e6-1,故选D.

4.[2024•江苏南京调研]新风机的工作原理是，从室外吸入空气，净化后输入室内，同时将等体积的室

内空气排向室外.假设某房间的体积为。o,初始时刻室内空气中含有颗粒物的质量为九已知某款新风机工

作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为。室内空气中颗粒物的浓度与时刻f的函数关系为0(。=

(IT琮+琮e”,其中常数%为过滤效率.若该款新风机的过滤效率为白，且—1时室内空气中颗粒物

3

的浓度是t=2时的5倍，则。的值约为(参考数据：In2心0.6931,In30986)()

A.1.3862B.1.7917

C.2.1972D.3.5834

答案：B

解析：,'=1时室内空气中颗粒物的浓度是t=2时的,倍，且，尺芋+s笠e^=|(I笠+

ZJ3003002JVo

A.vyi__3_____

-2p-2p-2p-p-p-y

T•—e),即l+4e-(l+4e),12e—8e+1=0,(2e—l)(6e—1)=0,解得e"=2或e"=6,

\"v>l,；.e0=2舍去,故e"=6,即o=ln6=ln2+ln321.7917.故选B.

5.[2024•重庆巴蜀中学月考]2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录.良渚古城遗址是

人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史.考古学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性

-t

物质因衰变而减小”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间*年)的衰变规律满足：N=No-25730(No

表示碳14原来的质量)，经过测定，良渚古城某文物样本中碳14的质量是原来的0.6倍，据此推测良渚古

城遗址存在的时期距今大约是(参考数据：log23pL6,log25P2.3)()

A.3440年B.4010年

C.4580年D.5160年

答案：B

3

解析：由题得O6M)=NO-2573O,即25730=-,

—t3

两边同时取以2为底的对数，则有5730=1。825=log23—k>g252—0.7,

故/心0.7><5730=4011年，最符合题意的选项为B.

二、填空题

6.某品牌手机销售商今年1,2,3月份的销售量分别是1万部，1.2万部，1.3万部，为估计以后每个

月的销售量，以这三个月的销售量为依据，用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位：万部)与月份x之

间的关系，现从二次函数丫=加+法+以々/。)或函数y=aZ/+c(b>0,bWl)中选用一个效果好的函数进行

模拟，如果4月份的销售量为1.37万部，则5月份的销售量为万部.

答案：1.375

a+b+c=l9〃=—0.05,

解析：由题意可知，当选用函数负工)=加+法+。时，由<4Q+2Z?+C=1.2,解得<8=0.35,

、9〃+3Z?+c=1.3,、c=0.7,

=-0.05<+0.35x+0.7,.\/(4)=1.3；

c~~1)〃=—0.8,

当选用函数g(x)=abx+c时，由，ab2+c=1.2,解得，b=0.5,

ab3+c=13,c=1.4,

；.g(x)=-0.8X0.5x+1.4,；.g(4)=1.35.

：g(4)比式4)更接近于1.37,...选用函数g(x)=a〃+c模拟效果较好，；.g⑸=-0.8X0.55+1.4=1.375,

即5月份的销售量为1.375万部.

7.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年

内生产该产品x千件(0<尤<25)并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)(单位：万元)，且R(x)=

|108-1.?(0<XW10),

]175

-x+—+57(10<xW25).

I尤

当年产量为千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.(注：年利润=年销售收入

一年总成本)

答案：9

解析：设该公司在这一产品的生产中所获年利润为兀0，当0<xW10时，fi,x)=xR{x)-(100+27A)=8lx

x3

-j-100；

当10<xW25时，yU)=xR(x)-(100+27x)=-r2+30x+75.

rr3

81x—r-100(0<尤W10),

故段)3

f+30x+75(10<xW25).

当ocxWio时，由/(jOMgi—Vn-a+gxx—g),

得当xd(o,9)时，/(x)>0,兀0单调递增；

当尤G(9,10)时,f(x)<0,危)单调递减.

故人x)max=/(9)=81X9—gX93-100=386.

当10<xW25时，加0=一炉+30犬+75=—(X-15)2+300W300.

综上，当x=9时，年利润取最大值，为386.

所以当年产量为9千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.

8.网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌

行车记录仪支架销售公司开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的

2

月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用f(万元)之间满足尤=