2019-2020学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.4平面向量的应用课时作业15余弦定理正弦定理应用举例新人教A版必修第二册

PAGE1-课时作业15余弦定理、正弦定理应用举例知识点一距离问题1．如图，从气球A测得济南全运会东荷、西柳两个场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h(A，B，C在同一铅垂面内)，则两个场馆B，C间的距离为()A.eq\f(hsinαsinβ,sinα－β) B.eq\f(hsinβ－α,sinαsinβ)C.eq\f(hsinα,sinβsinα－β) D.eq\f(hsinβ,sinαsinα－β)答案B解析在Rt△ADC中，AC＝eq\f(h,sinβ)，在△ABC中，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsinβ－α,sinα)＝eq\f(hsinβ－α,sinαsinβ).2．一船在海面A处望见两灯塔P，Q在北偏西15°的一条直线上，该船沿东北方向航行4海里到达B处，望见灯塔P在正西方向，灯塔Q在西北方向，则两灯塔的距离为________．答案(12－4eq\r(3))海里解析如图，在△ABP中，AB＝4，∠ABP＝45°，∠BAP＝60°，∴∠APB＝75°.∴PA＝eq\f(AB·sin∠PBA,sin∠APB)＝eq\f(4sin45°,sin75°)＝4(eq\r(3)－1)．又在△ABQ中，∠ABQ＝45°＋45°＝90°，∠PAB＝60°，∴AQ＝2AB＝8.于是PQ＝AQ－PA＝12－4eq\r(3)，∴两灯塔的距离为(12－4eq\r(3))海里．3．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.答案eq\f(\r(3),6)解析如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠ACB＝180°－105°－15°＝60°，AB＝1km.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，∴BC＝eq\f(1,sin60°)·sin15°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))(km)．设C到直线AB的距离为d，则d＝BC·sin75°＝eq\f(\r(6)－\r(2),2\r(3))·eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝eq\f(\r(3),6)(km).知识点二测量高度问题4.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达点S，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为()A．500eq\r(2)m B．200mC．1000eq\r(2)m D．1000m答案D解析∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝eq\f(AS·sin135°,sin30°)＝eq\f(1000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1000eq\r(2)(m)，∴BC＝AB·sin45°＝1000eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1000(m)．5．甲，乙两楼相距20m，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．答案20eq\r(3)m，eq\f(40\r(3),3)m解析如图所示：在△ABD中，由正弦定理得eq\f(AB,sin60°)＝eq\f(20,sin30°)，所以h甲＝AB＝20·eq\f(sin60°,sin30°)＝20eq\r(3)(m)，在△AED中，由正弦定理得eq\f(ED,sin60°)＝eq\f(AE,sin30°)，ED＝20eq\r(3)(m)，在△AEC中，由正弦定理得eq\f(EC,sin30°)＝eq\f(AE,sin60°)，EC＝eq\f(20\r(3),3)(m)，所以h乙＝CD＝ED－EC＝eq\f(40\r(3),3)(m).知识点三测量角度问题6.甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是eq\r(3)anmile/h，甲船应沿着________方向前进，才能最快与乙船相遇．答案北偏东30°解析如图，设经过th两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝atnmile，AC＝eq\r(3)atnmile，B＝180°－60°＝120°，由eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得sin∠CAB＝eq\f(BCsinB,AC)＝eq\f(at·sin120°,\r(3)at)＝eq\f(1,2).∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．7．如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．解连接BC.在△ABC中，AB＝40海里，AC＝20海里，∠BAC＝120°，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，∴BC＝20eq\r(7)海里．由正弦定理eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，得sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).∵∠BAC＝120°，则∠ACB为锐角，∴cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).∴cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(2\r(7),7)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(21),14).易错点忽略审题环节，看图不准确致误8.在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为eq\f(\r(3)a,2)的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为________．易错分析在解含有两个或两个以上三角形的问题时应先根据条件应用正、余弦定理或三角形内角和定理在一个三角形中求解边和角，然后在此基础上求解另一个三角形，以此类推，首选哪一个三角形至关重要，原则是首选三角形与其他三角形有一定联系，且方便求解，该题图中三角形较多，若审题不细的话易导致计算复杂或者无从下手．答案eq\f(\r(6),4)a正解解法一：由题意知∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝60°，又因为∠ACD＝60°，所以∠DAC＝60°.所以AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，所以BD＝CD·eq\f(sin∠BCD,sin∠DBC)＝eq\f(\r(3),2)a·eq\f(\f(\r(6)＋\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(3＋\r(3),4)a，在△ADB中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝eq\f(3,4)a2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋\r(3),4)a))2－2·eq\f(\r(3),2)a·eq\f(3＋\r(3),4)a·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,8)a2，所以AB＝eq\f(\r(6),4)a.解法二：在△BCD中，∠CBD＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，则BC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝eq\f(\r(6),4)a，在△ACD中，∠CAD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ACD为等边三角形．因为∠ADB＝∠BDC，所以BD为正△ACD的中垂线，所以AB＝BC＝eq\f(\r(6),4)a.一、选择题1．某人向正东方向走了xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他恰好离出发地eq\r(3)km，那么x的值为()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D．5答案C解析由题意及余弦定理得，(eq\r(3))2＝32＋x2－2×3xcos30°，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3)，故选C.2．如右图，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角)为140°的方向航行．为了确定船的位置，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行eq\f(1,2)h到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是()A．10km B.10eq\r(2)kmC．15km D.15eq\r(2)km答案B解析在△ABC中，BC＝40×eq\f(1,2)＝20(km)，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，则A＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(BC·sin∠ABC,sinA)＝eq\f(20·sin30°,sin45°)＝10eq\r(2)(km)．3.如图，飞机的航线和山顶C在同一个铅垂面内，若飞机的海拔为18km，速度为1000km/h，飞行员到达A点处看到山顶的俯角为30°，经过1min后到达B点处看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔为(精确到0.1km，参考数据：eq\r(3)≈1.732)()A．11.4km B．6.6kmC．6.5km D．5.6km答案B解析∵AB＝1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50,3)(km)，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50,3\r(2))(km)．∴航线离山顶的距离为eq\f(50,3\r(2))×sin75°＝eq\f(50,3\r(2))×sin(45°＋30°)≈11.4(km)．∴山顶的海拔为18－11.4＝6.6(km)．故选B.4．某工程中要将一长为100m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()A．100eq\r(2)m B.100eq\r(3)mC．50(eq\r(2)＋eq\r(6))m D.200m答案A解析如图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(eq\r(6)＋eq\r(2))(m)，CD＝100cos75°＝25(eq\r(6)－eq\r(2))(m)，BD＝eq\f(AD,sin30°)·sin60°＝25(3eq\r(2)＋eq\r(6))(m)．∴BC＝BD－CD＝25(3eq\r(2)＋eq\r(6))－25(eq\r(6)－eq\r(2))＝100eq\r(2)(m)．5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为()A．15eq\r(6)mB．20eq\r(6)mC．25eq\r(6)mD．30eq\r(6)m答案D解析设建筑物的高度为hm，由题图知，PA＝2hm，PB＝eq\r(2)hm，PC＝eq\f(2\r(3),3)hm，∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度为30eq\r(6)m.二、填空题6．作用在同一点的三个力F1，F2，F3平衡，已知F1＝30N，F2＝50N，F1与F2之间的夹角是60°，则F3与F1之间的夹角的正弦值为________．答案eq\f(5\r(3),14)解析由题意，知F3应和F1，F2的合力F平衡．设F3与F1之间的夹角为θ，作图(如图)，可知当三力平衡时，由余弦定理得F3＝eq\r(302＋502－2×30×50×cos180°－60°)＝70N，再由正弦定理得eq\f(50,sin180°－θ)＝eq\f(70,sin180°－60°)，即sinθ＝eq\f(50sin120°,70)＝eq\f(5\r(3),14).7．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10nmile的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9nmile的速度向一小岛靠近，舰艇时速21nmile，则舰艇到达渔船的最短时间是________h.答案eq\f(2,3)解析设舰艇和渔船在B处相遇，则在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，设舰艇到达渔船的最短时间为th，则AB＝21tnmile，BC＝9tnmile，AC＝10nmile，则(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos120°，解得t＝eq\f(2,3)或t＝－eq\f(5,12)(舍去)．8．一蜘蛛沿东北方向爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x＝________.答案eq\f(10\r(6),3)cm解析如图所示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，则∠AOB＝60°.由正弦定理知，x＝eq\f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)＝eq\f(10×sin45°,sin60°)＝eq\f(10\r(6),3)(cm)．三、解答题9.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环保标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC，△ABD，经测