中考数学复习：“将军饮马”类问题

最全“将军饮马”类问题（类型大全+分类汇编）

1.如图，直线1和1的异侧两点A、B,在直线1上求作一点P,使PA+PB最小。

2.如图，直线1和1的同侧两点A、B,在直线1上求作一点P,使PA+PB最小。

3.如图，点P是NMON内的一点，分别在OM,ON上作点A,B。使4PAB的周长最小

4.如图，点P,Q为NM0N内的两点，分别在OM,ON上作点A,B。使四边

形PAQB的周长最小。

5.如图，点A是NMON外的一点，在射线0M上作点P,使PA与点P到射线ON的距离

之和最小

6..如图，点A是NMON内的一点，在射线0M上作点P,使PA与点P到射线ON的距

离之和最小

二、常见题型

三角形问题

1.如图，在等边AABC中，AB=6,AD±BC,E是AC上的一点，M是AD上的一点，若AE=2,求EM+EC的最小值

解：：点C关于直线AD的对称点是点B,A

二^(3^)2+12=2^7

2.如图，在锐角SBC中，AB=4J,zBAC=45°,zBAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，

则BM+MN的最小值是

解：作点B关于AD的对称点B',

过点B作B1E±AB于点E,交AD于点F,

则线段B'E的长就是BM+MN的最小值在

等腰RfAEB'中,根据勾股定理得到，B'E

=4

3.如图，AABC中，AB=2,zBAC=30°,若在AC,AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小，则这个最小值

解：作AB关于AC的对称线段AB',

过点B'作B1N±AB,垂足为N,交AC于点M,

则B'N=MB'+MN=MB+MN

B'N的长就是MB+MN的最小值

贝！UB'AN=2zBAC=60°,AB'=AB=2,

zANB'=90°,zB'=30%

.'.AN=1

在直角AAB'N中，根据勾股定理

B'N=/

N2B

正方形问题

1.如图，正方形ABCD的边长为8,M在DC上，丐DM=2,N是AC上的一动点，DN+MN的最小值为

即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小

解：故作点D关于AC的对称点B,连接BM,

交AC于点N。贝UDN+MN=BN+MN=BM

线段BM的长就是DN+MN的最小值在直角△B

CM中，CM=6,BC=8，则BM=10

故DN+MN的最小值是10

2.如图所示，正方形ABCD的面积为12,AABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使

PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2.^3B.2^6C.3D.J6

解：即在AC上求一点P,使PE+PD的值最小

点D关于直线AC的对称点是点B,

连接BE交AC于点P,则BE=PB+PE=PD+PE,

BE的长就是PD+PE的最小值BE=AB=2^3

3.在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ,贝SPBQ周长的

最小值为cm（结果不取近似值）.

解：在AC上求一点P,使PB+PQ的值最小

•.点B关于AC的对称点是D点，

二连接DQ,与AC的交点P就是满足条件的点

DQ=PD+PQ=PB+PQ

故DQ的长就是PB+PQ的最小值

在直角ACDQ中，CQ=1,CD=2

根据勾股定理，得，DQ=小

4.如图，四边形ABCD是正方形，AB=10cm,E为边BC的中点，P为BD上的一个动点，求PC+PE的最小值；

解：连接AE,交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值

在直角AABE中，求得AE的长为5^5

BEC

矩形问题

1.如图，若四边形\BCD是矩形，AB=10cm,BC=20cm,E为边BC上的一个动点下为BD上的一个动点，求PC+PD的

最小值；

解：作点C关于BD的对称点C,过点C,

作CBLBC,交BD于点P,则CE就是PE+PC的最小值

20

直角&BCD中，CH=-_

旷

直角ABCH中，BH=8s

△BCC'的面积为:BHxCH=160

C'ExBC=2x160贝!JCE'=16

菱形问题

1.如图，若四边形ABCD是菱形，AB=10cm,zABC=45°,E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，求PC+PE

的最小值；

解：点C关于BD的对称点是点A,过

点A作AELBC,

交BD于点P,则AE就是PE+PC的最小值

在等腰AEAB中，求得AE的长为5.

梯形问题

1.已知直角梯形ABCD中，ADnBC,AB±BC,AD=2,BC=DC=5，点P在BC上桐动，则当PA+PD取最小值时，A

APD中边AP上的高为（）

A、之后B\,行,、颉D、3

17171"

解：作点A关于BC的对称点A',连接A'D,交BC于点P

则A'D=PA'+PD-PA+PD

A'D的长就是PA+PD的最小值

SMPD=4

在直角AABP中，AB=4,BP=1根

据勾股定理，得AP=1

48而

..AP上的高为：2x-=

J1717

4

圆的有关问题

1.已知。0的直径CD为4,NAOD的度数为60°,点B是AD的中点，在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小，

并

求BP+AP的最小值.

解：在直线CD上作一点P,使PA+PB的值最小

作点A关于CD的对称点A1,连接A'B,

交CD于点P,则A'B的长就是PA+PB的最小值

连接OA',OB,贝!UA'OB=90°,

OA'=OB=4

根据勾股定理，A1B=峙

2.如图，MN是半径为1的的直径，点A在。。上,ZAMN=30°,B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则

PA+PB的最小值为()

A2函B,C1D2

解:MN上求一点P,使PA+PB的值最小

作点A关于MN的对称点A',连接A'B，交MN于点P,

则点P就是所要作的点

A'B的长就是PA+PB的最小值

连接OA\OB,贝必OA'B是等腰直角三角形

A,B=

一次函数问题

20.一次函数y=kx+b的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).

(1)求该函数的解析式；

(2)0为坐标原点，设OA,AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点，求PC+PD的最小值，并求取得最小值时P点

坐标.

解：Q)由题意得：0=2x+b,4=b解

得k=-2,b=4,

y=-2x+4

(2)作点C关于y轴的对称点C,连接CD,交y轴于点P

则CD=C'P+PD=PC+PD

C'D就是PC+PD的最小值

连接CD,贝CD=2,CC'=2

在直角AC'CD中,根据勾股定理C'D=2雌直

线CD的解析式，由C,(-l,0),D(1,2)

，有。=-k+b,2=k+b解

得k=1zb=1z

y=x+l

当x=0时，y=l,贝UP(O,1)

二次函数问题

1.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(-2,0),连结0A,将线段OA绕原点O顺时针旋转12Q,得到线段OB.

(1)求点B的坐标；

(2)求经过人、0、B三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使ABOC周长最小？若存在求出点C坐标；若不存在，请说明理由.解:

(l)B(l,3y

(2)y+之次

33

(3)；点0关于对称轴的对称点是点A,则连接AB,交对称

轴于点C,贝hBOC的周长最小

yNx2+猖，当x=-l时，y=^

333

2.如图，在直角坐标系中，A,B,C的坐标分别为(1,0),(3,0),(0,3)，过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直

线I,D为直线I上的一个动点，

(1)求抛物线的解析式；

(2)求当AD+CD最小时点D的坐标；(3)以

点A为圆心，以AD为半径作圆A;

解：(1)①证明：当AD+CD最小时，直线BD与圆A相切；

②写出直线BD与圆A相切时，点D的另一个坐标。

(2)连接BC,交直线I于点D,则DA+DC=DB+DC=BC,

BC的长就是AD+DC的最小值

BC:y=-X+3

则直线BC与直线x=1的交点DQ,2),

3.抛物线y=ax2+bx+c(a30)对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2)

(1)求这条抛物线的函数表达式.

(2)已知在对称轴上存在一点P,使得WBC的周长最小.请求出点P的坐标.

(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点0、点C重合).过点D作DE"PC交x轴于点E,连接PD、PE.设CD

的长为m,APDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.

试说明S是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.

Ip

1:=工⑴由24

,解得a、,b=«zc=-2

|9a-3b+c=0

c=-2

24

.・抛物线的解析式为y=-x2+-x-2

33

(2)点B关于对称轴的对称点是点A,连接AC交对称轴于点P,贝！］WBC的周长最小设直

线AC的解析式为y=kx+b，「A(-3,0),C(0,-2),则

I[0=-3k+bEa,2

\解得k=--,b=-2

U-2=b3

2

，直线AC的解析式为y=--x-2

3

44

把x=-1代入得y=-一/,-P(-l，-二)

33

(3)S存