2025年黑龙江省绥化市中考数学一模试卷（附答案解析）

2025年黑龙江省绥化市中考数学一模试卷

一、单项选择题（每小题3分，共36分）

1.（3分）±2是4的（）

A.平方根B.相反数C.绝对值D.倒数

2.（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.（a+6）2—a2+b2B.（lab1）2—2a2b4C.7A+32=2+3D.V—a3=—aV-a

4.（3分）如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等

于大正方体的棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是Si,S2,S3,则

Si,S2,珀的大小关系是（）

A.Si>S2>S3B.Si>S2>SiC.&>&>SiD.Si>S3>S2

5.（3分）函数>=卓中，自变量x的取值范围是（）

A.xWOB.xB-2C.x>0D.-2Ji.

6.（3分）下列命题是真命题的是（）

A.“对顶角相等”的逆命题是真命题B.平行线的同旁内角的平分线互相垂直

C.和为180。的两个角叫做邻补角

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且a〃6,bLc,则a〃c

7.（3分）将等腰直角三角形/O8按如图所示放置，然后绕点。逆时针旋转90°至△/，

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A.(1,1)B.(V2,V2)C.(-1,1)D.(-V2,V2)

8.（3分）某企业1〜5月份利润的变化情况图，以下说法中与图中反映的信息相符的是

0123456白份

A.1〜2月份利润的增长快于2〜3月份利润的增长

B.1〜5月份利润的众数是130万元

C.1〜4月份利润的极差与1〜5月份利润的极差不同

D.1〜5月份利润的中位数为120万元

9.（3分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900馆和1500饭，已知第一块试验田每

亩收获蔬菜比第二块少300奴，求第’一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田

每亩收获蔬菜x奴，根据题意，可得方程（）

90015009001500

A.---------=--------B.-----=----------

x+300xx%—300

90015009001500

Q-----=----------D.---------=--------

•x冗+300%—300x

10.（3分）若正比例函数（加WO）,y随X的增大而减小，则它和二次函数＞=%，+加

11.（3分）如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离

开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（）

12.（3分）如图，正方形中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG分另U交/E,4F于点M,

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2BM3

N.下列结论：①4F_L5G；②BN=cNF：（3）--=-；④S四边形CGTVF：S四边形ZNGD=

JMGo

18：31.其中结论正确的个数有（）

D

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（每小题3分，共30分）

13.（3分）某超市有4B,C三种型号的甲种品牌饮水机和。，£两种型号的乙种品牌饮

水机，某中学准备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购一种型号的饮水机安装到教室.如

果各种选购方案被选中的可能性相同，那么/型号饮水机被选中的概率

是.

14.（3分）分解因式：8（a2+l）-16a=.

15.（3分）若不等式组［l+%>a有解，则。的取值范围是.

16.（3分）用一个圆心角为120°,半径为6c冽的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的

底面圆的半径为.

17.（3分）已知xi,X2是一元二次方程，+2（m+1）x+冽2-1=0的两实数根，且满足（如

-%2）2=16-x\xi,实数m的值为.

18.（3分）在平面直角坐标系中，以任意两点P（xi,/），Q（W，》）为端点的线段的中

点坐标为（直弃，与丝）.在直角坐标系中，有/（-1,2）,B（3,1）,C（1,4）

三点，另有一点。与，，B,C构成平行四边形的顶点，则点。的坐标为.

19.（3分）如图，正六边形4BC1D1E1为的边长为2,正六边形/2比。力>2£/2的外接圆与

正六边形/iBCbDlEFl的各边相切，正六边形/3阴。3。3昂尸3的外接圆与正六边形

A2B2C2D2E2F2的各边相切.按这样的规律进行下去，A\OB\OC\QD\OE\OF\Q的边长

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20.（3分）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时

租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有种.

21.（3分）如图，点E、F、G、〃分别为菱形/IBICLDI各边的中点，连接NF、BiG、CiH、

DiE得四边形/#2c汉＞2,以此类推得四边形/3加。3。3…，若菱形/121C1D1的面积为S，

则四边形AnBnCnDn的面积为.

22.（3分）如图，折叠矩形纸片/BCD,使点3落在边上，折痕郎的两端分别在/8、

BC±（含端点），且ZB=6cm,BC=10cm.则折痕即的最大值是

23.（7分）如图，RtZUBC中，ZACB=90°.

（1）用直尺和圆规在线段/C上找一点。，使点。到5。和的距离相等;

（2）在（1）的条件下，若8C=3,AC=4,求点。到的距离.

24.（8分）某过街天桥的设计图是梯形48CD（如图所示），桥面。C与地面48平行，DC

=62米，/8=88米.左斜面/£＞与地面N3的夹角为23°,右斜面8C与地面的夹

角为30°,立柱DELAB于E,立柱CFLAB于F,求桥面DC与地面AB之间的距离（精

确到01米）

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25.（9分）如图，直线△y=-x+3与两坐标轴分别相交于点/、B.

（1）当反比例函数y=与（加>0,x>0）的图象在第一象限内与直线工至少有一个交点

时，求加的取值范围.

（2）若反比例函数y=守机>0,x>0）在第一象限内与直线£相交于点C、D,当CD=2企

时，求加的值.

26.（9分）已知正方形/BCD,P为射线上的一点，以AP为边作正方形BPER使点/

在线段C8的延长线上，连接E/,EC.

（1）如图1,若点尸在线段48的延长线上，求证：EA=EC；

（2）如图2,若点P在线段48的中点，连接ZC,判断的形状，并说明理由；

（3）如图3,若点尸在线段45上，连接/C,当£尸平分//EC时，设48=a,BP=b,

求a：b及//EC的度数.

27.（10分）如图，。。的半径为1,点尸是。。上一点，弦垂直平分线段。P,点。

是我上任一点（与端点/、2不重合），DELAB于点、E,以点。为圆心、长为半径

作。。，分别过点N、3作。。的切线，两条切线相交于点C.

（1）求弦48的长；

（2）判断/4C3是否为定值？若是，求出//C8的大小；否则，请说明理由；

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s

⑶记△w的面积为S,若向=4后求MBC的周长.

2

28.（11分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-%+6与x轴、y轴的交

点分别为43,将N0A4对折，使点。的对应点8落在直线48上，折痕交x轴于点C.

（1）直接写出点C的坐标，并求过/、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为。，在直线3c上是否存在点尸，使得四边形。为平行四边

形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）设抛物线的对称轴与直线3c的交点为T,。为线段3T上一点，直接写出

的取值范围.

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2025年黑龙江省绥化市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（每小题3分，共36分）

1.（3分）土2是4的（）

A.平方根B.相反数C.绝对值D.倒数

【解答】解：±2是4的平方根.

故选：A.

2.（3分）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）

®©

【解答】解：•••/中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，

选项A不正确；

,：B中的图形既不是中心对称图形也不是轴对称图形，

.,.选项B正确；

中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，

...选项C不正确；

,：D中的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，

，选项。不正确.

故选:B.

3.（3分）下列运算正确的是（）

A.（a+6）2=a2+b2B.（lab1）2=2a2b4

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C.V22+32=2+3D.V—a3—a'—a

【解答】解：/.（a+b）2—a2+,2ab+b2,故该选项不正确，不符合题意；

B.（2仍2）2=4次/>4,故该选项不正确，不符合题意；

C.V22+32=V13,故该选项不正确，不符合题意；

D.V-a3-a-^a,故该选项正确，符合题意.

故选：D.

4.（3分）如图是三个大小不等的正方体拼成的几何体，其中两个较小正方体的棱长之和等

于大正方体的棱长.该几何体的主视图、俯视图和左视图的面积分别是Si,S2,S3,则

Si,S2,S3的大小关系是（）

A.Si>S2>S3B.Si>S2>SiC.&>&>5|D.Si>Si>S2

【解答】解：主视图的面积是三个正方形的面积，左视图是两个正方形的面积，俯视图

是一个正方形的面积，故

S1>S3>S2,

故选：D.

5.（3分）函数j，=卓中，自变量x的取值范围是（）

A.xWOB.xN-2C.x>0D.%2-2且%£0

【解答】解：根据题意得：

解得：工2-2且17^0.

故选：D.

6.（3分）下列命题是真命题的是（）

A.“对顶角相等”的逆命题是真命题

B.平行线的同旁内角的平分线互相垂直

C.和为180°的两个角叫做邻补角

D.在同一平面内，a,b,c是直线，且a〃b,bl.c,则a〃c

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【解答】解：4“对顶角相等”的逆命题是“相等的角为对顶角”，错误，为假命题，不

符合题意；

3、平行线的同旁内角的平分线互相垂直，正确，为真命题，符合题意；

C、和为180。的两个角互补，但不一定是邻补角，故错误，是假命题，不符合题意；

D、在同一平面内，a,b,c是直线，且a〃6,b_Lc,则故原命题错误，是假命

题，不符合题意.

故选：B.

7.（3分）将等腰直角三角形按如图所示放置，然后绕点。逆时针旋转90°至

A.（1,1）B.（a，V2）C.（-1,1）D.（-V2,V2）

【解答】解：如图，过点/作于C,过点/'作CLOB'于C',

•••△N08是等腰直角三角形，点8的横坐标为2,

1

/.OC=AC=^x2=],

；△⑷OB'是△/。2绕点。逆时针旋转90°得到，

/.OC=OC=1,A'C=AC=\,

...点的坐标为（-1,1）.

故选：C.

8.（3分）某企业1〜5月份利润的变化情况图，以下说法中与图中反映的信息相符的是

（）

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A.1~2月份利润的增长快于2〜3月份利润的增长

B.1〜5月份利润的众数是130万元

C.1〜4月份利润的极差与1〜5月份利润的极差不同

D.1~5月份利润的中位数为120万元

【解答】解：/、根据折线图1〜2月以及2〜3月的倾斜程度可以得出:

2~3月份利润的增长快于1〜2月份利润的增长;

故本选项错误;

B、由图可知130出现次数最多，所以130万元是众数,

故本选项正确;

C、1〜4月份利润的极差为：130-100=30,1〜5月份利润的极差为：130-100=30；

故本选项错误;

。、1〜5月份利润的中位数是：从小到大排列后115万元位于最中间,

所以1〜5月份利润的中位数为120万元,

故本选项错误.

故选：B.

9.（3分）有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900馆和1500饭，已知第一块试验田每

亩收获蔬菜比第二块少300修，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田

每亩收获蔬菜Mg,根据题意，可得方程（）

90015009001500

A.---------=--------B.-----=

x+300xx%—300

90015009001500

Q-----=----------D.---------=--------

x%+300%—300x

【解答】解：第一块试验田的亩数为：—;第二块试验田的亩数为：［喘

x%+300

।।9001500

那么所列万程为：丁=诉

故选：C.

10.（3分）若正比例函数（TMWO）,y随x的增大而减小，则它和二次函数

第10页（共28页）

的图象大致是（

【解答】解：：正比例函数（mWO）,y随x的增大而减小,

...该正比例函数图象经过第二、四象限，且加＜0.

...二次函数＞=根/+加的图象开口方向向下，且与〉轴交于负半轴.

综上所述，符合题意的只有/选项.

故选：A.

11.（3分）如图所示，货车匀速通过隧道（隧道长大于货车长）时，货车从进入隧道至离

开隧道的时间x与货车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（）

隧道

。

【解答】解：根据题意可知货车进入隧道的时间x与货车在隧道内的长度〉之间的关系

具体可描述为：

当货车开始进入时y逐渐变大，货车完全进入后一段时间内y不变，当货车开始出来时了

逐渐变小，

反映到图象上应选

故选：A.

12.（3分）如图，正方形中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG分另U交/E,4F于点M,

第11页（共28页）

2BM3

N.下列结论：@AFLBG\②BN=^NF；（3）--=-；④S四边形CGTVF：S四边形ZNGD

JMGo

18：31.其中结论正确的个数有（）

D

A

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①•：BE=EF=FC,CG=2GD,

:.BF=CG,

AB

在正方形45c。中：AB=BC=CD,

ZABC=ZC=90°,

:•△ABF"ABCG(SAS)f

/BAF=/CBG,

VZABC=90°,

：.ZCBG+ZABG=90°,

；・NB4F+N4BG=90°,

在△45N中，NABN=90°,

C.AFLBG,

，①正确

②由①知：ZABN=ZC=90°,

又/CBG是公共角，

△BNFsgCG,

.BNBC3

9'NF-CG-2’

3

：.BN=17VF,

...②错误.

第12页（共28页）

③作GH〃BC交AB于H,交AE于K,

AHB

:.AAH-AABE,ABNF^AGNK,

.HKAHBMBE

••BE-AB"MG~GK'

AH=DG=1,AB=3,

.HK1

1一3’

1

：.HK=彳

1o

・・・GK=GH-HK=BC-HK=3—

.BMBE13

"MG-萩一亘一万’

3

3

：.BM=±MG,

o

...③正确.

④由①知：LABF沿ABCG,

・・S丛ABF=S丛BCG，

:・S”BN+S丛BNF=S四边形CGNZS^BNF,

••S/\ABN=S四边形CGNF，

由②知：△BNFs^BCG,

.S4BNF_BF

（而）7，

S^BCGD（J

:在RtASCG中，BG=y/BC2+CG2=V32+22=V13,

SABCG=3C・CG=1X3X2=3.

2

.S&BNF,24

；・S四边形CG7VF=S48CG-S〉BNF=3—B=讴,

•S四边形NNGO=S正方形ABCD-S^ABF~S四边形CGNr

第13页（共28页）

_227_51

=Q9-3-T3=13,

・・S四边形CGN：S四边形NNG£)=27：51.

，④不正确.

，结论正确的个数有2个.

故选：B.

二、填空题(每小题3分，共30分)

13.(3分)某超市有4B,。三种型号的甲种品牌饮水机和D,£两种型号的乙种品牌饮

水机，某中学准备从甲、乙两种品牌的饮水机中各选购一种型号的饮水机安装到教室.如

果各种选购方案被选中的可能性相同，那么/型号饮水机被选中的概率是_1_.

【解答】解：所有的选购方案：(/。)、(/£)、(BD)、(BE)、(CD)、(CE)；

91

P(/型号饮水机被选中)=d=于

故答案为：

14.(3分)分解因式：8(/+1)-I6a=8(a-1)2.

【解答】解：8(a2+l)-16a

=8(a2+l-2a)

=8(a-1)2.

故答案为：81)2.

15.(3分)若不等式组[1+x>a有解，则a的取值范围是><3.

12%-4<0

【解答】解：+J，

[2x-4<0(2)

由①得，x>a-1；

由②得，xW2,

..•此不等式组有解，

：.a-1<2,

解得a<3.

故答案为a<3.

16.(3分)用一个圆心角为120。，半径为631的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的

底面圆的半径为2cm

第14页(共28页)

【解答】解：扇形的弧长=鼻笄巴=轨(cm),

loU

故圆锥的底面半径为4n+2n=2(cm).

故答案为：2c冽.

17.(3分)已知xi,X2是一元二次方程，+2(m+1)x+冽2-1=0的两实数根，且满足(如

-X2)2=16-X1X2,实数了的值为1.

【解答】解：

Vxi，X2是一元二次方程，+2(m+1)X+加2-1=0的两实数根，

.*.%1+%2=-2(加+1),xiX2=m2-1,

*.*(XI-X2)2=16-X1X2,

(xi+x2)2=16+3x1X2,即4(m+1)2=16+3(m2-1),解得加=1或加=-9,

・・•一元二次方程f+2(m+1)x+/-1=0的有两实数根，

，△三。，即4(冽+1)2-4(m2-1)三0,解得冽2-1,故加=-9不合题意，舍去，

・•加=1,

故答案为：1.

18.(3分)在平面直角坐标系中，以任意两点尸(xi，/),Q(X2,丝)为端点的线段的中

点坐标为(专2,丐竺).在直角坐标系中，有/(-1,2),B(3,1),C(1,4)

三点，另有一点。与/,B,C构成平行四边形的顶点，则点。的坐标为(1,-1)

或(5,3)或(-3,5).

【解答】解：如图，分三种情况：

,：A(-1,2),B(3,1),C(1,4),

.♦•把5向左平移2个单位，再向下平移2个单位，得。点坐标为(1,-1),

②当2C为对角线，AB//CD,,时，

第15页(共28页)

,：A（-1,2）,B（3,1）,C（1,4）,D（1,-1）,

•••由线段中点坐标公式得：。的坐标为（5,3）；

③当NC为对角线，AB//CD",4D"〃BC时，

由线段中点坐标公式得。'的坐标为（-3,5）；

综上所述，符合要求的点。的坐标为（1,-1）或（5,3）或（-3,5）,

故答案为：（1,-1）或（5,3）或（-3,5）.

19.（3分）如图，正六边形/向CiDiEi为的边长为2,正六边形/232。2。2£2/2的外接圆与

正六边形NiBCbDiEFi的各边相切，正六边形出83。3。3£3尸3的外接圆与正六边形

A2B2C2D2E2F2的各边相切.按这样的规律进行下去，NioBioCioDioEioFio的边长为

81V3

.♦.△E1OD1为等边三角形，

:正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形NbBiCbDiEFi的各边相切,

：.OD2-LEIDI,

第16页（共28页）

：.OD2=骨①尸斗乂2,

正六边形A2B2C2D2E2F2的边长=孚

X2,

同理可得正六边形/323。3。3£3/3的边长=（y）2x2,

A/301F5

则正六边形ZioBioCioZhoEiob10的边长=（―）9X2=.

_,81V3

故答案为：28■

20.（3分）宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时

租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有2种.

【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得:

'2x+3y+4z=20

%+y+z=7

解得：歹+2z=6,

y=6-2z,

Vx,y,z是正整数,

当2=1时，＞=4,x=2；

当z=2时，y=2,x=3；

当z=3时，j=0,x=4；（不符合题意，舍去）

，租房方案有2种.

故答案为：2.

21.（3分）如图，点从F、G、X分别为菱形各边的中点，连接，F、BiG、CH

得四边形加比C2D2，以此类推得四边形4353c3。3…，若菱形4小。1。1的面积为S,

【解答】解：,・•"为4151的中点，产为C01的中点,

:・AiH=BiH,CiF=DiF,

又为菱形，：.AiBi=CxDi,

第17页（共28页）

：.A\H=CxF,又AiH〃CiF,

.••四边形出HCF为平行四边形，

•'•5四边形41%71尸=254//31。1=26^/1。1尸，

又S四边形41HC1khS^HBlCl+SA/LDlF=S菱形N1B1C1D1=S，

•"S四边形Al/fC177=~^，

又GDi=BiE,GD1//B1E,

...GBEDi为平行四边形，

:.GBM/EDi,又G为4Di的中点，

为/。2的中点，

同理C2为。历的中点，比为小血的中点，功为。1。2的中点，

；.HB2=%42,。2尸=箱。2,

又/1加2汨■和C1C2D2F都为梯形，且高与平行四边形/*2。亦>2的高h相等（设高为h）,

下底与平行四边形4252c2。2的边A1D1与X相等（设力力2=%），

二・S梯形4L4232H=S梯形C\C2D2F=工（%+尹）h=甲力,S平行四边形N232c2。2=%〃，

艮S梯形NL42B2H：S梯形C1C2O2尸：S平行四边形/2B2C2£>2=3:3:4,

又S梯形Z1425277+S梯形C\C2D2F^S平行四边形，252c202=S四边形41HC1尸,

••S平行四边形4232C2£>2=四边形41"。1尸=5S，

1

2

同理s四边形Z353C3O3=（-）S,

以此类推得四边形432G〃的面积为（：）犷匕或4T.

1s

故答案为：］）〃一代或行.

22.（3分）如图，折叠矩形纸片/BCD,使点5落在边4。上，折痕跖的两端分别在45、

IOVTO

5。上（含端点），且45=6。冽，BC=10cm.则折痕跖的最大值是一二一_c加.

第18页（共28页）

B

【解答】解：如图，点尸与点C重合时，折痕跖最大，

由翻折的性质得，BC=B'C=lQcm,

在Rt△夕中，B'D=［叱-C£>2="02-62=8加

:.AB'=AD-B'0=10-8=2。〃，

设BE=x,则夕E=BE=x,

AE=AB-BE=6-x,

在E中，AE2+ABr2=B'E1,

即(6-x)2+22=X2,

解得X=当

在RtABEF中，EF=y/BC2+BE2=J102+(^)2=当迥c%.

当£与/重合时，昉的最大值为6近，

6aV呼，

：.EF的最大值为理亚，

三、解答题(共54分)

23.(7分)如图，RtZ\/8C中，ZACB=90°.

(1)用直尺和圆规在线段/C上找一点。，使点。到2C和的距离相等;

(2)在(1)的条件下，若BC=3,AC=4,求点。到的距离.

第19页(共28页)

A

【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求.

（2）由02=4^2,得32+42=25.

:.AB=5.

如图，过点。作于点£.

设DE=DC=x.

111

x3x4=-x5%+—x3%.

222

解得：x=1.5.

：.DE=1.5,即点。到48的距离等于15

24.（8分）某过街天桥的设计图是梯形（如图所示），桥面DC与地面48平行，DC

=62米，42=88米.左斜面与地面48的夹角为23°,右斜面2C与地面的夹

角为30°,立柱DEL4B于E,立柱CFLAB于F,求桥面DC与地面AB之间的距离（精

【解答】解：设桥面DC与地面43之间的距离为x米，即DE=CF=x,

则/£=tcm23°'BF=tan30D，

AE+BF=AB-DC,

XX

：.------+------=88-62,

tan23tan30

解得：x26.4,

第20页（共28页）

答：桥面。C与地面N3之间的距离约为6.4米.

25.(9分)如图，直线Ly=-x+3与两坐标轴分别相交于点/、B.

(1)当反比例函数y=£(机>0,x>0)的图象在第一象限内与直线上至少有一个交点

时，求机的取值范围.

(2)若反比例函数y=3%>0,x>0)在第一象限内与直线£相交于点C、D,当CD=2<2

时，求加的值.

(3)在(2)的条件下，请你直接写出关于x的不等式-X+3V9的解集.

【解答】解：(1)当反比例函数y=£(m>0,x>0)的图象在第一象限内与直线工至

少有一个交点，得

-x+3=?整理得：x2-3x+m=0,

△=(-3)2-4m，0,

Q

解得m<-T.

Q

...加的取值范围为：

(2)Vx2-3x+m=0,

设该方程的两根是XI、X2.

.*.%1+X2=3,x\*X2=m,

22

CD=V(%i-x2)+(yi-y2)=2近，

，+%2)2-4打%21=2企，

即2(9-4〃?)=8,

解得m=

第21页(共28页)

(3)当时，x2-3x+m=0,

解得XI=4，X2--|,

由反比例函数图象在直线上方的区域得0<xV4或x>参

26.(9分)已知正方形/5C。，尸为射线上的一点，以BP为边作正方形2PEF,使点尸

在线段C3的延长线上，连接£/,EC.

(1)如图1,若点尸在线段48的延长线上，求证：EA=EC；

(2)如图2,若点尸在线段N5的中点，连接/C,判断的形状，并说明理由；

(3)如图3,若点尸在线段48上，连接/C,当EP平分N/EC时，设48=a,BP=b,

求a：6及/NEC的度数.

【解答】证明：(1)•..四边形A8CD和四边形APE厂是正方形，

：.AB=BC,BP=BF,

:.AP=CF,

在和△CFE'中，

AP=CF

VLp=NF,

PE=EF

：.△APE妾ACFE,

：.EA=EC；

(2)是直角三角形，理由是:

如图2,为的中点，

：.PA=PB,

'：PB=PE,

：.PA=PE,

：.ZPAE=45°,

第22页(共28页)

又・；NB4C=45°,

：.ZCAE=90°,即△4CE是直角三角形；

(3)解法一：如图3,设CE交48于G,

TEP平分/4EC,EPL4G,

:・AP=PG=a-b,BG=a-(2〃-2b)=2b-a,

U：PE//CF,

PEPG「ba-b

—=—,即——=----，

BCGBa2b-a

解得：a=y[2b,

••azb=V2：1,

作GHLAC于H,

t：ZCAB=45°,

:・HG=*AG=^(2岳-2b)=(2-V2)b,

又•：BG=2b-a=(2-V2)b,

:・GH=GB,GHLAC,GB工BC,

：.ZHCG=NBCG,

U：PE//CF,

：./PEG=/BCG,

：.ZAEC=ZACB=45°.

解法二：如图4,连接

易得a=y/2b,

**.6z：b=V2：L

,:BE=y[2BF=V2Z),

*•BEci:—BCy

：./BCE=/BEC,

■:/FBE=/BCE+/BEC=45°,

:./BCE=225°,

:・/AEC=2/PEC=2NBCE=45°.

第23页（共28页）

DA

27.(10分)如图，。。的半径为1,点P是。。上一点，弦N5垂直平分线段。P,点。

是旃上任一点(与端点/、8不重合)，DEL4B于点、E,以点。为圆心、长为半径

作。。，分别过点/、3作。。的切线，两条切线相交于点C

(1)求弦N5的长；

(2)判断//C3是否为定值？若是，求出//C2的大小；否则，请说明理由；

s

(3)记△48C的面积为S,^—7=4V3,求△48C的周长.

DE乙

一

【解答】解：(1)连接。/,取。尸与的交点为F,则有。N=l.

:弦43垂直平分线段OP,

11

：.OF=»P=W，AF=BF,

在RtZ\O4F中，

,;AF=V0A2—OF2-JF-(A)2—字，

：.AB=2AF=V3.

第24页(共28页)

(2)N/C2是定值.

理由：连接N。、BD,

由(1),0尸=]AF=~,

AFr-

.•.tanN/OP=—V3,

AZAOP=60°,

：.ZAOB=120°,

丁点。为△NBC的内心，

：・/CAB=2/DAE,/CBA=2NDBA,

111

,/ZDAE+ZDBA=^ZAOD+^ZDOB=^ZAOB=60°,

：.ZCAB+ZCBA=120°,

ZACB=60°.

(3)记△力5。的周长为/,取4C,5c与。。的切点分别为G,H,连接OD

连接。G,DC,DH,则有DG=DH=DE,DGLAC,DHLBC,

S=S"BD+S丛ACD+S丛BCD

=%B・DE+^BC・DH+%C・DG=I(AB+BC+AC)・DE=9,DE,

S「

*.*—n=4A/3,

DE2

1

泉,DE