七年级上册数学-第四单元-一元一次方程应用题

七年级上册数学第四单元一元一次方程应用题知识点1：数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c均为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c（百位数字a·100+十位数字b·10+个位数字c）。然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程。（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+1或2n—1表示。例1.一个三位数，三个数位上的数字之和是17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上的数的3倍，求这个三位数。[分析]由已知条件给出了百位、个位与十位上的数的关系，若设十位上的数为x，则百位上的数为x+7，个位上的数是3x，等量关系为三个数位上的数字和为17。解：设这个三位数十位上的数为X，则百位上的数为x+7，个位上的数是3xx+x+7+3x=17解得x=2x+7=9，3x=6答：这个三位数是926练习：1.一个两位数，个位上的数是十位上的数的2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36，求原来的两位数。2.有一个两个位数，两个数位上的数字之和是9，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数比原来的两位数大63.求原来的两位数。知识点2：若干应用问题等量关系的规律（1）和、差、倍、分问题此类题既可表示运算关系，又可表示相等关系，要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义，如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等，它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量（2）等积变形问题常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变．①圆柱体的体积公式V=底面积×高＝S·h＝πr2h②长方体的体积V＝长×宽×高＝abc例1.兄弟两人今年分别为15岁和9岁，多少年后（或前）兄的年龄是弟的年龄的2倍。解：设弟的年龄为x岁，根据题意得15+x=2(9+x)，解得x=-3答：3年前兄的年龄是弟的年龄的2倍。例2：一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，π≈3.14）。解：设圆柱形水桶的高为x毫米，依题意，得Π·（2002）x=300×300×80x≈229.32答：圆柱形水桶的高约为229.3毫米。例3.甲车队有50辆汽车，乙车队有41辆汽车，如果要使乙车队汽车比甲车队汽车的辆数的2倍还多1辆，应从甲车队调多少辆车到乙队？解：设应从甲车队调x辆车到乙队，依题意，得41+x=2（50-x）+1，解得x=20辆答：应从甲车队调20少辆车到乙队。练习：1．在日历上，爷爷生日那天的上、下、左、右4个日期数的和为80，你能说出爷爷的生日是几号吗？2.甲乙两桶内共有水48千克，如果甲桶给乙桶加水一倍，然后乙桶又给甲桶加甲桶剩余水的一倍，这时两桶内水的质量相等，那么原来甲乙两桶各有多少千克水？解：设甲桶水最初为x千克，则乙桶48-x千克，

第一步之后，甲桶剩水x-（48-x）=2x-48，乙桶剩水2（48-x）

第二步之后，甲桶剩水2（2x-48），乙桶剩水2（48-x）-（2x-48）=144-4x，

则可得方程4x-96=144-4x，解得x=30，故甲桶原有30千克水，乙桶原有18千克水。设原来甲桶有x千克水，乙桶有48-x千克水2[x-(48-x)]=2(48-x)-[x-(48-x）]

2x-96+2x=96-2x-x+48-x

4x-96=144-4x

4x+4x=144+96

8x=240

x=30

乙桶有水48-30=18千克

答：原来甲桶有30千克水，乙桶有18千克水4.长方体甲的长、宽、高分别为260mm，150mm，325mm，长方体乙的底面积为130×130mm，又知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高？知识点3：行程问题基本量之间的关系：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（1）相遇问题快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题快行距－慢行距＝原距（3）航行问题顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．例1.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。（1）慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。练习：1.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，甲带着一只狗，当甲追乙时，狗先追上乙，再返回遇上甲，再返回追上乙，依次反复，直至甲追上乙为止，已知狗的速度为15千米/小时，求此过程中，狗跑的总路程是多少？[分析]]追及问题，不能直接求出狗的总路程，但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程=它的速度×时间，而它用的总时间就是甲追上乙的时间解：设甲用X小时追上乙，根据题意列方程

5X=3X+5

解得X=2.5，狗的总路程：15×2.5=37.5答：狗的总路程是37.5千米。2.已知甲、乙两地相距120千米，乙的速度比甲每小时快1千米，甲先从A地出发2小时后，乙从B地出发，与甲相向而行经过10小时后相遇，求甲乙的速度？解：设甲的速度为X千米/小时，乙的速度为X+1千米/小时

（2+10）X+10（X+1)=120

12X+10X+10=120

22X=110

X=5

乙速度X+1=6千米/小时3．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长。解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，过完第一铁桥所需的时间为分．

过完第二铁桥所需的时间为分．

依题意，可列出方程

+=

解方程x+50=2x-50

得x=100

∴2x-50=2×100-50=150

答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米例2．某船从A地顺流而下到达B地，然后逆流返回，到达A、B两地之间的C地，一共航行了7小时，已知此船在静水中的速度为8千米/时，水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米，求A、B两地之间的路程。[分析]这典型的行船问题，这类问题中要弄清：（1）顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度（2）逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度本题中相等关系为：顺流航行的时间+逆流航行灯时间=7小时。练习：1.一队学生去军事训练，走到半路，队长有事要从队头通知到队尾，通讯员以18米/分的速度从队头至队尾又返回，已知队伍的行进速度为14米/分。问：①若已知队长320米，则通讯员几分钟返回？②若已知通讯员用了25分钟，则队长为多少米？2．一架飞机在两个城市之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需要2小时50分，逆风飞行需要3小时，求两个城市之间的飞行路程？解：设飞机时速为X千米/小时，

17/6*(X+24)=3*(X-24)

解得X=840

则3*(840-24)=2448

答:飞机时速为840千米/时，两城市间距离为2448千米3．一轮船在甲、乙两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时，水流的速度为2千米/时，求甲、乙两码头之间的距离。解：设甲乙两地距离为x千米

x/4-2=x/5+2

5x-40=4x+40

5x-4x=40+40

x=80答：甲乙两码头之间的距离为80千米知识点4：工程问题工作量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作量÷工作时间工作时间＝工作量÷工作效率完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1一件工作，甲独作10天完成，乙独作8天完成，两人合作几天完成？[分析]甲独作10天完成，说明的他的工作效率是1/10,乙的工作效率是,1/8等量关系是：甲乙合作的效率×合作的时间=1解：设合作X天完成,依题意得方程(1/10+1/8)x=1解得x=40/9答：两人合作40/9天完成例2.一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？[分析]设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。解：设乙还需x天完成全部工程，设工作总量为单位1，由题意得，（1/15+1/12）*3+x/12=1解之得x==33/5=6.6答：乙还需7天才能完成全部工程。例3.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？[分析]等量关系为：甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。解：设打开丙管后x小时可注满水池，由题意得，(1/6+1/8)(x+2)-（1/9）x=1x=30/13答：打开丙管后30/13小时可注满水池练习：1.一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？解：设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作．

根据题意，得×+（+）x=1

解这个方程，得x=

=2小时12分

答：甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作．2.某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个．在这16名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．•已知每加工一个甲种零件可获利16元，每加工一个乙种零件可获利24元．若此车间一共获利1440元，•求这一天有几个工人加工甲种零件。解：设这一天有x名工人加工甲种零件，

则这天加工甲种零件有5x个，乙种零件有4（16-x）个．

根据题意，得16×5x+24×4（16-x）=1440

解得x=6

答：这一天有6名工人加工甲种零件。3.一项工程甲单独做需要10天，乙需要12天，丙单独做需要15天，甲、丙先做3天后，甲因事离去，乙参与工作，问还需几天完成？解：设还需要x天

(1/10+1/15)*3+(1/12+1/15)x=1

1/2+3/20*x=1

3/20*x=1/2

x=1/2*20/3

x=10/3

答：还需要10/3天知识点5：市场经济、打折销售问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%/商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量（4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原价的80%出售。例1.某商店开张，为了吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种皮鞋进价60元一双，八折出售后商家获利润率为40%，问这种皮鞋标价是多少元？优惠价是多少元？[分析]等量关系：商品利润率=商品利润/商品进价解1：60×（1+40%）=84（元）

84÷8/10=105（元）

答：这种皮鞋标价是105元，优惠价是84元

用一元一次方程解：解：这种皮鞋标价是x元

8/10x=60×（1+40%）

解得：x=105

105×8/10=84（元）

答：这种皮鞋标价是105元，优惠价是84元例2.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价，又以8折优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的进价是多少？[分析]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为X元进价折扣率标价优惠价利润X元8折（1＋40%）X元80%（1＋40%）X15元等量关系：（利润=折扣后价格—进价）折扣后价格－进价=15解：设进价为X元，80%X（1+40%）-X=15，X=125答：进价是125元。练习：1.一家商店将一种自行车按进价提高45%后标价，又以八折优惠卖出，结果每辆仍获利50元，这种自行车每辆的进价是多少元？若设这种自行车每辆的进价是x元，那么所列方程为（）A.45%×（1+80%）x-x=50B.80%×（1+45%）x-x=50C.x-80%×（1+45%）x=50D.80%×（1-45%）x-x=50解：设这种自行车每辆的进价是x元，

80%×（1+45%）x-x=50．

故选B．2．某商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则至多打几折。解：设至多打x折

1200x≥800×﹙1＋5％﹚

x≥0.7＝70％＝七折

答：该商品打7折销售。3．一家商店将某种型号的彩电先按原售价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”。经顾客投拆后，拆法部门按已得非法收入的10倍处以每台2700元的罚款，求每台彩电的原售价。解：设每台彩电的原价格是x元，

则有：10×[（1+40%）x×0.8-x]=2700，

解得：x=2250，

答：每台彩电的原价为2250元．知识点6储蓄、储蓄利息问题(1）顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%付利息税(2）利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率（20%）(3)利润=每个期数内的利息/本金×100%例1.某同学把250元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不计利息税）[分析]等量关系：本息和=本金×（1+利率）解：设半年期的实际利率为X，依题意得方程250（1+X）=252.7，解得X=0.0108所以年利率为0.0108×2=0.0216答：银行的年利率是21.6%例2.为了准备6年后小明上大学的学费20000元，他的父亲现在就参加了教育储蓄，下面有三种教育储蓄方式：

1）直接存入一个6年期；

2）先存入一个三年期，3年后将本息和自动转存一个三年期；

3）先存入一个一年期的，后将本息和自动转存下一个一年期；你认为哪种教育储蓄方式开始存入的本金比较少？

[分析]这种比较几种方案哪种合理的题目，我们可以分别计算出每种教育储蓄的本金是多少，再进行比较。解：(1）设存入一个6年的本金是X元,依题意得方程X（1+6×2.88%）=20000，解得X=17053(2）设存入两个三年期开始的本金为Y元，Y（1+2.7%×3）(1+2.7%×3）=20000，X=17115(3）设存入一年期本金为Z元，Z（1+2.25%）=20000，Z=17894所以存入一个6年期的本金最少。练习小刚的爸爸前年买了某公司的二年期债券4500元，今年到期，扣除利息税后，共得本利和约4700元，问这种债券的年利率是多少（精确到0.01%）。解：设这种债券的年利率为x，由题意得：

4500+2×4500x=4700，

解得：x≈2.34%．

答：这种债券的年利率是2.34%．2．（北京海淀区）白云商场购进某种商品的进价是每件8元，销售价是每件10元（销售价与进价的差价2元就是卖出一件商品所获得的利润）．现为了扩大销售量，把每件的销售价降低x%出售，但要求卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，则x应等于（）。A．1B．1.8C．2D．10分析：利润=售价-进价，因为每件的销售价降低x%出售，所以售价是10（1-x%），进价是8元，且卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%，可列方程．解答：解：因为每件的销售价降低x%出售，卖出一件商品所获得的利润是降价前所获得的利润的90%．

10（1-x%）-8=0.9（10-8）

故选A．3.用若干元人民币购买了一种年利率为10%的一年期债券，到期后他取出本金的一半用作购物，剩下的一半和所得的利息又全部买了这种一年期债券（利率不变），到期后得本息和1320元。问张叔叔当初购买这咱债券花了多少元？解：设本金为x建立方程式

即：x×（1+10%）-0.5x=1320÷（1+10%）

解得：x=2000，

故小张购买这种债券花了2000元知识点7：方案选择问题例1．某蔬菜公司的一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润可达4500元，经精加工后销售，每吨利润涨至7500元，当地一家公司收购这种蔬菜140吨，该公司的加工生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果进行精加工，每天可加工6吨，但两种加工方式不能同时进行，受季度等条件限制，公司必须在15天将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种可行方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工。方案二：尽可能多地对蔬菜进行粗加工，没来得及进行加工的蔬菜，在市场上直接销售。方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成。你认为哪种方案获利最多？为什么？例2．某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟，再付电话费0.2元；“神州行”不缴月基础费，每通话1分钟需付话费0.4元（这里均指市内电话）。若一个月内通话x分钟，两种通话方式的费用分别为y1元和y2元。（1）写出y1，y2与x之间的函数关系式（即等式）．（2）一个月内通话多少分钟，两种通话方式的费用相同？（3）若某人预计一个月内使用话费120元，则应选择哪一种通话方式较合算？解：（1）y1=0.2x+50，y2=0.4x．（2）由y1=y2得0.2x+50=0.4x，解得x=250．即当一个月内通话250分钟时，两种通话方式的费用相同。（3）由0.2x+50=120，解得x=350由0.4x+50=120，得x=300因为350>300故第一种通话方式比较合算．练习：1．某家电商场计划用9万元从生产厂家购进50台电视机．已知该厂家生产3种不同型号的电视机，出厂价分别为A种每台1500元，B种每台2100元，C种每台2500元。（1）若家电商场同时购进两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案。（2）若商场销售一台A种电视机可获利150元，销售一台B种电视机可获利200元，销售一台C种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号的电视机方案中，为了使销售时获利最多，你选择哪种方案？试题分析：（1）因为要购进两种不同型号电视机，可供选择的有3种，那么将有三种情况：AB组合，AC组合，BC组合；等量关系为：台数相加=50，钱数相加=90000；

（2）算出各方案的利润加以比较．

（1）解分三种情况计算：

①设购A种电视机x台，B种电视机y台

②设购A种电视机x台，C种电视机z台

③设购B种电视机y台，C种电视机z台

（2）方案一：25×150+25×200=8750．

方案二：35×150+15×250=9000元．

答：购A种电视机25台，B种电视机25台；或购A种电视机35台，C种电视机15台．

购买A种电视机35台，C种电视机15台获利最多．

2．某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时0.40元，若每月用电量超过a千瓦时，则超过部分按基本电价的70%收费。（1）某户八月份用电84千瓦时，共交电费30.72元，求a．（2）若该用户九月份的平均电费为0.36元，则九月份共用电多少千瓦时？应交电费是多少元？分析：（1）根据题中所给的关系，找到等量关系，共交电费是不变的，然后列出方程求出a；

（2）先设九月份共用电x千瓦时，从中找到等量关系，共交电费是不变的，然后列出方程求出x．解答：解：（1）由题意，得

0.4a+（84-a）×0.40×70%=30.72

解得a=60

（2）设九月份共用电x千瓦时，则

0.40×60+（x-60）×0.40×70%=0.36x

解得x=90

所以0.36×90=32.40（元）

答：九月份共用电90千瓦时，应交电费32.40元．一元一次方程课的资料一、方程的有关概念1.方程：含有未知数的等式就叫做方程.2.一元一次方程：只含有一个未知数(元)x，未知数x的指数都是1(次)，这样的方程叫做一元一次方程.例如：1700+50x=1800，2(x+1.5x)=5等都是一元一次方程.3.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值(或几个数值)，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质(1)：等式两边都加上(或减去)同个数(或式子)，结果仍相等.等式的性质(1)用式子形式表示为：如果a=b，那么a±c=b±c等式的性质(2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，等式的性质(2)用式子形式表示为：如果a=b，那么ac=bc;如果a=b(c≠0)，那么ca=cb三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.四、去括号法则1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.五、解方程的一般步骤1.去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)2.去括号(按去括号法则和分配律)3.移项(把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号)4.合并(把方程化成ax=b(a≠0)形式)5.系数化为1(在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=a(b).六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1.审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.2.设：设未知数(可分直接设法，间接设法)3.列：根据题意列方程.4.解：解出所列方程.5.检：检验所求的解是否符合题意.6.答：写出答案(有单位要注明答案)七、有关常用应用类型题及各量之间的关系1.和、差、倍、分问题：增长量=原有量×增长率现在量=原有量+增长量(1)倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……”来体现