2024-2025学年新疆石河子一中高三上学期开学考数学试题及答案

石河子第一中学2025届高三年级开学考试数学试卷一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合A．，，则（）B．C．D．2．下列不等式中，可以作为A．B．3．若的一个必要不充分条件的是（）C．D．，且，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．的图象大致为（D．4.函数在区间）A.B.C.D.5．若函数在上单调递增，则a的取值范围是（C．D．）A．B．6．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ꢀꢀ）A．B．C．D．7．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（）（附：A．）B．C．D．8.已知函数的定义域为R，，且当C.时，则下列结论中一定正确的是（）A.B.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．已知奇函数A．的定义域为，若，则（）B．D．的图象关于直线的一个周期为对称C．10.设函数，则（有三个零点为曲线）A.当时，B.当时，是的极大值点C.存在a，b，使得的对称轴D.存在a，使得点11．已知为曲线的对称中心，则下列结论正确的有（）A．的最大值为B．的最小值为C．的最小值为3D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是，函数的零点是（用a表示）.13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.14．已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知不等式的解集为.(1)求的值，(2)若，，，求的最小值.16（15分）．已知函数(1)作出函数.的大致图像，并简要说明理由；(2)讨论函数的单调性.17.（15分）设函数，直线是曲线处的切线方程.在点处的切线．（1）当时，求在点（2）求证：不经过点.18.（17分）已知函数（1）若，且，求最小值；（2）证明：曲线（3）若是中心对称图形；当且仅当，求的取值范围．19.（17分）给定整数，由元实数集合定义其随影数集.若，则称集合为一个元理想数集，并定义的理数为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集，求证：；注：①由个实数组成的集合叫做元实数集合，分别表示数集中的最大数与最小数.②已知，例如。石河子第一中学2025届高三年级开学考试数学答案一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，，则（）A．B．C．D．答案：A2．下列不等式中，可以作为的一个必要不充分条件的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】利用必要不充分条件的意义，逐项判断即得.【详解】对于A，是的不充分不必要条件，A不是；对于B，对于C，是是的一个必要不充分条件，B是；的一个充分不必要条件，C不是；是的一个充分不必要条件，D不是.对于D，故选：B3．若，且，则下列不等式中一定成立的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据不等式的基本性质推导相关结论.【详解】对A：当时，由不能推出，所以A错误；对B：当对C：当，时，由不能推出，所以B错误；时，由不能推出，又，所以C错误；对D：由故选：D，所以在区间，所以D正确.4.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.【详解】，又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，又，故可排除D.故选：B.5．若函数在上单调递增，则a的取值范围是（C．D．）A．B．【答案】A【分析】利用求导，将函数在给定区间上为增函数转化为不等式在上恒成立问题，即求出二次函数在【详解】由上的最大值即得.可得，因即在上单调递增，故在上恒成立，在上恒成立，而函数故在，即a的取值范围是上单调递减，则，.故选：A.6．已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ꢀꢀ）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为幂函数，当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.所以，因为在区间上单调递减，则，解得是上的偶函数，则，解得或，则.故选：C．，其对称轴方程为7．中国的5G技术领先世界，5G技术中的数学原理之一是香农公式：，它表示在被高斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率取决于信道带宽、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪音功率的大小，其中叫做信噪比.已知当比较大时，，按照香农公式，由于技术提升，宽带在原来的基础上增加，信噪比从1000提升至8000，则大约增加了（）（附：）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用对数的运算性质，由香农公式分别计算信噪比为1000和8000时的比值即可求解.【详解】由题意可得，当时，，，当时，所以，所以的增长率约为.故选：D公众号：高中试卷君8.已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（）A.B.D.C.【答案】B【解析】【分析】代入得到【详解】因为当又因为，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断.，所以，时，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．已知奇函数A．的定义域为，若，则（）B．D．的图象关于直线的一个周期为对称C．【答案】ACD【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断.【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确；又由，即，则函数，关于直线对称，B选项错误；可知即，函数的一个周期为，C选项正确，D选项正确；故选：ACD.10.设函数，则（）A.当B.当时，时，有三个零点是的极大值点C.存在a，b，使得为曲线的对称轴D.存在a，使得点【答案】AD【解析】为曲线的对称中心【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则的对称中心，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A选项，，由于，故时，，故在上单调递增，时，单调递减，则由在处取到极大值，在，处取到极小值，，则上有一个零点，，则，根据零点存在定理又在，，则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；B选项，，时，，单调递减，时，单调递增，此时在处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的即使得，，根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；D选项，方法一：利用对称中心的表达式化简，若存在这样的，使得为的对称中心，则，事实上，，于是即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，，，，由，于是该三次函数的对称中心为，由题意也是对称中心，故，即存在使得是的对称中心，D选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心11．已知A．，则下列结论正确的有（）的最大值为B．的最小值为C．的最小值为3D．11．BD【详解】因为，对于A，因为，当且仅当时，等号成立，但，可得，则，可得，可知不为的最大值，故A错误；对于B，因为，当且仅当，则，即，时，等号成立，所以的最小值为，则，故B正确；对于C，因为，即，当且仅当，即，时，等号成立，这与题干不符，故3不为的最小值，故C错误；对于D，由题意可知：D正确；故选：BD.，，则，构建函数，，则，在内恒成立，可知在内单调递减，则，所以，故三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．函数有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是，函数的零点是（用a表示）.【答案】【分析】根据题设条件可知抛物线与轴相切，从而可得的关系，进一步解一元二次方程即可求解函数零点.【详解】解析因为函数所以函数有零点，但不能用二分法求出，的图象与x轴相切，所以，所以，令，解得.故答案为：，.13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.【答案】【解析】【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由故曲线得，，；在处的切线方程为由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，，切线方程为根据两切线重合,所以故答案为：，解得.14．已知为实数，若不等式对任意恒成立，则的最大值是.【答案】6【分析】先对不等式等价变换为，从而，令得，构造函数，又，利用不等式性质即可求解范围.【详解】因为则不等式，所以，等价于，等价于从而，令，则，，令，由对勾函数的性质知，，因为令，即，所以，则，解得，所以，当且仅当即时取等号，故的最大值是6.故答案为：6【点睛】关键点点睛：本题考查了复合函数的值域及不等式的性质，解题的关键是对不等式等价变形，利用换元法结合对勾函数性质求解函数范围，最后利用不等式性质求解即可.公众号：高中试卷君四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知不等式的解集为.(1)求的值，(2)若，，，，求的最小值.【答案】(1)·(2)9·【分析】（1）利用指数函数单调性解不等式即可.（2）结合“1”的代换，利用基本不等式求得，然后利用不等式性质求解即可.【详解】（1）由及函数在定义域上单调递减，得，解得，因此，，·（2）由已知可得，又因为且，则，当且仅当时，等号成立，故.16（15分）．已知函数(1)作出函数.的大致图像，并简要说明理由；(2)讨论函数的单调性.【详解】（1）（2）由已知可得函数，.①当时，当时，，时，；则在上单调递减，在上单调递增；②当时，时，当时，，或在；则上单调递减，在上单调递增；③当时，时，因当与同号，故恒成立，即在R上单调递增；④当时，，或时，；则在上单调递减，在上单调递增.17.（15分）设函数，直线是曲线在点处的切线．（1）当时，求在点处的切线方程.（2）求证：不经过点.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为.（2）证明见解析【小问1详解】【解析】，切线方程为：，即：。【小问2详解】，切线的斜率为，则切线方程为，将即代入则，，则，，，令假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在无零点，与假设矛盾，故直线不过.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.18.（17分）已知函数（1）若，且，求是中心对称图形；当且仅当，求的取值范围．最小值；（2）证明：曲线（3）若【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）求出后根据可求的最小值；关于（2）设为图象上任意一点，可证的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断【小问1详解】即，再根据在上恒成立可求得.时，，其中，则，因为故，当且仅当成立，故时等号成立，，而即，所以的最小值为.，【小问2详解】的定义域为，设为图象上任意一点，的对称点为关于，因为而在图象上，故，，，所以由也在图象上，图象为中心对称图形，且对称中心为的任意性可得.【小问3详解】因为当且仅当，故为的一个解，所以即，先考虑时，恒成立.此时设即为在上恒成立，，则上恒成立，设，则，，当故，恒成立，故在上为增函数，故即在上恒成立.当故故时，，上为增函数，上恒成立.恒成立，故即在在当，则当时，故在上在为减函数，故上恒成立时，不合题意，舍；综上，而当.时，而即时，由上述过程可得在递增，故的解为，的解为.综上，.【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点