七年级数学上册数学 6.5垂直（四大题型）（解析版）

6.5垂直分层练习考察题型一垂线的概念与性质1．两条直线相交所构成的四个角，其中：①有一个角是直角；②有一对对顶角相等；③一对邻补角相等；④有三个角都相等．以上4种条件中，能判定这两条直线垂直的条件A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【详解】解：两条直线相交构成四个角，①有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，正确；②有一对对顶角相等，不能判定两条直线互相垂直，错误；③有一组邻补角相等，则这两个角都为，能判定两条直线互相垂直，正确；④有三个角都相等，则每个角都等于，能判定两条直线互相垂直，正确；能判定这两条直线互相垂直的有：①③④，共有3个．故本题选：．2．如图，有一个与水平地面成角的斜坡，现要在斜坡上竖起一根与水平地面垂直的电线杆，电线杆与斜坡所夹的角的度数为A． B． C． D．【详解】解：如图，延长交于点，则，，．故本题选：．3．如图，三条直线，，相交于点，且，，若平分．的度数为A． B． C． D．【详解】解：三条直线，，相交于点，，，，，平分，，．故本题选：．4．已知：，，则的度数为A． B． C．或 D．无法确定【详解】解：，，如图1，，；如图2，，．综上，的度数为或．故本题选：．5．如图，直线，相交于点，平分，平分，．（1）请判断与的位置关系，并说明理由；（2）若，求的度数．【详解】解：（1），理由如下：平分，，平分，，，，；（2），，设，则，，，，，，，．考察题型二垂直公理1．过点向线段所在直线引垂线，正确的画法是A． B． C． D．【详解】解：选项，没有垂直，错误；选项，没有过点，错误；选项，过点作的垂线，垂线是直线，正确；选项，为垂线段，不是直线，错误．故本题选：．2．下列说法正确的有（）①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，过一点可以画无数条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：在平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故①②正确，③错误；在平面内，有无数直线垂直于已知直线，故④错误；综上，说法正确的有2个．故本题选：．考察题型三垂线段的最短1．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是A．测量跳远成绩 B．木板上弹墨线 C．两钉子固定木条 D．弯曲河道改直【详解】解：、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”；、木板弹出一条墨迹是利用了“两点确定一条直线”；、用两个钉子就可以把木条固定在墙上是利用了“两点确定一条直线”；、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”．故本题选：．2．如图，河道的同侧有、两地，现要铺设一条引水管道，从地把河水引向、两地．下列四种方案中，最节省材料的是A． B． C． D．【详解】解：由“垂线段最短”、“两点之间，线段最短”可得：最节省材料的是：．故本题选：．3．如图，，垂足为，则下列线段关系不一定成立的是A． B． C． D．【详解】解：、，一定成立；、，一定成立；、，一定成立；、不一定大于．故本题选：．4．如图，已知，垂足为，已知，点在射线上移动，则线段的长不可能是A．3 B．5 C．6 D．7【详解】解：，，，即，线段的长不可能是3．故本题选：．5．直角三角形中，，，，，则点到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为A． B． C． D．2【详解】解：如图，过点作于点，，，由“垂线段最短”可知：点到直线上各点的所有线段中，最短的线段长为．故本题选：．6．如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池．（1）不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池点的位置，使它到四个村庄距离之和最小；（2）计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短并说明根据．【详解】解：（1）两点之间线段最短，连接，交于，则为蓄水池位置，它到四个村庄距离之和最小；（2）如图，过作，垂足为，“过直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短”是把河水引入蓄水池中开渠最短的根据．考察题型四点到直线的距离1．下列说法错误的个数①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【详解】解：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，正确；③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故错误；④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误；综上，错误的个数为2个．故本题选：．2．下列图形中，线段的长表示点到直线的距离是A． B． C． D．【详解】解：由题意可得：，则到的距离是垂线段的长度．故本题选：．3．如图所示，点到所在的直线的距离是指图中线段的长度．A． B． C． D．【详解】解：点到所在的直线的距离是指图中线段的长度．故本题选：．4．如图所示，，，则下列结论中，正确的个数为①；②与互相垂直；③点到的垂线段是线段；④点到的距离是线段；⑤线段的长度是点到的距离；⑥．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【详解】解：，，故①正确；，与不互相垂直，故②错误；点到的垂线段应是线段，故③错误；点到的距离是线段的长度，故④错误；线段的长度是点到的距离，故⑤正确；同角的余角相等，，故⑥正确．故本题选：．5．如图，，，，垂足分别为，，，则图中能表示点到直线距离的线段有A．5条 B．6条 C．7条 D．8条【详解】解：线段的长表示到直线的距离，线段的长表示到直线的距离，线段的长表示到直线的距离，线段的长表示到直线的距离，线段的长表示到直线的距离，线段的长表示到直线的距离，线段的长表示到直线的距离，线段的长表示到直线的距离，图中能表示点到直线距离的线段有8条．故本题选：．6．如图点表示一个村庄，表示一条河道．某测绘队沿河道路线上的点进行测量，测量角度与线段的长度如表所示：度数52.369.39093.5105.8117.8长度693587549550570620则下面说法正确的是A．村庄到河道距离等于 B．村庄到河道距离小于 C．村庄到河道距离大于 D．村庄到河道距离等于【详解】解：当时，到河道的距离等于线段的长度．故本题选：．7．在同一个平面内，是直线外一点，，，分别是上三点，已知，，，若点到的距离是，则A． B． C． D．【详解】解：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，点到直线的距离，即．故本题选：．8．如图，，，，．（1）试说出点到直线的距离，点到直线的距离；（2）点到直线的距离是多少？你是怎样求得的？【详解】解：（1），，，点到直线的距离为9，点到直线的距离为12；（2）设点到直线的距离为，的面积，，，点到直线的距离为．9．作图并写出结论：如图，点是的边上一点，请过点画出，的垂线，分别交的延长线于、，线段的长表示点到直线的距离；线段的长表示点到直线的距离；线段的长表示点到直线的距离；点到直线的距离为．【详解】解：如图，线段的长表示点到直线的距离；线段的长表示点到直线的距离；线段的长表示点到直线的距离；点到直线的距离为0，故本题答案为：，，，0．1．已知与的两边互相垂直，且，则的度数为．【详解】解：如图一、图二所示，有两种情况：①根据图一：，，即，，，解得：；②根据图二：，，，，解得：．综上，或．故本题答案为：或．2．若点到直线的距离为，点到直线的距离为，则线段的长度为A． B． C．或 D．至少【详解】解：如图，从点作直线的垂线，垂足为点，当、、三点共线时，线段的长为，其它情况下大于，当、在直线的两侧时，．故本题选：．3．