七年级数学上册数学 4.2.2 解一元一次方程-含绝对值符号的一元一次方程（解析版）

4.2.2解一元一次方程——含绝对值符号的一元一次方程分层练习题型一：|ax+b|=c1．（1）解方程：；（2）已知，求的值．【详解】解：（1），由绝对值的意义得：，，解得：或；（2），或，解得：或，的值为12或20．2．已知关于的方程的解为，那么关于的方程的解为．【详解】解：法一：把代入第一个方程得：，，把代入第二个方程得：，，；法二：由整体法得：，．故本题答案为：．3．航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方程以后，小明结合中国航天日给出一个新定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的一个解，且，满足，则关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”．（1）试判断关于的方程是否是关于的一元一次方程的“航天方程”，并说明理由；（2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”，求的值．【详解】解：（1）是，理由如下：，解得：，，解得：或，，关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”；（2），解得：，，解得：或，若关于的方程是关于的一元一次方程的“航天方程”，则有：①时，解得：；②时，解得：；综上，的值为202或219．4．已知关于的方程只有一个解，那么的值为．【详解】解：关于的方程只有一个解，，，，，．故本题答案为：40．5．若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则、、的关系是A． B． C． D．【详解】解：关于的方程有两个解，；只有一个解，；无解，；则、、的关系是．故本题选：．6．先阅读下列解题过程，然后解答问题．解方程：．解：当时，原方程可化为：，解得：；当时，原方程可化为：，解得：；综上，原方程的解是或，（1）解方程：．（2）已知关于的方程，①若方程无解，则的取值范围是；②若方程有解，则的取值范围是．【详解】解：（1）①当时，即，原方程可化为：，解得：；②当时，即，原方程可化为：，解得：；综上，原方程的解是或；（2）①由题意得：当方程无解，则，那么，故本题答案为：；②由题意得：当方程有解，则，那么，故本题答案为：．7．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：．解：当时，原方程可化为：，解得：；当时，原方程可化为：，解得：；综上，原方程的解是或．（1）解方程：；（2）解关于的方程：．【详解】解：（1）①当时，原方程可化为：，解得：；②当时，原方程可化为：，解得：；综上，原方程的解是或；（2）①当时，原方程无解；②当时，原方程可化为：，解得：；③当时，当时，原方程可化为：，解得：，当时，原方程可化为：，解得：．题型二：|ax+b|=|cx+d|1．解方程：．【详解】解：由绝对值的意义得：或，解得：或．2．现场学习定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，，都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程不含有绝对值的方程．我们知道，根据绝对值的意义，由，可得或．例解方程：．我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．解：根据绝对值的意义得：或．解这两个一元一次方程得：或；经检验可知：原方程的解是或．解决问题解方程：．解：根据绝对值的意义得：或，解这两个一元一次方程得：或，经检验可知：原方程的解是．学以致用解方程：．【详解】解：解决问题，根据绝对值的意义得：或，或，解这两个一元一次方程得：或，经检验可知：原方程的解是，故本题答案为：，，，，；学以致用，根据绝对值的意义得：或，解这两个一元一次方程得：或，经检验可知：原方程的解是或．题型三：|ax+b|=cx+d1．阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，，都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如：解方程．解：当时，原方程可化为：，解得：，符合题意；当时，原方程可化为：，解得：，符合题意．综上，原方程的解是或．根据以上材料解决下列问题：（1）若，则的取值范围是；（2）解方程：．【详解】解：（1）由题意得：，，故本题答案为：；（2），①当时，即，原方程可化为：，解得：，符合题意；②当时，即，原方程可化为：，解得：，符合题意；综上，原方程的解是或．2．已知关于的方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是．【详解】解：①当，则，，，；②当，则，，，；综上：．故本题答案为：．3．关于的方程为常数）有两个不同的实根，则的取值范围是．【详解】解：①当，即，则，．此时，则；②当，即，则，．此时，则；综上，．故本题答案为：．题型四：|ax+b|±|cx+d|=ex+f1．解方程：．【详解】解：①当时，原方程可化为：，解得：（符合题意）；②当时，原方程可化为：，解得：，（不合题意）；③当时，原方程可化为：，解得：（符合题意）；综上，原方程的解为或．2．若关于的方程有实根，则实数的取值范围是A． B． C． D．【详解】解：①当时，原方程可化为：，解得：，，；②当时，原方程可化为：，解得：；③当时，原方程可化为：，解得：，，；综上，．故本题选：．3．解关于的方程：；．【详解】解：①当时，，解得；②当时，，可得；③当时，，解得；综上，当时，方程有无数解；当时，方程无解；当时，或．4．阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时，解法一：我们可以运用整体思想来解．移项得，，，，或．解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论：①当时，原方程可化为：，解得：，符合；②当时，原方程可化为：，解得：，符合．原方程的解是或．解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论．问题：结合上面阅读材料，解下列方程：（1）解方程：；（2）解方程：；（3）求的最小值．【详解】解：（1）移项得：，合并得：，两边同时除以得：，所以，所以或；（2）①当时，原方程可化为：，解得：，符合；②当时，原方程可化为：，解得：，符合；③当时，原方程可化为：，解得：，不符合；综上，原方程的解是或；（3）分三种情况讨论：当时，；当时，；当时，；的最小值为2031．题型五：绝对值里套绝对值1．解方程：．【详解】解：原方程式化为或，（1）当时，即，由得：，（不合题意），由得：，（符合题意）；（2）当时，即，由得：，（不合题意），由得：，（符合题意）；综上，原方程的解是或．2．若关于的方程有三个整数解，则的值是A．0 B．1 C．2 D．3【详解】解：（1）若，①当时，，解得：，；②当时，，解得：，；（2）若，①当时，，解得：，；②当时，，解得：，；又方程有三个整数解，或1，根据绝对值的非负性可得：，只能取1．故本题选：．1．已知方程有一个负根而没有正根，则的取值范围是A． B． C． D．且【详解】解：方程有一个负根而没有正根，，原方程可化为：，，，，，若，原方程可化为：，，，，没有正根，不成立，．故本题选：．2．方程的有理数解的个数为A．0 B．1 C．2 D．3 E．多于3个【详解】解：①当时，原方程化为：，解得：；②当时，原方程化为：，整理得：，它在范围内均成立；③当时，原方程化为：；解得：；④当时，原方程化为：，解得：（舍去），此时，方程无解；综上，此方程有无数个解．故本题选：．3．若关于的方程有解，则的取值范围是．【详解】解：方程有解，方程，即，（1）当时，即或，①时，方程有一个解，②，此时方程无解，当时，方程只有一个解；（2）当时，即，，①时，方程有两个不相等解，②时，方程无解，当时，方程有两个不相等解；（3）当时，即或，①时，方程有一个解，②，此时方程有两个不相等解，当时，方程有三个解；（4）当时，即，①时，方程有两个不相等解，②时，方程有两个不相等解，当时，方程有四个不相等解．故本题答案为：．4．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”．（1）已知关于的方程：是一元一次方程的“小